湘教版（2024）七年级上册（2024）等量关系和方程精品ppt课件

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湘教版（2024）数学7年级上册第3章 一次方程（组）3.1 等量关系与方程 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年 9 月举办了一次中学生篮球联赛。 比赛规则为：胜一场得 2 分，输一场得 1 分。 若某校初中男子篮球队参加了 14 场比赛，共得 26 分。 初中男子篮球队胜多少场，输多少场？# 3.1 等量关系与方程（初中七年级数学）## 一、导入新课（5分钟）1. **生活情境+问题驱动**：展示3个实际问题：① 小明有20元零花钱，买笔记本花了x元，还剩12元，他花了多少元？② 一个长方形的长是5cm，宽是y cm，周长是24cm，宽是多少？③ 某班有男生25人，女生z人，男生人数比女生多3人，女生有多少人？引导学生用文字描述数量关系：① 总钱数 - 花的钱数 = 剩余钱数；② （长+宽）×2 = 周长；③ 男生人数 - 女生人数 = 3。2. **引出课题**：提问“能否用含有字母的等式表示这些关系？”，学生尝试列出：① \(20 - x = 12\)；② \(2(5 + y) = 24\)；③ \(25 - z = 3\)。点明这类含有未知数的等式就是方程，本节课将学习等量关系的识别与方程的建立，体会从实际问题到数学模型的转化。## 二、探究新知（20分钟）### （一）核心概念解析1. **等量关系**： - 定义：数量之间相等的关系，是建立方程的基础。例如“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”等公式，以及实际问题中隐含的相等关系（如“剩余钱数=总钱数-支出钱数”）。 - 识别方法：抓住问题中的关键词（如“等于”“比……多”“比……少”“是……的几倍”“占……的几分之几”），或利用几何公式、常识性规律提炼相等关系。例如“甲的年龄比乙大5岁”可转化为“甲的年龄 - 乙的年龄 = 5”。2. **方程的定义**： - 定义：含有未知数的等式叫做方程。关键词：① 含有未知数（如x、y、z等字母）；② 是等式（必须有等号“=”）。 - 举例与辨析：① \(3x + 5 = 11\)（含未知数x，是等式，是方程）；② \(2 + 3 = 5\)（无未知数，不是方程）；③ \(4x - 7\)（不是等式，是代数式，不是方程）；④ \(x - 2 > 0\)（是不等式，不是方程）。3. **方程的解与解方程**： - 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。例如方程\(2x = 6\)中，x=3时左右两边都等于6，所以x=3是该方程的解。 - 解方程：求方程的解的过程叫做解方程（后续重点学习，此处初步区分概念）。### （二）建立方程的步骤1. **设未知数**：根据问题情境，选择合适的未知量用字母表示（通常设要求的量为x，也可设中间量），设完后注明单位。2. **找等量关系**：分析题目中的数量关系，找出隐含的相等关系（可借助画图、列表辅助分析）。3. **列方程**：根据等量关系，用含未知数的代数式表示等式两边的量，列出方程。4. **检验**：初步检查方程是否符合等量关系，字母和单位是否统一（避免逻辑错误）。### （三）常见等量关系类型1. **和差倍分关系**：如“a比b的3倍多2”转化为“a = 3b + 2”；“m与n的和是10”转化为“m + n = 10”。2. **几何公式关系**：长方形周长=2（长+宽）、正方形面积=边长×边长、三角形面积=（底×高）÷2等。3. **实际应用关系**：路程=速度×时间、工作总量=工作效率×工作时间、利润=售价-进价等。## 三、例题讲解（12分钟）### 例题1：和差倍分问题（基础）- 题目：某学校七年级共有学生320人，其中男生人数比女生人数的2倍少40人，求女生人数。- 解答： ① 设未知数：设女生人数为x人，则男生人数为（2x - 40）人； ② 找等量关系：男生人数 + 女生人数 = 总人数； ③ 列方程：\(x + (2x - 40) = 320\)。- 小结：设较小的量为未知数，利用“倍”“多”“少”等关键词构建等量关系，注意代数式的正确表示。### 例题2：几何问题（公式应用）- 题目：一个梯形的上底是3cm，下底是5cm，面积是16cm²，求梯形的高。（梯形面积公式：\(S = \frac{1}{2}(a + b)h\)，其中S为面积，a为上底，b为下底，h为高）- 解答： ① 设未知数：设梯形的高为h cm； ② 找等量关系：梯形面积公式； ③ 列方程：\(\frac{1}{2}(3 + 5)h = 16\)。- 小结：直接利用几何公式作为等量关系，代入已知量，用未知数表示未知量，列出方程。### 例题3：实际应用问题（路程）- 题目：小明从家骑自行车去学校，速度为12km/h，出发15分钟后，爸爸发现他忘带课本，开车以36km/h的速度追赶，问爸爸多久能追上小明？- 解答： ① 设未知数：设爸爸出发t小时后追上小明； ② 找等量关系：爸爸追上时，两人行驶的路程相等（小明行驶时间为\(t + \frac{15}{60} = t + 0.25\)小时）； ③ 列方程：\(36t = 12(t + 0.25)\)。- 小结：复杂实际问题需先梳理运动过程，统一单位（15分钟转化为0.25小时），再找出核心等量关系（路程相等）。## 四、课堂练习（8分钟）1. **基础题**： （1）下列式子中是方程的是______（填序号）：① \(5x - 3\) ② \(7 + 8 = 15\) ③ \(2x + 4 = 9\) ④ \(x - 1 > 2\)（答案：③）； （2）设未知数并列出方程：一个数的4倍与7的和是23，求这个数（答案：设这个数为x，方程：\(4x + 7 = 23\)）。2. **中档题**： （1）长方形的长比宽多3cm，周长是42cm，设宽为x cm，列方程为______（答案：\(2(x + x + 3) = 42\)）； （2）某商品进价为80元，按标价的8折销售仍可获利20元，设标价为y元，列方程为______（答案：\(0.8y - 80 = 20\)）。3. **拓展题**： 甲、乙两队合修一条长1800米的公路，甲队每天修100米，乙队每天修80米，两队同时开工，多少天后还剩300米未修？（答案：设x天后还剩300米，方程：\(100x + 80x + 300 = 1800\)）。- 要求：学生独立完成，教师巡视指导，重点关注等量关系的识别和方程的规范列出，最后集体订正，讲解易错点（如单位不统一、代数式表示错误）。## 五、课堂小结（2分钟）1. 核心概念：等量关系是数量间的相等关系，方程是含未知数的等式，二者是解决实际问题的关键纽带；2. 列方程步骤：设未知数→找等量关系→列方程→检验，其中“找等量关系”是核心环节；3. 常见题型：和差倍分、几何公式、实际应用（路程、利润等），需结合具体场景提炼等量关系；4. 强调意义：方程是数学建模的基础，能将实际问题转化为数学问题，为后续解方程、解决复杂应用题奠定基础。 问：(1) 其中蕴含怎样的等量关系？ 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年 9 月举办了一次中学生篮球联赛。 比赛规则为：胜一场得 2 分，输一场得 1 分。 若某校初中男子篮球队参加了 14 场比赛，共得 26 分。胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分。2×胜/输的场数胜的场数＋输的场数＝14.1×输的场数（2）如果设该队胜了 x，则该队输了 场。又由于胜一场得 2 分，输一场得 1 分，因此可得以下等式：2x + (14 - x) = 26(14-x)下图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为 1.2 m， 高为 1 m，表面积为 6.8 m2. (1) 这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2) 假设包装盒底面的宽是 y m，则根据题意可得以下等式：表面积＝(长×宽＋宽×高＋长×高)×2(1.2×y+y×1+1.2×1)×2=6.82.4y+2y+2.4=6.82x + (14 - x) = 262.4y+2y+2.4=6.82. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。观察下列两式，这两个式子有什么样的特点？①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1；⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦ ；⑧πx＝12.①只含有一个未知数；②未知数的指数是 1；③方程中的代数式都是整式.√√√√例1 判断下列各式是不是一元一次方程：1 或 -1-1-2注意：未知数的次数为 1，且系数不等于 0.5.（福州·期末）“x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 与 4 的差”， 用等式表示为 .4.（厦门·期中）已知长方形的长与宽分别为 16、x，周长为 40，根据条件，列出方程为 .2(16 + x) = 40探究2：填写下表：-33053769911121315151817……观察表格，当 x = 1 时， 3x - 6 = ； 当 2x + 1 = 11 时，x = ；当 x = 时，3x - 6 = 2x + 1.-357 把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值.-33053769911121315151817……当 x = 7 时，3x - 6 = 2x + 1.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?(1) 找出，上述趣题中的等量关系；兔的只数＋鸡的只数＝35；兔的脚数＋鸡的脚数＝94.设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只.由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚，因此，可得如下一元一次方程：4x + 2(35 - x) = 94将方程左边的多项式整理得4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70(2) 适当设未知数，列出一元一次方程.从而方程变成2x + 70 = 94怎么求出 x 的值？2x + 70 = 9490小了100大了96大了94相等92小了由上可知，12 是方程的唯一解. 于是上述趣题中兔有 12 只，鸡有 23 只.2x + 70 = 94x = 12例2 分别检验 x 的下列值是不是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330.解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得，左边 = 2.5×300＋318= 1 068，左边 = 右边，所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解.(2) 把 x 用 330 代入原方程得，左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143，左边 ≠ 右边，所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解.6. 下列方程中，解为 x＝－2 的是(　　)A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2C7. 若 x＝4 是关于 x 的方程 ax＝8 的解，则 a 的值为______.2 BA. 2 B. 3 C. 4 D. 5 返回 A  返回 ②③⑤ 返回   返回   返回   返回认识方程 谢谢观看！