八年级数学下册 第16章《二次根式》 单元测试卷 沪科版（含解析）

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八年级数学下册 第16章《二次根式》 单元测试卷 沪科版 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．下列各式中，不属于二次根式的是 （　　） A．15 B．3−π C．a2+2 D．12 2．若二次根式4x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥12 B．x≤12 C．x≤2 D．x≥2 3．下列各式中，正确的是(　　) A．9＝±3 B．−9＝－3 C．−9＝3 D．±9=±3 4．已知实数x，y满足|x−3|+y+2=0，下列选项正确的是（　　） A．x=3，y=2 B．x=−3，y=2 C．x=3，y=−2 D．x=−3，y=−2 5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A．12 B．3 C．8 D．4a2 6．下列二次根式中，不能与3合并的是（　　） A．13 B．8 C．12 D．−75 7．下列运算正确的是（　　） A．5+3=8 B．16=±4 C．3×2=6 D．327=3 8．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）． A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 9．已知a+b=4，ab=2，则ba+ab的值为（　　） A．22 B．2 C．2 D．1 10．已知 a=3+1 ， b=23−1 ，则a与b的关系为（　　）. A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1 11．在下列式子中等号能成立的式子共有（　　） ①0.9x2=0.3x；②32+22=3+2=5；③(−5)2=±5；④3+2=5；⑤9x2+3=3x+3． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12． 如图，手扶电梯（扶梯）AB 的坡比（AC：BC）为1： 3.已知 BC的长为12 3m，则小明乘坐扶梯从 B 处到A 处上升的高度AC 为（　　） A．6m B．6 3 C．12m D．123m 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果. 13．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简b2+(a−b)2=　 　. 14．已知x=3+1，y=3−1，则x2−y2=　 　． 15．小荣在(8−12)☐2中的“☐”内填入运算符号“×”得到的结果为m，小德在(8−12)☐2中的“☐”内填入运算符号“÷ ”得到的结果为n，则mn的值为　 　 . 16．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式：t=2hg(g≈10m/s2)，从60m高空抛物到落地的时间为　 　s. 三、解答题：本大题共7小题，共68分. 17．计算： （1）12+2−8； （2）(23−1)2−5+25−2. 18．下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误：33+2+3−12 解：原式=32+23+32−1① =3+23+3−1② =5+23③ 任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）； 任务二：请你写出正确的解答过程。 19．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+22+2=(1+2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把7+43化成一个完全平方式； 20．观察下列等式： ①12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1； ②13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2； ③12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3； … 解答下列问题： （1）写一个无理数，使它与2−3的积为有理数，你写出的无理数是　 　； （2）利用你观察到的规律，化简123+11； （3）计算：11+2+12+3+13+2+⋯+12023+2024. 21．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台EFGH，其面积为6400平方米，长为128米． （1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为2米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台ABCD的总面积． 22． 形如a+b与a−b（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式. 例如：因为(3+2)(3−2)=(3)2−(2)2=1，所以3+2与3−2互为有理化因式. （1） 判断5+7与5−7是不是有理化因式，并说明理由； （2） 请直接写出n+1+n的有理化因式； （3） 请比较2025−2024与2024−2023的大小. 23． （1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形ABCD，则正方形ABCD的边长为　 　 （2）类比以上探究思路，解决如下问题： 如图2，正方形EFGH的对角线EG长为3，通过画图写出正方形EFGH的边长．  答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A选项，被开方数15>0，故15是二次根式；B选项，30，故12是二次根式. 故答案为：B. 【分析】根据二次根式定义作出判断即可（a（a≥0））. 2．【答案】A 【解析】【解答】解： ∵二次根式4x−2在有意义∴4x−2≥0∴x≥12故答案为：A【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数大于0，列式为4x−2≥0，解不等式即可解答. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A选项9=3 ，故A错误；B选项-9在根号里没有意义，故B错误；C选项−9=−3 ，故C错误；D选项±9=±3，故D正确. 故选D. 【分析】本题考查二次根式的定义与化简规则，解题时需结合二次根式的核心性质逐一判断选项。首先明确二次根式的被开方数必须是非负数，因此B选项中根号内的-9无意义，可直接排除；再根据算术平方根的定义，算术平方根是一个非负的平方根，所以9表示9的算术平方根，结果应为3，而非±3，故A选项错误；对于带负号的根号−9，应先求出9的算术平方根3，再取其相反数，结果为-3，因此C选项错误；最后，±9表示9的两个平方根，即3和-3，所以结果为±3，D选项正确。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：已知|x−3|+y+2=0 ，其中绝对值|x-3|≥0，算术平方根y+2≥0。由于两者之和为0，故每个部分均需为0。即：|x-3|=0，y+2=0，解得：x=3，y=-2。故选：C【分析】根据非负数之和为零的条件（非负数之和为零则每个非负数均为零），可分别求出x和y的值，从而确定正确选项。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、12=22，不是最简二次根式，不符合题意； B、3是最简二次根式，符合题意； C、8=22，不是最简二次根式，不符合题意； D、4a2=2a，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：A．13=33，能与3合并，不符合题意； B．8=22，不能与3合并，符合题意； C．12=23，能与3合并，不符合题意； D．−75=−53，能与3合并，不符合题意； 故选：B． 【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A、5与3不能合并，故A选项不符合题意； B、16=4，故B选项不符合题意； C、3×2=6，故C选项不符合题意； D、327=3，故D选项符合题意； 故选：D．【分析】本题综合考察二次根式的加减、乘除运算，算术平方根以及立方根的定义和计算规则。对于选项A，5 和 3 不是同类二次根式，同类二次根式需被开方数相同，二者无法直接合并，所以A运算错误；选项B中，16 表示16的算术平方根，算术平方根是一个非负的平方根，因此结果只能是4，而非 ±4，B错误；选项C依据二次根式乘法法则，a×b=ab，所以 3×2=3×2=6，并非6，C错误；选项D中，因为 33=27，根据立方根的定义，正数的立方根是正数，所以 327=3，D运算正确。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：12+118÷3 =12÷3+118÷3（小明解答正确）， 12÷3+118÷3 =4+154（小丽解答错误）， 4+16 =2+66（小红解答错误）， 2+136=216（小亮解答正确）； ∴小丽和小红解答错误， 故选：B．【分析】根据二次根式的四则运算规则，逐步求解即可． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：ba+ab =aba+abb =aba+bab， ∵a+b=4，ab=2， ∴原式=2×42=22， 故选：A． 【分析】 二次根式的加法运算，先分别分母有理化，再通分化原式为aba+bab，然后把a+b=4，ab=2代入求值即可． 10．【答案】A 【解析】【解答】解：因为b= 23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)=3+1 ，所以a=b， 故答案为：A. 【分析】利用分母有理化，可求出b=3+1，然后与a比较即可. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：①0.9x2=0.3x10≠0.3x，不成立，故不符合题意； ②32+22=13≠5，不成立，故不符合题意； ③(−5)2=5，不成立，故不符合题意； ④3与2不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； ⑤9x2+3是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意； ∴成立的个数为0， 故选：A． 【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可． 12．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意，得 AC=BC÷3=123÷3=12(m).故选C.【分析】根据坡比的定义代入数据计算即可. 13．【答案】2b−a 【解析】【解答】解：由数轴图示可知：a＜0 ＜b ，a-b＜0 ，∴b2＋(a−b)2=b+b-a=2b-a .故答案为：2b-a.【分析】根据数轴上a，b对应的点的位置进行化简即可. 14．【答案】43 【解析】【解答】解：∵x=3+1，y=3−1，∴x2−y2=(x+y)(x−y)=23×2=43． 故答案为：43．【分析】先将代数式x2−y2变形为x2−y2=(x+y)(x−y)，再将x=3+1，y=3−1代入计算即可. 15．【答案】92 【解析】【解答】解：据题意得：m=(8−12)×2=22−22×2=322×2=3，n=(8−12)÷2=22−22÷2=322÷2=32，∴mn=3×32=92. 故填：92. 【分析】根据题意，将“×”“÷ ”代入(8−12)☐2中的“☐”，化简得到m、n的值，最后求出mn的值. 16．【答案】23​​​​​​​ 【解析】【解答】解：当h=60时，t=2×6010=23s ， 故答案为：23. 【分析】将h=60和g=10代入公式，结合二次根式的性质计算即可. 17．【答案】（1）解：12+2−8 =23+2−22 =23−2． （2）解：(23−1)2−(5+2)(5−2) =12−43+1−(5−4) =12−43+1−1 =12−43． 【解析】【分析】（1）先根据ab=a⋅b（a≥0，b≥0）将二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果； （2）利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2进行展开计算，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果。 （1）解：12+2−8 =23+2−22 =23−2． （2）解：(23−1)2−(5+2)(5−2) =12−43+1−(5−4) =12−43+1−1 =12−43． 18．【答案】解：①； 原式=(3)2+23+(3)2−2×3×1+1 =3+23+3−23+1 =7 【解析】【解答】解：任务一：33+2+3−12 =3+23+（3−23+1）小雷同学的第 ① 步错误.故答案为： ①【分析】3−12是完全平方式计算为3−23+1，所以小雷同学的第 ① 步错误；二次根式的混合运算先相乘，运用完全平方式计算，再合并同类二次根式计算结果. 19．【答案】（1）解：（1）∵a+b3=(m+n3)2，∴a+b3=m2+23mn+3n2，∴a=m2+3n2，b=2mn； （2）解：7+43 =4+43+3 =2+32． 【解析】【分析】（1）先把等号右边的完全平方式展开并合并同类项，再等号左右对应相等即可； （2）完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，因此可把7拆成2与3的平方和，则原式恰好可以转化成2与3的完全平方和公式． 20．【答案】（1）2+3 （2）解：123+11=23−11(23+11)(23−11)=23−11； （3）解：原式=2−1(2+1)(2−1)+3−2(3+2)(3−2)+2−3(2+3)(2−3)+⋯+2024−2023(2024+2023)(2024−2023) =2−1+3−2+2−3+⋯+2024−2023 =2024−1=2506−1. 【解析】【解答】解： （1）由题意可得：2−32+3=22−32=1，结果为有理数，故答案为：2+3；【分析】（1）根据平方差公式即可求解；（2）根据平方差公式，将分子和分母都乘以23−11，即可求解；（3）根据平方差公式将分母有理化，再根据二次根式的混合运算计算即可. 21．【答案】（1）解：这个舞台的宽为6400÷128=50=52（米） 答：这个舞台的宽为52米. （2）解：装饰后矩形舞台ABCD的总面积为： 128+2250+22=82+2252+22=102×72=140（平方米）． 答：舞台装饰后的面积是140平方米． 【解析】【分析】（1）利用二次根式的除法求得这个舞台的宽；（2）利用二次根式的混合运算求得舞台装饰后的面积. （1）解：这个舞台的宽为6400÷128=50=52（米） 答：这个舞台的宽为52米； （2）解：装饰后矩形舞台ABCD的总面积为 128+2250+22=82+2252+22=102×72=140（平方米）． 答：舞台装饰后的面积是140平方米． 22．【答案】（1）解： 是；因为(5−7)(5+7)=(5)2−(7)2=−2， 所以5+7与5−7是有理化因式 （2）解：(2) n+1−n或n−n+1 （3）解：因为(2025+2024)(2025−2024)=1，(2024+2023)(2024−2023)=1 而2025+2024>2024+2023 所以2025−20242024+2023，则可比较得到结果. 23．【答案】解：如图， ∵正方形EFGH是由四个腰长为1.5的等腰直角三角形拼接而成的，∴正方形EFGH的面积为：4×12×32×32=92，∴正方形EFGH的边长为：92=323，∴ 正方形EFGH的边长为323. （1）2 （2）解：如图，∵正方形EFGH是由四个腰长为1.5的等腰直角三角形拼接而成的，∴正方形EFGH的面积为：4×12×32×32=92，∴正方形EFGH的边长为：92=323，∴ 正方形EFGH的边长为323. 【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形ABCD的面积为4×12×1×1=2， ∴正方形ABCD的边长为2， 故答案为：2. 【分析】（1）根据正方形ABCD是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形ABCD的面积为4×12×1×1=2，进而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长为2. （2）仿照（1）可得正方形EFGH是 由四个腰长为1.5的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形EFGH的面积为4×12×32×32=92，进而求出其边长为323．