最新湘教版新教材八年级数学上册期末检测模拟试卷2（含解析）

这是一份最新湘教版新教材八年级数学上册期末检测模拟试卷2（含解析），共21页。试卷主要包含了下列因式分解正确的是，方程 QUOTE 的解为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣3y2＝（x+3y）（x﹣3y）
B．x3﹣2xy+xy2＝x（x﹣y）2
C．x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣2y）（x+4y）
D．xy2﹣6xy+9x＝x（y﹣3）2
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm，3cm，4cmB．5cm，2cm，2cm
C．2cm，3cm，4cmD．4cm，10cm，6cm
3．如图，∠ACF和∠FBG均为△ABC的外角，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的平分线相交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．∠E＝∠AB．∠DBE＝90°
C．2∠D＝∠AD．∠E+∠DCF＝90°+∠ABD
4．下列选项中，能说明命题“若a≤2，则a2≤4”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2B．a＝0C．a＝3D．a＝﹣3
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C． QUOTE D． QUOTE
6．方程 QUOTE 的解为（ ）
A．3B．2C．1D．0
7．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为（ ）
A．50kmB．40kmC．30kmD． QUOTE
8．若 QUOTE ， QUOTE ，则ab的值是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．5
9．如图，射线OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB于点D，∠AOP＝15°，PD等于5，PC等于（ ）
A．5B．10C． QUOTE D． QUOTE
10．如图，在△ABC中，D是AC垂直平分线上一点，∠B＝50°，∠BCD＝80°，则∠A的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
二．填空题（共6小题）
11．已知x，y都是实数，且 QUOTE ，则yx＝ ．
12．☆|新课标开放性试题若分式 QUOTE 的值是0，则x的值是 ．
13．若关于x的分式方程 QUOTE 有增根，则a＝ ．
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AD＝BD，∠ADC＝72°．若BD＝5，则AC的长是 ．
15．若多项式x2+mx+n可因式分解为（x+1）（x+3），则m﹣n＝ ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线 BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（1）解方程：（3+x）2﹣49＝0；
（2）计算： QUOTE ．
18．如表是某同学解分式方程 QUOTE 的过程．
（1）该同学在解题过程中，他从步骤 开始出错，从解分式方程的步骤方面，你对该同学提出两条建议 ； ．
（2）写出上述分式方程的正确解法．
19．化简：
（1） QUOTE ；
（2） QUOTE ．
20．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．
21．如图，AM平分∠BAC，BC边的垂直平分线l分别交AC，BC，AM于点E，F，G．
（1）尺规作图：作BC的垂直平分线l，并标出点E，F，G（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BE，若∠AGE＝∠C，求证：AG垂直平分BE．
22．为开展特色体育，致远中学上学期购买了甲、乙两种不同足球，购买甲种足球用了3000元，购买乙种足球用了2100元，购买甲种足球数量恰好是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个甲种足球比购买一个乙种足球少花20元．
（1）求购买一个甲种足球和一个乙种足球各需多少元；
（2）为了加大开展力度，学校决定本学期再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢商场对两种足球售价进行调整，甲种足球售价比上学期购买时提高了10%，乙种足球售价比上学期购买时降低了10%，如果本学期购买甲、乙两种足球的总费用不超过2800元，并且乙种足球至少要购买5个，那么该校本学期有几种不同购买足球的方案？
23．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
（1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ ．
（2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值．
24．如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
（1）求AC，BC的长．
（2）判断△ABC的形状并加以说明．
25．已知，在△ABC中，点D在边BC上，点E在BC的延长线上，且DB＝AB，CE＝AC．
（1）如图1所示，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，请直接写出∠DAE的度数：∠DAE＝ ；
（3）如图2所示，若∠BAC＞90°，其余条件不变，则∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用
【分析】根据因式分解的方法逐一判断即可求解．
解：A、x2﹣3y2≠（x+3y）（x﹣3y），故A错误；
B、x3﹣2xy+xy2≠x（x﹣y）2，故B错误；
C、x2﹣2xy﹣8y2≠（x﹣2y）（x+4y），故C错误；
D、xy2﹣6xy+9x＝x（y﹣3）2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系作答即可．
解：A、因为1+3＝4，所以不能组成三角形，故A不符合题意；
B、因为2+2＜5，所以不能组成三角形，故B不符合题意；
C、因为任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，如2+3＞4，3﹣2＜4，所以能组成三角形，故C符合题意；
D、因为4+6＝10，所以不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题关键．
3．【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【分析】由三角形外角的性质和对顶角相等可得∠GBC+∠BCE＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判断A；根据角平分线的定义和平角可判断B；由角平分线的定义可得 QUOTE ，结合三角形外角的性质可判断C；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判断D．
解：A、∵∠ACF和∠FBG均为△ABC的外角，
∴∠GBC＝∠A+∠ACB，∠ACF＝∠A+∠ABC，
∵∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠GBC+∠ACF＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CD平分∠ACF，
∴∠GBC＝2∠EBC，∠ACF＝2∠DCF，
∵∠DCF＝∠BCE，
∴ QUOTE ，
∵∠E+∠GBC+∠ACF＝180°，
∴ QUOTE ，
故A选项错误，符合题意，
B、∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBG，
∴∠CBD QUOTE ∠ABC，∠CBE QUOTE ∠CBG，
∵∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠DBE＝∠CBD+∠CBE QUOTE （∠ABC+∠CBG）＝90°，
故B选项正确，不符合题意；
C、∵CD平分∠ACF，
∴ QUOTE ，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴2∠D＝∠A，
故C选项正确，不符合题意；
D、∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴ QUOTE ，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD，
故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
4．【考点】命题与定理
【分析】说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断．
解：选项A、B满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；
选项B的反例不满足命题的条件，不符合；
选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，了解举反例的含义是关键．
5．【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【分析】结合三角形内角和为180°、勾股定理的逆定理进行逐项分析，即可作答．
解：∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝180°÷3＝60°，
∴△ABC不是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴ QUOTE ，
∴△ABC不是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵a2+b2＝3+4＝7，c2＝5，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵a2+b2＝12+12＝2， QUOTE ，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟记如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
6．【考点】解分式方程
【分析】根据方程解的定义逐项分析即可求解．
解：A．当x＝3时，左边 QUOTE ，右边＝0，左边≠右边，所以3不是分式方程的解，不合题意；
B．当x＝2时，左边 QUOTE ，右边＝0，左边≠右边，所以2不是分式方程的解，不合题意；
C．当x＝1时，分式的分母为0，分式无意义，所以1不是分式方程的解，不合题意；
D．当x＝0时，左边 QUOTE ，右边＝0，左边＝右边，所以0是分式方程的解，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解的定义，理解分式方程的解的定义是解题关键，本题也可以直接解分式方程得出答案．
7．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用
【分析】证明△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求出结果．
解：如图，
由题意可知，∠FAB＝60°，∠EBC＝30°，AB＝30km，BC＝40km，AF∥DE，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ABD＝∠FAB＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABD﹣∠EBC＝90°，
在Rt△ABC中，
AC QUOTE 50（km），
答：A，C两港之间的距离为50km．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
8．【考点】二次根式的混合运算
【分析】直接利用平方差公式列式计算即可．
解：∵ QUOTE ， QUOTE ，
∴ QUOTE ，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式求值涉及二次根式运算，利用平方差公式计算ab是解答本题的关键．
9．【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；平行线的性质；三角形的外角性质
【分析】根据题意过点P作PE⊥OA，得到PE＝PD，平行线的性质，得到∠ACP＝30°，进而得到PC＝2PE即可．
解：过点P作PE⊥OA，
∵射线OP平分∠AOB，PD⊥OB，∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2×15°＝30°，PE＝PD＝5，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴PC＝2PE＝2×5＝10，
综上所述：B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠BDC＝50°，再根据线段垂直平分线的性质和三角形外角的性质解答即可．
解：∵∠B＝50°，∠BCD＝80°，
∴∠BDC＝50°，
∵D是AC垂直平分线上一点，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠A+∠ACD＝∠BDC，
∠A QUOTE ∠BDC＝25°，
故选：A．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理解答．
二．填空题（共6小题）
11．【考点】二次根式有意义的条件
【分析】利用算术平方根被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
解：∵ QUOTE ，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x＝3，
将x＝3代入 QUOTE ，
得：y＝4，
∴yx＝43＝64．
故答案为：64．
【点评】本题考查了算术平方根被开方数的非负性，熟练掌握并灵活运用算术平方根被开方数的非负性是解题的关键．
12．【考点】分式的值为零的条件
【分析】根据分式值为零的条件即可求解．
解：由条件可知x﹣1＝0且3x+1≠0，
解得x＝1，
∴x的值是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键．
13．【考点】分式方程的增根；解分式方程
【分析】方程两边同时乘（x﹣2），把分式方程转化为整式方程，解出这个方程的解，根据分式方程有增根，所以﹣a﹣1＝2，从而求出a的值．
解：方程两边同时乘（x﹣2）得：x+1＝﹣a，
解得：x＝﹣a﹣1，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴﹣a﹣1＝2，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的增根，把分式方程转化为整式方程是解题的关键．
14．【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【分析】先根据AD＝BD＝5得∠B＝∠BAD，再根据三角形的外角性质及∠ADC＝72°得∠B＝∠BAD＝36°，进而得∠CAD＝∠BAD＝36°，再根据三角形内角和定理可得出∠C＝∠ADC＝72°，然后根据等腰三角形的性质可得出AC的长．
解：∵AD＝BD＝5，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠DAB，∠ADC＝72°，
∴∠B＝∠BAD＝36°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝36°，
在△ACD中，∠C＝180°﹣（∠CAD+∠ADC）＝180°﹣（36°+72°）＝36°，
∴∠C＝∠ADC＝72°，
∴AC＝AD＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
15．【考点】因式分解﹣十字相乘法等
【分析】将（x+1）（x+3）展开即可得到m，n，即可得到答案；
解：∵（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，
∴m＝4，n＝3，
∴m﹣n＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是利用乘法法则将（x+1）（x+3）展开．
16．【考点】全等三角形的判定
【分析】依据题意，△PEC与△QFC全等时，PC＝CQ，当P在AC上，Q在CB上时，得到6﹣t＝8﹣3t，求出t＝1；当P、Q在AC上时，得到6﹣t＝3t﹣8，求出t＝3.5；当P在BC上，Q在AC上时，t＝12，于是得到答案．
解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，
∴当△PEC与△QFC全等时，PC＝CQ，
当P在AC上，Q在CB上时，
∵PC＝AC﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝8﹣3t，
∴6﹣t＝8﹣3t，
∴t＝1（秒）；
当P、Q在AC上（P、Q重合）时，
∵PC＝6﹣t，CQ＝3t﹣8，
∴6﹣t＝3t﹣8，
∴t＝3.5（秒）；
当P在BC上，Q在AC上时，即A与Q重合时，
∴t＝（6+6）÷1＝12（秒）．
∴t的值为1秒或3.5秒或12秒．
故答案为：1秒或3.5秒或12秒．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论．
三．解答题（共9小题）
17．【考点】二次根式的混合运算
【分析】（1）先移项，再把方程两边开方得到3+x＝7或3+x＝﹣7，然后解两个一次方程即可；
（2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并同类二次根式即可．
解：（1）（3+x）2﹣49＝0，
（3+x）2＝49，
3+x＝± QUOTE ，
即3+x＝7或3+x＝﹣7，
所以x1＝4，x2＝﹣10；
（2）原式＝4 QUOTE
＝4 QUOTE 2 QUOTE
QUOTE ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
18．【考点】解分式方程；分式方程的解
【分析】（1）找出出错的步骤，分析出错原因，求出正确的解，提出合理化建议即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可．
解：（1）该同学在解题过程中，他从步骤①开始出错，从解分式方程的步骤方面，对该同学提出两条建议：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根；
故答案为：①；去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根；
（2） QUOTE ，
方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+3（x+1）＝1，
去括号，得：2x﹣2+3x+3＝1，
解得：x＝0，
检验：把x＝0代入x2﹣1≠0，
所以原方程的解为x＝0．
【点评】本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题关键．
19．【考点】分式的加减法；分式的乘除法
【分析】（1）根据分式的乘法计算法则求解即可；
（2）先通分，然后把分子合并同类项即可得到答案．
解：（1） QUOTE ；
（2） QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE ．
【点评】本题主要考查了分式的乘法计算，异分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出∠A＝∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．
（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
QUOTE ，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°，
∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BED＝90°﹣75°＝15°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
21．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）利用尺规作图作BC的垂直平分线l，分别交AC，BC，AM于点E，F，G即可；
（2）根据垂直平分线的性质和∠AGE＝∠C，证明AG⊥BE，再证明△ABD≌△AED，得BD＝ED，进而可得AG垂直平分BE．
（1）解：如图，BC的垂直平分线l，点E，F，G即为所求；
（2）证明：∵EF是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，∠GFM＝90°，
∴∠EBC＝∠C，
∵∠AGE＝∠C，
∴∠EBC＝∠AGE，
∵∠GMF＝∠BMD，
∴∠BDM＝∠GFM＝90°，
∴AG⊥BE，
∴∠BDA＝∠EDA＝90°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝ED，
∴AG垂直平分BE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
22．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，购买一个乙种足球需（x+20）元．则购买甲种足球 QUOTE 个，乙种足球 QUOTE 个，根据“购买甲种足球数量恰好是购买乙种足球数量的2倍”即可列得方程，求解并检验即可解答；
（2）设该校下学期购买y个甲种足球，则购买（50﹣y）个乙种足球．根据“本学期购买甲、乙两种足球的总费用不超过2800元，并且乙种足球至少要购买5个”即可列得不等式组，求解并结合实际即可解答．
解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元．
由题意得： QUOTE ，
解得x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
∴x+20＝70．
答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；，
（2）设该校下学期购买y个甲种足球，则购买（50﹣y）个乙种足球．
由题意得： QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∵y是正整数，
∴y＝44或45，
∴50﹣y＝6或5，
故该校下学期有两种购买足球的方案：购买44个甲种足球，6个乙种足球，或者购买45个甲种足球，5个乙种足球．
【点评】本题考查分式方程的应用，不等式组解决实际问题，解题的关键是解题的关键是找到等量或不等关系，列出方程或方程组．
23．【考点】全等三角形的性质
【分析】（1）先求出点P从点C出发到达点A时所用的时间为6÷2＝3秒，再根据点Q运动的路程BD+AB＝18即可得出点Q的速度；
（2）依题意得AP＝2t﹣6，DQ＝xt，则PB＝16﹣2t，QB＝8﹣xt，再根据∠CAB＝∠DBA＝α，则有以下两种情况：①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，由AC＝BP得6＝16﹣2t，解得t＝5，再由AP＝BQ得2t﹣6＝8﹣xt，由此可得x的值；②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP，由AP＝BP得2t﹣6＝16﹣2t，解得t QUOTE ，再由AC＝BQ得6＝8﹣xt，由此可得x的值，综上所述即可得出答案．
解：（1）∵AC＝6，
∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒），
∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒，
∵AB＝10，BD＝8，
∴BD+AB＝18，
∴点Q运动的时间为：x＝18÷3＝6，
故答案为：6；
（2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝xt，
∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt，
∵∠CAB＝∠DBA＝α，
∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：
①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，
由AC＝BP，得：6＝16﹣2t，
解得：t＝5，
由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt，
∵t＝5，
∴2×5﹣6＝8﹣5x，
解得：x＝0.8；
②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP，
由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t，
解得：t QUOTE ，
由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt，
∵t QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得：x QUOTE ，
综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为0.8或 QUOTE ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．
24．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可．
解：（1）∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝16，CD＝12，
由勾股定理可得：AC QUOTE 20，
△CDB中，∠CDB＝90°，BD＝9，CD＝12，
由勾股定理可得：CB QUOTE 15；
（2）△ABC是直角三角形．
∵AD＝16，BD＝9，
∴AB2＝（AD+BD）2＝252＝625，
∵AC＝20，BC＝15，
∴AC2+BC2＝400+225＝625，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答．
25．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【分析】（1）先求出∠ACB＝45°，根据DB＝AB得∠BAD＝∠BDA＝67.5°，则∠DAC＝22.5°，根据CE＝AC得∠E＝∠CAE，再根据三角形外角性质得∠CAE＝22.5°，由此可得∠DAE的度数；
（2）先求出∠ACB＝30°，根据DB＝AB得∠BAD＝∠BDA＝60°，则∠DAC＝30°，根据CE＝AC得∠E＝∠CAE，再根据三角形外角性质得∠CAE＝15°，由此可得∠DAE的度数；
（3）根据DB＝AB，CE＝AC，设∠BAD＝∠BDA＝α，∠E＝∠CAE＝β，再根据三角形外角性质得∠ACE＝2β，∠DAC＝α﹣2β，进而得∠BAC＝2（α﹣β），∠DAE＝α﹣β，由此可得出∠DAE与∠BAC的数量关系．
解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝45°，
∵DB＝AB，
∴∠BAD＝∠BDA QUOTE （180°﹣∠B） QUOTE （180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠CAE，
∵2∠CAE＝45°，
∴∠CAE＝22.5°，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝22.5°+22.5°＝45°；
（2）∠DAE＝45°，理由如下：
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，
∵DB＝AB，
∴∠BAD＝∠BDA QUOTE （180°﹣∠B） QUOTE （180°﹣60°）＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠CAE，
∵2∠CAE＝30°，
∴∠CAE＝15°，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+15°＝45°，
故答案为：45°；
（3）∠DAE与∠BAC的数量关系是：∠DAE QUOTE ∠BAC，理由如下：
∵DB＝AB，CE＝AC，
∴设∠BAD＝∠BDA＝α，∠E＝∠CAE＝β，
∵∠ACD是△ACE的外角，
∴∠ACD＝∠E+∠CAE＝2β，
∵∠BDA是△ACD的外角，
∴∠BDA＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝∠BDA﹣∠ACE＝α﹣2β，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝α+α﹣2β＝2（α﹣β），
又∵∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝α﹣2β+β＝α﹣β，
∴∠BAC＝2∠DAE，
即∠DAE QUOTE ∠BAC．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键
题号
一
二
三
总分
得分
解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1，①
去括号，得2x﹣1﹣3＝1，②
解得x QUOTE ．③
所以，原方程的解是x QUOTE ．④
正确的过程：