最新湘教版新教材八年级数学上册期末检测模拟试卷1（含解析）

这是一份最新湘教版新教材八年级数学上册期末检测模拟试卷1（含解析），共22页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．下列因式分解的结果中不含因式a﹣1的是（ ）
A．3a2﹣3B．a2b﹣ab
C．a2﹣a﹣2D．（a+1）2﹣4（a+1）+4
2．已知三角形三条边的长分别是2，a，6，则a的值可以是（ ）
A．3B．5C．8D．9
3．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE交AC于点D．若∠A＝60°，∠C＝40°，则∠ADE等于（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
4．可以用来说明命题“若a2＜b2，则a＜b”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝2C．a＝﹣2，b＝2D．a＝4，b＝3
5．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝5，b＝12，c＝13
6．将关于x的分式方程 QUOTE 去分母可得（ ）
A．5x﹣3﹣x﹣1＝0B．5x﹣3﹣（x﹣1）＝0
C．5（x﹣3）﹣x﹣1＝0D．5（x﹣3）﹣（x﹣1）＝0
7．货轮在海上以每小时30海里的速度沿南偏东45°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东75°的方向上，航行2小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东15°的方向上，则货轮到达C处时与灯塔A的距离是（ ）
A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里
8．下列计算正确的是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
9．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，记两把尺的接触点为点P．上边缘与射线OA相交于点M，连接OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ）
A．62°B．56°C．52°D．46°
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．104°B．116°C．128°D．142°
二．填空题（共6小题）
11．若二次根式 QUOTE 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．若分式 QUOTE 的值为0，则x的值为 ．
13．若关于x的分式方程 QUOTE 有增根，则实数m的值是 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D在边BC上（点D与B，C不重合），作∠ADE＝30°，DE与边AB相交于点E．若△ADE是等腰三角形，则∠CAD度数为 ．
15．在对整式x2+px+q进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为（x+2）（x﹣9），乙同学看错了常数项，得到的结果为（x+2）（x﹣5），那么整式x2+px+q正确的因式分解结果是 ．
16．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝ 秒．
三．解答题（共9小题）
17．计算：
（1） QUOTE ；
（2） QUOTE ．
18．已知关于x的分式方程 QUOTE ．
（1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求m的值．
19．计算：（1） QUOTE
（2） QUOTE ．
20．如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，点F是边CD的中点．
求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）AF⊥CD．
21．如图，在△ABC中，BC＝10，AC＝7．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为点D．交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）作出的图形中，连接AE，求△ACE的周长．
22．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
23．如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数；
（2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和．
24．如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区A，马路边有两处公交站B，C，AB，AC为两条到达公交站的人行道，且AB＝BC．现为了便于市民出行，取消点B处的公交站，准备新建一个公交站点D，并修一条人行道AD．已知AC QUOTE km，AD QUOTE km，CD＝1km．（B，D，C在一条直线上）
（1）AD是否为从小区A到马路边的公交站D处的最近人行道？请通过计算说明；
（2）求原来的人行道AB的长．
25．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”．
【理解概念】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，请判断△ACD与△ABC是否为“等角三角形”，并说明理由．
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”．
【应用概念】
（3）在△ABC中，若∠A＝42°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可判断A；提取公因式ab即可判断B；利用十字相乘法分解因式即可判断C；利用完全平方公式分解因式即可判断D．
解：A、3a2﹣3＝3（a2﹣1）＝3（a+1）（a﹣1），故此选项不符合题意；
B、a2b﹣ab＝ab（a﹣1），故此选项不符合题意；
C、a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1），故此选项符合题意；
D、（a+1）2﹣4（a+1）+4＝（a+1﹣2）2＝（a﹣1）2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了分解因式，掌握运算法则是解题的关键．
2．【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系确定a的范围，判断即可．
解：∵三角形三条边的长分别是2，a，6，
∴6﹣2＜a＜6+2，即4＜a＜8，
则a的值可以是四个选项中的5，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
3．【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线的定义求出∠ABE，利用三角形的外角性质即可解答．
解：∵∠A＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵∠ABC的平分线BE交AC于点D，
∴∠ABE＝∠CBE＝40°，
∴∠ADE＝∠A+∠ABE＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
4．【考点】命题与定理
【分析】根据实数的大小比较、实数的平方、假命题的概念判断．
解：A、当a＝2，b＝﹣3时，a2＜b2，而a＞b，
说明命题“若a2＜b2，则a＜b”是假命题，符合题意；
B、当a＝﹣1，b＝2时，a2＜b2，且a＜b，
不能说明命题“若a2＜b2，则a＜b”是假命题，不符合题意；
C、当a＝﹣2，b＝2时，a2＝b2，
不能说明命题“若a2＜b2，则a＜b”是假命题，不符合题意；
D、当a＝4，b＝3时，a2＞b2，
不能说明命题“若a2＜b2，则a＜b”是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
6．【考点】解分式方程
【分析】将原分式方程两边同乘（x﹣1）（x﹣3），即可求出结果．
解： QUOTE 0，
原分式方程两边同乘（x﹣1）（x﹣3），得5（x﹣3）﹣（x﹣1）＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．
7．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用
【分析】根据题意得出∠BCA＝∠ABC＝60°，进而根据等边三角形的性质，即可求解．
解：如图，
根据题意得：CD∥BE，
∴∠BCD＝∠EBC＝45°，
∴∠BCA＝∠BCD+∠ACD＝45°+15°＝60°，
又∵∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠BCA＝∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝30×2＝60（海里），
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是60海里．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，利用方向角得出△ABC是等边三角形是解题关键．
8．【考点】二次根式的混合运算
【分析】选项A错误，因为平方根不能直接相加；选项B错误，因为合并同类项后应为 QUOTE ；选项C错误，因为算术平方根为非负数；选项D正确，根据二次根式的除法法则计算．
解：A．∵ QUOTE ，
∴A错误，不符合题意；
B．∵ QUOTE ，
∴B错误．不符合题意；
C．∵ QUOTE ，
∴C错误．不符合题意；
D．∵ QUOTE ，
∴D正确．符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算性质．熟练掌握该知识点是关键．
9．【考点】角平分线的性质；平行线的性质
【分析】设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，过点P作PD⊥OB于点D，则PE＝PD＝h，根据角平分线的判定定理得到OP平分∠AOB，进而得出∠AOB的大小，再利用平行线的性质即可求解．
解：如图，设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，过点P作PD⊥OB于点D，
则PE＝PD＝h，
∴OP平分∠AOB，
∵∠BOP＝28°，
∴∠AOB＝2∠BOP＝2×28°＝56°，
∵MP∥OB，
∴∠AMP＝∠AOB，
∴∠AMP＝∠AOB＝56°，
综上所述：B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．
10．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【分析】由∠ABC＝52°，可得∠BMN+∠BNM＝128°，根据线段垂直平分线的性质可得：MA＝MP，NP＝NC，推出∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，再结合三角形的外角性质可得 QUOTE ，最后根据∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC），即可求解．
解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣52°＝128°，
∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴MA＝MP，NP＝NC，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC，
∴ QUOTE ，
∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣64°＝116°，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
二．填空题（共6小题）
11．【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
解：由题意知2x﹣6≥0，
解得x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12．【考点】分式的值为零的条件
【分析】分式的值为0即分子为0且分母不为0，由此计算即可．
解：若分式 QUOTE 的值为0，
则x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1）＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
13．【考点】分式方程的增根；解分式方程
【分析】先根据解分式方程的方法，可得3x+2＝﹣m，再根据分式方程有增根，可得x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入3x+2＝﹣m，即可得出m的值．
解： QUOTE ，
方程两边同时乘（x﹣1），得3x+2＝﹣m，
∵分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴3×1+2＝﹣m，
解得：m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键．
14．【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【分析】分情况讨论：①DA＝DE；②EA＝ED；③以AE＝AD的等腰三角形不存在；由此即可求解．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
①如图，DA＝DE，即△ADE是等腰三角形，
∵∠ADE＝30°，
∴ QUOTE ，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣75°＝45°；
②如图，EA＝ED，即△ADE是等腰三角形，
∴∠EAD＝∠EDA＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°；
③∵D不与B、C重合，∠ADE＝∠C＝30°，
∴以AE＝AD的等腰三角形不存在；
综上所述，∠CAD的度数为45°或90°，
故答案为：45°或90°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．
15．【考点】因式分解﹣十字相乘法等
【分析】根据甲同学的答案得出常数项，乙同学的答案得出一次项系数，即可得出原多项式，然后再因式分解即可．
解：∵甲同学因看错了一次项系数而将其分解为（x+2）（x﹣9）＝x2﹣7x﹣18，
∴常数项为﹣18，
∵乙同学因看错了常数项而将其分解为（x+2）（x﹣5）＝x2﹣3x﹣10，
∴一次项系数为﹣3；
原多项式＝x2﹣3x﹣18，
x2﹣3x﹣18＝（x﹣6）（x+3）．
故答案为：x2﹣3x﹣18＝（x﹣6）（x+3）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解中的十字相乘法是解题的关键．
16．【考点】全等三角形的判定
【分析】依据题意，先由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，求出BO，然后再分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．
解：由题意，∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，
∴∠ACD＝∠AOE．
∴∠BOD＝∠ACD．
又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD，
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）．
∴BO＝AC＝7．
①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝7﹣3t，
∴t＝7﹣3t，解得t QUOTE ．
②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝3t﹣7，
∴t＝3t﹣7，解得t QUOTE ．
综上，t QUOTE 或 QUOTE ．
故答案为： QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定是关键．
三．解答题（共9小题）
17．【考点】二次根式的混合运算
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
解：（1）原式＝2 QUOTE 4 QUOTE 3 QUOTE
＝3 QUOTE ；
（2）原式＝3﹣4 QUOTE 4 QUOTE
＝3﹣4 QUOTE 4+2
＝9﹣4 QUOTE ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18．【考点】解分式方程；分式方程的解
【分析】（1）把m＝﹣1代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
解：（1）把m＝﹣1代入分式方程得： QUOTE 2，
整理得： QUOTE 2，
去分母得：2＝x﹣2（1﹣x），
去括号得：2＝x﹣2+2x，
移项、合并同类项得：3x＝4，
解得：x QUOTE ，
检验：把x QUOTE 代入得：1﹣x QUOTE 0，
∴x QUOTE 是分式方程的解；
（2）分式方程变形得： QUOTE 2，
去分母得：﹣2＝mx﹣2（x﹣1），即（m﹣2）x＝﹣4，
若m﹣2＝0，即m＝2时，此方程无解，即分式方程无解；
若m﹣2≠0，即m≠2时，
∵分式方程无解，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2，
综上所述，m＝2或﹣2．
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
19．【考点】分式的加减法；分式的乘除法
【分析】（1）先通分化成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减法则进行计算即可；
（2）先分解因式，再约分即可．
解：（1）原式 QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE ；
（2）原式 QUOTE • QUOTE • QUOTE
QUOTE ．
【点评】本题主要考查对分式的加减、乘除的理解和掌握，能熟练地根据分式的加减、乘除法则进行计算是解此题的关键．
20．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据SAS证明△ABC≌△AED即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AC＝AD，进而利用等腰三角形的性质解答即可．
证明：（1）在△ABC与△AED中，
QUOTE ，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，
∴AC＝AD，
∵点F是边CD的中点，
∴AF⊥CD．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明△ABC≌△AED解答．
21．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明AE＝EB，推出△AEC的周长＝AC+BC即可．
解：（1）如图，直线DE即为所求；
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝17．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设每个乙种商品的进价是x元，则每个甲种商品的进价是（x﹣2）元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
解：（1）设每个乙种商品的进价是x元，则每个甲种商品的进价是（x﹣2）元，
根据题意得： QUOTE ，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣2＝10﹣2＝8，
答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品件的进价是10元；
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个，
根据题意得： QUOTE ，
解得：23 QUOTE y≤25，
∵y为正整数，
∴y＝24，25，
∴该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：
①购进甲种商品67个，乙种商品24个；
②购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
23．【考点】全等三角形的性质
【分析】（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出∠CAE＝∠BAD，然后利用角的和差关系求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出AB＝AD＝10，BC＝DE＝9，然后利用三角形的周长公式求解即可．
解：（1）∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
由条件可知∠CAE+∠BAD＝∠CAD﹣∠BAE＝80°，
∴∠CAE＝∠BAD＝40°；
（2）∵AD＝10，BE＝CE＝4.5，△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD＝10，BC＝DE＝BE+CE＝9，
AD+DF+AF+BF+EF+BE
＝AD+（DF+EF）+（AF+BF）+BE
＝AD+DE+AB+BE
＝10+9+10+4.5
＝33.5．
【点评】本题考查了全等三角形的性质等知识，熟练掌握该知识点是关键．
24．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【分析】（1）由CD2+AD2＝AC2可得△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，即得AD⊥BC，再根据垂线段最短即可说明；
（2）设AB＝BC＝x千米，则BD＝（x﹣1）千米，在Rt△ABD中利用勾股定理解答即可求解；
解：（1）AD是从小区A到马路边的公交站D处的最近人行道；理由如下：
在△ADC中，AC QUOTE km，AD QUOTE km，CD＝1km，
∵ QUOTE ， QUOTE ，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∴AD是为从小区A到马路边的公交站D处的最近人行道；
（2）设AB＝BC＝x千米，则BD＝（x﹣1）千米，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，
∴ QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴ QUOTE 千米，
答：原来的人行道AB的长为 QUOTE 千米．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟知勾股定理是解题的关键：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
25．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【分析】（1）先根据垂直的定义可得∠ADC＝∠ACB＝90°，再根据互为“等角三角形”的定义即可得；
（2）先求出∠ACB＝80°，∠ACD＝∠BCD＝40°，则可得∠ACD＝∠A，再根据等腰三角形的判定可得△ACD是等腰三角形，然后证出△BCD与△ABC互为“等角三角形”，由此即可得；
（3）分六种情况：①当AD＝CD时，△ACD是等腰三角形，②当AD＝AC时，△ACD是等腰三角形，③当CD＝AC时，△ACD是等腰三角形，④当BD＝CD时，△BCD是等腰三角形，⑤当BD＝BC时，△BCD是等腰三角形，⑥当BC＝CD时，△BCD是等腰三角形，利用“巧等线”的定义、三角形的内角和定理求解即可得．
解：（1）△ACD与△ABC互为“等角三角形”，理由如下：
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD与△ABC互为“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵在△ABC中，CD为角平分线，
∴ QUOTE ，
∴∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD，
∴△ACD是等腰三角形，
又∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD与△ABC互为“等角三角形”，
∴CD是△ABC的“巧等线”；
（3）①如图，当AD＝CD时，△ACD是等腰三角形，
则∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝84°≠∠A，
∵CD为△ABC的“巧等线”，
∴△BCD与△ABC互为“等角三角形”，
∵∠B＝∠B，∠BDC≠∠A，
∴∠BDC＝∠ACB＝84°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝54°，
②如图，当AD＝AC时，△ACD是等腰三角形，
则 QUOTE ，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝111°≠∠A，
∵CD为△ABC的“巧等线”，
∴△BCD与△ABC互为“等角三角形”，
∵∠B＝∠B，∠BDC≠∠A，
∴∠BDC＝∠ACB＝111°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝27°，
③如图，当CD＝AC时，△ACD是等腰三角形，
∴∠ADC＝∠A＝42°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝96°，∠BDC＝180°﹣∠ADC＝138°≠∠A，
∵CD为△ABC的“巧等线”，
∴△BCD与△ABC互为“等角三角形”，
∵∠B＝∠B，∠BDC≠∠A，
∴∠BDC＝∠ACB＝138°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝0°，不符合题意，舍去，
④如图，当BD＝CD时，△BCD是等腰三角形，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝2∠B＞∠B，
∵CD为△ABC的“巧等线”，
∴△ACD与△ABC互为“等角三角形”，
∵∠A＝∠A，∠ADC＞∠B，
∴∠ACB＝∠ADC＝2∠B，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A＝42°，
∴42°+∠B+2∠B＝180°，
解得∠B＝46°，
⑤如图，当BD＝BC时，△BCD是等腰三角形，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∵CD为△ABC的“巧等线”，
∴△ACD与△ABC互为“等角三角形”，
∵∠A＝∠A，∠ADC＞∠B，
∴ QUOTE ，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A＝42°，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得∠B＝32°，
⑥如图，当BC＝CD时，△BCD是等腰三角形，
∴∠BDC＝∠B，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＞∠B，∠ADC＝180°﹣∠BDC＝180°﹣∠B，
∵CD为△ABC的“巧等线”，
∴△ACD与△ABC互为“等角三角形”，
∵∠A＝∠A，∠ADC＞∠B，
∴∠ACB＝∠ADC＝180°﹣∠B，
∴∠A+∠B+∠ACB＝42°+∠B+180°﹣∠B＝42°+180°＝222°＞180°，不符合题意，舍去，
综上，所有可能的∠B的度数为54°或27°或32°或46°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
题号
一
二
三
总分
得分