初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）3.1 等量关系和方程优秀教学ppt课件

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1.能结合具体例子认识一元一次方程的定义，体会设未知数、列方程的过程，会用方程表示简单实际问题的相等关系．2.充分了解一元一次方程的概念，能对实际问题列出相应的方程，并能求出方程的解.3.根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中，培养获取信息、分析问题、处理问题的能力.
中国现存最古老的数学经典著作之一 《九章算术》 中有一章名为 《方程》. 古代数学家刘徽在对其进行注释时，说：“程，课程也 . 群物总杂，各列有数，总言其实 . 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程. ”
金元数学家李冶在其著作 《测圆海镜》 中，系统地介绍了天元术，其中的“元（未知数）”沿用至今.
后人将方程思想发扬光大，使之成为刻画现实世界中等量关系的有效模型 .
【想一想】什么是方程呢？
【思考】（1） 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得 26 分 . 问：其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？
等量关系：胜的场数得分 + 输的场数得分 = 总得分.
【思考】（2） 下图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为 1.2 m， 高为 1m，表面积为 6.8 m2. 其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？
等量关系：（长×宽+宽×高+长×高）×2 = 表面积.
前面已经学习了用字母表示数，这启发我们，可以先将问题中的未知量用字母表示，然后再探索解决办法.
对于（1），设该队胜了 x 场，则该队输了（14 - x）场 . 又由于胜一场得 2分，输一场得1分，总共得了26分，因此可得以下等式：2x +（14 - x）= 26 ①
对于（2）， 若设包装盒底面的宽是y m， 则根据题意可得以下等式：（1. 2 × y + y × 1 + 1. 2 × 1）× 2 = 6. 8，即2. 4y + 2y + 2. 4 = 6. 8.②
2x +（14 - x）= 26 ①
2. 4y + 2y + 2. 4 = 6. 8.②
观察下面两个等式，你能发现什么？
①②式中的x，y叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.
像方程①②这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，这样的方程叫作一元一次方程.
【例】在下列方程：①3x-y=2，②x2-2x-3=0， 中，一元一次方程的个数为 ( ).A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【总结归纳】一元一次方程的特点：(1)只含有一个未知数；(2)所含未知数的项的最高次数为1；(3)方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数。
问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？（1） 找出上述趣题中的等量关系；
等量关系：（1） 兔的只数+鸡的只数=35；（2） 兔的脚数+鸡的脚数=94.
问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？（2） 适当设未知数，列出一元一次方程.
设兔有x只，则鸡有（35 - x）只.由于每只兔有4只脚，每只鸡有2只脚，并且笼子里总共有94只脚，因此，可得如下一元一次方程：4x + 2（35 - x）= 94. ③
将方程③左边的多项式整理得4x +（70 - 2x）= 2x + 70，从而方程③变成2x + 70 = 94.④
如果要求出上述问题中兔的只数，则需要找到一个数，将这个数代入方程④后，能使方程左、右两边的值相等，则这个数就是所求兔的只数.
【议一议】如何找到一个数，使方程④左、右两边的值相等？
对于方程④，就是要找出一个数，使得它的 2倍与 70 的和等于 94. 根据方程④中 x 的实际意义可知，这个数一定是正整数.
因此，只有一个数12符合条件.
对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解. 习惯上记作x = c.
由上可知，12是方程④的唯一解. 于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只.对于一些较简单的方程，可以先确定未知数的一个较小的取值范围，然后在此范围内估算出方程的解. 这种方法是解决问题的一种重要策略.
【例】分别检验x的下列值是否是方程2. 5x + 318 = 1 068的解.（1） x = 300； （2） x = 330.
解 （1） 把x用300代入原方程得，左边= 2. 5 × 300 + 318 = 1 068，左边=右边，所以x = 300是方程2. 5x + 318 = 1 068的解.
（2） 把x用330代入原方程得，左边= 2. 5 × 330 + 318 = 1 143，左边≠右边，所以x = 330不是方程2. 5x + 318 = 1 068的解.
【方法指导】检验一个数是否为方程的解的方法：
把这个数分别代入方程的左右两边
看方程左右两边的值是否相等
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各方程中，是一元一次方程的是(　　)A.x＋y＝2 B.x＋2＝3C.x＋2y＋z＝0 D.4x2＝0
2.若关于x的方程( m-2 )x│m│-1 =6是一元一次方程，则m的值为( ).A.±2B.-2C.2D.4
3.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗. 今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何?”如果设清酒x斗，那么可列方程为( )+3(5-x) =30 B.3x+10(5-x)=30C.10x+3(5+x) =30 D.3x-10(5-x)=30
4.若方程(︱m︱－2)·x2－(m－2)x－6＝0是关于x的一元一次方程.(1)求m的值；(2)求m2－3m＋5的值.
解：由题意可知|m|－2＝0且－(m－2)≠0，所以m＝－2.
解：m2－3m＋5＝4＋6＋5＝15.
【知识技能类作业】选做题：
5.若关于x的方程(m－3)x＋6＝0是一元一次方程，则m的取值范围是(　　).A.m≠0 B.m≠2 C.m＝2 D.m≠3
6.检验：①x＝6；②x＝4是否为方程2x－3＝5(x－3)的解．
解：把x＝6代入2x－3＝5(x－3)，左边＝12－3＝9，右边＝5×3＝15，左边≠右边，所以x＝6不是方程的解；把x＝4代入2x－3＝5(x－3)，左边＝8－3＝5，右边＝5×1＝5，左边＝右边，所以x＝4是方程的解．
7.小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了A，B两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等，设橘子的单价为x元.(1)根据题意列出方程.
解：根据题意，得2(x＋12)＝5x.
7.(2)在x＝6，x＝7，x＝8中，哪一个是(1)中所列方程的解？
解：当x＝6时，2(x＋12)＝36， 5x＝30，所以等号的左右两边不相等．所以x＝6不是方程的解．当x＝7时，2(x＋12)＝38，5x＝35，所以等号的左右两边不相等．所以x＝7不是方程的解．当x＝8时，2(x＋12)＝40， 5x＝40，所以等号的左右两边相等．所以x＝8是方程的解．
1.只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，这样的方程叫作一元一次方程.
2.对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解. 习惯上记作x = c.
3.检验一个数是否为方程的解的方法：把这个数分别代入方程的左右两边，看方程左右两边的值是否相等。
1.若(k－2)x|k|－1－3＝0是关于x的一元一次方程，则k2－2k＋1的值为(　　).A．1 B．9 C．1或9 D．0
2.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x，所列方程正确的是(　　).A. 5x－45＝7x－3 B. 5x＋45＝7x＋3C. 5x－45＝7x +3 B. 5x＋45＝7x - 3
3.在编写数学谜题时，列出式子3×2□＋5＝□2，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是(　　).A．3×2x＋5＝2xB．3×20x＋5＝10x×2C．3×20＋x＋5＝20xD．3×(20＋x)＋5＝10x＋2
4.已知方程(m＋1)xn－1＝n＋1是关于x的一元一次方程．求m，n满足的条件；
解：因为方程(m＋1)xn－1＝n＋1是关于x的一元一次方程，所以m＋1≠0，且n－1＝1.所以m≠－1，且n＝2.