最新人教版新教材八年级数学上册期末检测模拟试卷3（含解析）

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、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
当时，下列分式没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝aB．（a3）2＝a5
C．2﹣＝2D．（a﹣1）2＝a2﹣1
在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C=260°，则∠D的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．40°
如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BCB．CEC．ADD．AC
某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（ ）
A．﹣10=B． +10=
C．﹣10=D． +10=
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
如图，甲、乙两图中的阴影部分面积分别为 、 ，设 k （a＞b＞0），则有（ ）
A．1  k  2B．k  2C． k  1D．0  k 
已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x＋y，a＋b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字：州、爱、我、漳、游、美，现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美B．漳州游C．我爱漳州D．美我漳州
已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝ACB．AG⊥BCC．∠DGB＝∠EGCD．AG＝AC
、填空题（本大题共6小题）
若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °．
分解因式：2x2﹣8x＝ ．
如图，OP平分∠MON , PE⊥OM于E, PF⊥ON于F,OA=OB, 则图中有 _______ 对全等三角形.
如图，A．B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝ ．
阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i，
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i，
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17，
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝ ．
若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
、解答题（本大题共8小题）
先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值．
如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．
“张学友演唱会”于6月3日在我市观山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
如图，已知△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°，点D为AB边上一点．
（1）求证：△ ACE≌ △BCD；
（2）求证：△ ADE是直角三角形；
（3）已知△ ADE的面积为30cm2，DE=13cm，求AB的长．
中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数.同学们还记得我们最初接触的数就是“自然数”吧!在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“喜数”.
定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的倍（为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”.
例如：24就是一个“4喜数”，因为
25就不是一个“喜数”因为
（1）判断44和72是否是“喜数”？请说明理由；
（2）试讨论是否存在“7喜数”若存在请写出来，若不存在请说明理由.
（2024春•海陵区校级月考）如图，A（m，n），B（t，0），C（m，0），m、n、t满足|m﹣1|++（t﹣4）2＝0．点P是x轴上的一个动点，点E是AB的中点，在△PEF中，∠PEF＝90°，PE＝EF．
（1）则A．B、C三点的坐标分别为：A ，B ，C ，
（2）如图①，当点P在线段CB上或其延长线上时，若CP＝2BP，求点F的坐标，
（3）如图②，当点P在线段CB的反向延长线上运动，连接AF．若S△AEF＝k•S△PBE，k的值在变化，求点F运动路径的长度．
（2024秋•夏邑县期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中一组全等三角形 △BDE≌△CDA ；
【理解与应用】
（2）如图2，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE＝EF．求证：AB＝CF；
（3）如图3，CD是△ABC的中线，且AB＝BE＝AC，求证；CE＝2CD．
答案解析
、选择题
\s 1 【考点】分式有意义的条件
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
解：,当x=1时,分母为零,分式无意义.
故选B.
【点评】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
【考点】完全平方公式，二次根式的加减法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方．
【分析】A．根据合并同类项的法则计算判断即可，B、根据幂的乘方运算法则计算判断即可，C、根据二次根式的加减运算法则计算判断即可，D、根据完全平方公式计算即可．
解：A．原式＝a，正确，符合题意，
B、原式＝a6，错误，不合题意，
C、原式＝，错误，不合题意，
D、原式＝a2﹣2a+1，错误，不合题意，
故选：A．
【点评】此题考查的是完全平方公式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、二次根式的加减法，掌握它们的运算法则是解决此题的关键．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据四边形的内角和定理确定出所求角的度数即可．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A+∠B+∠C=260°，
∴∠D=100°，
故选C
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质
【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选B．
【点评】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．
解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选：B．
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
【考点】整式的混合运算
【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．
解：根据题意得：
甲图中阴影部分的面积为，
乙图中阴影部分的面积为，
∴
，
∵，即，
∴，
∴
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算与分式的乘除法以及不等式的基本性质，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算、不等式的基本性质是解题的关键．
【考点】平行线的性质，三角形外角性质，等腰直角三角形
【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝70°．
解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
【考点】因式分解的应用
【分析】先对提取公因式，再根据平方差公式：进行因式分解即可．
解：，
x＋y，x-y，a＋b，a-b分别对应我、爱、漳、州，
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【考点】三角形的外角性质,等腰三角形的判定与性质,作图—复杂作图
【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．
解：∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40︒，
∴∠ODC=∠OCD=，
∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40︒，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70︒=40︒+∠CDE，
∴∠CDE=30︒，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．
【考点】作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．
【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．
解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAA），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
、填空题
【分析】根据等腰三角形的性质即可解决问题．
解：由题知，
∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，
∴等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣2×40°＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】直接提取公因式2x，进而得出答案．
解：原式＝2x（x﹣4）．
故答案为：2x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质
【分析】利用角平分线的性质；全等三角形的判定解答
解：∵∠POE=∠POF, ∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,
∴△POE≌△POF(AAS),
又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,
∴△POA≌△POB(AAS),
∴PA=PB,∵PE=PF,
∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL).
∴图中共有3对全的三角形.
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点】多边形内角与外角
【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
解：连接OB、OC，
多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：，
∴∠AOB＝，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
∴∠OAD＝．
故答案为：30°
【点评】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．
【考点】实数的运算，完全平方公式，多项式乘多项式
【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案．
解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确运用相关计算法则是解题关键．
【考点】分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解．
【分析】先根据题意解该不等式组和分式方程，再讨论求解符合题意的a的值．
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得x＞﹣2，
∵该不等式组有解且至多有5个整数解，
∴该不等式组的解集是﹣2＜x≤，
且﹣2＜＜4，
解得﹣9＜a＜3，
解方程，
得，且a≠﹣1，
∵关于y的分式方程有正整数解，
∴a+5＝2或4或6或8或10…，
解得a＝﹣3或﹣1或1或3或5…，
∴满足条件的整数a的值为：﹣3或1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：﹣3+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算、讨论．
、解答题
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可
解：原式=
根据分式有意义的条件可知，
∴当x取范围内的整数时，只有x=0．
∴当x=0时，原式=
【点评】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定和性质，角平分线的性质
【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
解：连接AC，
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间=路程÷速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据时间=路程÷速度求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．
解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=210，
经检验，x=210是原方程组的解．
答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．
（2）小张跑步到家所需时间为2520÷210=12（分钟），
小张骑车所用时间为12﹣4=8（分钟），
小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12+8+5=25（分钟），
∵25＞23，
∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间=路程÷速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③，
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形
【分析】（1）由于△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，那么∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，结合等式性质易证∠1=∠2，那么利用SAS可证△ACE≌△BCD；
（2）由（1）证得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，于是可得∠CAE=∠B=45°，易求∠EAD=90°；求得结论；
（3）由△ADE的面积为30，利用面积公式得到AD•AE=60，解直角三角形得到AD+AE=17，根据BD=AE，求得AB=AD+BD=AD+AE=17cm．
解答： 解：（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
AC=BC，
CE=CD，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，
即∠1=∠2，
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD；
（2）由（1）证得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，
∴△ADE是直角三角形；
（3）解：由题意得：AD•AE=30，即AD•AE=60，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2=132=169，
∴（AD+AE）2=AD2+AE2+2AD•AE=289，
∴AD+AE=17，
由（1）得：△ ACE≌ △BCD，
∴BD=AE，
∴AB=AD+BD=AD+AE=17cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是证明△ ACE≌ △BCD，．
【考点】定义新运算，因式分解的应用
【分析】（1）根据“n喜数”的定义解答即可；
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，(a，b为1到9的自然数)，则10b+a=7(a+b)，化简得：b=2a，由此即可得出结论．
解：（1）44不是一个“喜数”，因为，
72是一个“8喜数”，因为；
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为，
十位数字为，(，为1到9的自然数)，
由定义可知：
化简得：因为，为1到9的自然数，
∴，；，；，；，；
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84．
【点评】本题考查了因式分解的应用．掌握“n喜数”的定义是解答本题的关键．
【考点】三角形综合题
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）当点P在线段CB上时，连接EC、BF，证明△CEP≌△BEF（SAS），即可解决问题．当点P在CB延长线上时，同法可求．
（3）首先证明PC＝BF，BF⊥PB，再证明S△AEF＝S△PEC，推出S△PEC＝k•S△PBE，求出k＝或两种情况时BF的值即可解决问题．
解：（1）∵|m﹣1|++（t﹣4）2＝0，
∴m﹣1＝0，n﹣3＝0，t﹣4＝0，
∴m＝1，n＝3，t＝4，
∴A（1，3），B（4，0），C（1，0），
故答案为（1，3），（4，0），（1，0）．
（2）如图①，当点P在线段CB上时，连接EC、BF，
由题意知AC＝BC＝3，
∠ACB＝90°，
∵AE＝EB，
∴CE⊥AB，CE＝AE＝EB，∠ECB＝∠ECA＝45°，
∴∠ECB＝∠ECA＝45°，
∴∠CEB＝∠PEF＝90°，
∴∠CEP＝∠BEF，
∵EC＝EB，EP＝EF，
∴△CEP≌△BEF（SAS），
∴PC＝BF，
∴∠ECP＝∠EBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CBF＝90°，
∵PC＝2PB，BC＝3，
∴PC＝BF＝2，
∴F（4，2）．
当点P在CB的延长线上时，同法可证∠CBF＝90°，
BF＝CP＝6，
可得F（4，6），
故满足条件的点F的坐标为（4，2）或（4，6）．
（3）如图②，连接EC、BF，
与（2）同法可得∠CEP＝∠BEF，
∵EC＝EB，EP＝EF，
∴△CEP≌△BEF（SAS），
∴S△PEC＝S△FEB，PC＝BF，∠PCE＝∠EBF＝135°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FBP＝90°，即BF⊥PB，
∵AE＝EB，
∴S△AEF＝S△FEB，
∴S△AEF＝S△PEC，
∵S△AEF＝k•S△PBE，
∴S△PEC＝k•S△PBE，
当k＝时，PC＝BF＝PB，
∵BC＝3，
∴PC＝BF＝1，
当k＝时，PC＝BF＝PB，可得PC＝BF＝12，
故点F运动路径的长度为12﹣1＝11．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是添加常用辅助线，利用三角形全等解决问题．
【分析】（1）根据题意，由两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案；
（2）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得△BDA≌△CDG（SAS），由全等三角形性质得到AB＝CG，∠BAD＝∠CGD，再结合等腰三角形的性质，通过角的等量代换得到∠CFG＝∠CGF，从而由等腰三角形的判定与性质确定CF＝CG＝AB即可得证；
（3）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得△BDC≌△ADG（SAS），由全等三角形性质得到∠DBC＝∠DAG，BC＝AG，再结合等腰三角形的性质、三角形外角性质得到∠CBE＝∠CAG，利用三角形全等的判定定理证得△BEC≌△ACG（SAS），结合全等性质即可证得CE＝CG＝2CD．
（1）解：∵AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
故答案为：△BDE≌△CDA；
（2）证明：在△ABC中，AD为中线，如图2，延长AD至点G，使GD＝AD，
∴BD＝CD，
在△BDA和△CDG中，
，
∴△BDA≌△CDG（SAS），
∴AB＝CG，∠BAD＝∠CGD，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴CF＝CG＝AB，即AB＝CF；
（3）证明：CD是△ABC的中线，如图3，延长CD至点G，使GD＝CD，
∴BD＝AD，
在△BDC和△ADG中，
，
∴△BDC≌△ADG（SAS），
∴∠DBC＝∠DAG，BC＝AG，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAG，
∵∠CBE是△BCE的一个外角，
∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC，
∵∠CAG＝∠DAG+∠BAC，
∴∠CBE＝∠CAG，
在△BEC和△ACG中，
，
∴△BEC≌△ACG（SAS），
∴CE＝CG＝2CD，即CE＝2CD．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，倍长中线模型，三角形中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质等知识，根据题意，掌握倍长中线模型，构造辅助线，运用全等三角形的判定与性质求证是解决问题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分