2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点12 一元二次方程（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点12 一元二次方程（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了故选等内容，欢迎下载使用。
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B【解析】 由题意，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0．∴m，n异号，且m，n中绝对值较大的为正．又m＜n，∴m＜0，n＞0．∴（m，n）在第二象限．故选：B．
9．【2023·朝阳】若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞12且k≠1B．k＞12C．k≥12且k≠1D．k≥12
【答案】A【解析】 ∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴k-1≠0Δ=22-4×(k-1)×(-2)＞0，解得：k＞12且k≠1，∴k的取值范围是k＞12且k≠1．故选：A．
7．【2023·西藏】已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1、x2，则1x1+1x2的值为（ ）
A．﹣3B．-23C．1D．32
【答案】D【解析】由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2＝3，x1x2＝2，∴1x1+1x2=x2x1x2+x1x1x2 =x1+x2x1x2
=32，故选：D．
北京
5.【2023·北京5题】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
甘肃省
8. 【2023·兰州8题】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A. －2B. 2C. －4D. 4
【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根∴.∴.
天津
9．【2023•天津9题】若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2=76D．x1x2＝7
【答案】A
新疆
6．【2023·新疆生产建设兵团】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
【答案】D
内蒙古
12. 【2023·赤峰】用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【答案】C【解析】，移项得，，两边同时加上，即，∴．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
四川省
6．【2023·广安】已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【答案】A【解析】∵点P（a，c）在第四象限，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．【2023·泸州】关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
【分析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
【答案】C【解析】∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4＞0．∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与根的解的关系”是解决本题的关键．
6．【2023·眉山】关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜32B．m＞3C．m≤3D．m＜3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【答案】D【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，解得：m＜3．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．【2023·广元】关于x的一元二次方程2x2﹣3x+32=0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】C
7．【2023•乐山】若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
【答案】C【解析】∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8.∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2.
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
山东省
4．【2023·滨州】一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能判定
【答案】A
4．【2023·聊城】若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
【答案】D
6．【2023·菏泽】一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为（ ）
A．32B．﹣3C．3D．-32
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【答案】C 【解析】∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣3；x1x2＝﹣1．∴1x1+1x2=x1+x2x1x2 =-3-1 ＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
吉林省
4.【2023·吉林】一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A. 33B. 23C. 17D.
【答案】C
河南省
7．【2023·河南7题】关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A 【解析】∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
二、填空题
16．【2023·湘西州】已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根为x1＝1．则另一个根x2＝ ．
【答案】3【解析】 则根据根与系数的关系得：x2+1=-ba=4，解得：x2＝3，即方程的另一个根为3，故答案为：3．
12．【2023·鞍山市】若关于x的一元二次方程x2+3x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞-94【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣a＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即Δ＝32﹣4×1×（﹣a）＞0，解得a＞-94．故答案为：a＞-94．
12．【2023·甘孜州】关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】4 【解析】 根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4．故答案为：4．
13．【2023·攀枝花】x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为m、n，则1m+1n= ．
【答案】﹣2 【解析】 由题意，根据根与系数的关系可得，m+n＝4，mn＝﹣2．又1m+1n=m+nmn，∴1m+1n=4-2=-2．
6．【2023·镇江】若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝ ．
【答案】5 【解析】把x＝1代入方程x2+mx﹣6＝0得1+m﹣6＝0，解得m＝5．故答案为：5．
宁夏
11．【2023·宁夏11题】方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】﹣4
贵州省
15. 【2023·贵州】若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_______．
【答案】【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴.∴．
甘肃省
12．【2023·甘肃省卷12题】关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝ （写出一个满足条件的值）．
【答案】0（答案不唯一）
上海
11．【2023·上海】已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是 ．
【答案】a＞9【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，∴Δ＜0，即62﹣4a＜0，解得：a＞9.
内蒙古
12．【2023·包头】若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则x1+x2x1x2= ．
【答案】-14
湖南省
11．【2023·张家界】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞﹣1
13．【2023·常德】若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围．
【答案】a＜1【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a＝4﹣4a＞0，解得：a＜1，∴a的取值范围是：a＜1．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式，解答的关键是注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
14．【2023·娄底】若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+1m2= ．
【答案】6
14．【2023·岳阳】已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝ ．
【答案】3 【解析】由题意，Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，∴m＞2．x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2．∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，解得m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，∴实数m的值为3．
16．【2023·衡阳】已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 ．
【答案】5 【解析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，解得t＝5，即方程的另一个根为5．
13．【2023·怀化】已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 ，另一个根为 ．
【答案】﹣1 2 【解析】将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1．∵方程的两根之积为＝﹣2，∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．
湖北省
12．【2023·黄冈】已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝ ．
【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得k的值，再根据根的判别式求得k的取值范围．最后综合情况，求得k的值．
【答案】-5 【解析】∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝k，∵x1x2+2x1+2x2＝1，∴k+2×3＝1，解得k＝﹣5，又∵方程有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤94，综合以上可知实数k取值范围是k＝﹣5．故答案为：﹣5．
【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13．【2023·随州】已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
【分析】直接利用根于系数的关系x1+x2=-ba=3，x1x2=ca=1，再代入计算即可求解．
【答案】2【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，∴x1+x2=--31=3，x1x2=11=1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
14．【2023·宜昌】已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式x1+x21+x1x2的值为 ．
【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值．
【答案】1 【解析】∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，∴x1+x2=32，x1x2=12，∴x1+x21+x1x2=321+12=1．故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
13. 【2023·鄂州】实数m，n分别满足，且，则的值是_______．
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
【答案】【解析】由题可知，m和n是的两个根，所以，所以．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程的两个根分别为和，则”．
江苏省
13．【2023·泰州】关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根之和为 ．
【分析】解一元二次方程得出x的值，再进行相加，从而取得最终答案．
【答案】﹣2【解析】x2+2x﹣1＝0，x1+x2=-ba=-21=-2，
【点评】本题主要考查了根与系数的关系．
13.【2023·徐州】关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______．
【答案】
13．【2023·扬州】若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
【答案】k＜1
12．【2023·连云港】关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】a＜1
16．【2023·连云港】若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 ．
四川省
12．【2023·遂宁】若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】2【解析】∵a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，∴a+b＝3，ab＝1，∴a+b﹣ab＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．【2023·雅安】已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之积等于ca，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【答案】﹣4【解析】设方程的另一个根为m，根据题意得：1×m＝﹣4，解得：m＝﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．
12．【2023·达州】已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 ．
【分析】先求出（x1+x2），x1x2的值，然后把（x1﹣2）（x2﹣2）＝10的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值．
【答案】7【解析】∵x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，∴x1+x2=-k2，x1•x2＝﹣1，∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（-k2）+4＝10，解得k＝7．故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，也考查了代数式的变形能力．
14．【2023·眉山】已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为 ．
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
【答案】6 【解析】∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4，∴（x1+2）•（x2+2）＝x1•x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
15．【2023·宜宾】若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为1，则m的值为 ．
【分析】设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，可得α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，根据两根的倒数和为1，有＝1，即＝1，得m＝2，再检验可得答案．
【答案】2【解析】设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，∴α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，∵两根的倒数和为1，∴+＝1，∴＝1，∴＝1，解得m＝2，经检验，m＝2是分式方程的解，当m＝2时，原方程为x2﹣6x+6＝0，Δ＝12＞0，∴m＝2符合题意．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握元二次方程根与系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根．
22．【2023•内江】已知a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝ ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
【答案】-2【解析】∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0.∴a2＝﹣3a+4.
∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，∴a+b＝﹣3.∴a2+4a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+＝﹣3+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca，也考查了一元二次方程的解．
吉林省
10. 【2023·长春】若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
山东省
12. 【2023·潍坊】用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为_____．（精确到）
【答案】
13．【2023·泰安】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞﹣4
辽宁省
14. 【2023·营口】若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是______．
【答案】【解析】设另一个根为，根据题意：，解得，，即另一个根为．
14．【2023·本溪】若关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4（k+1）≥0，然后解不等式即可．
【答案】k≤-34【解析】根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4×（k+1）≥0，解得k≤-34．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．【2023·抚顺、葫芦岛】若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列式计算即可．
【答案】k＜9【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，解得：k＜9，
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得（﹣6）2﹣4k＞0是解题的关键．
黑龙江
16．【2023·绥化】已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则1x1+1x2的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣6，再把原式变形得到x1+x2x1x2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【答案】-23 【解析】一元二次方程x2+x＝5x+6整理得，x2﹣4x﹣6＝0．根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣6，所以原式=x1+x2x1x2=4-6=-23．故答案为：-23．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
17．【2023·牡丹江】张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
【分析】设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【答案】20%【解析】设每月盈利的平均增长率是x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴每月盈利的平均增长率是20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
20．【2023·青海】为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0．
解：（2）由（1）知1＜x＜4，
∴令m＝2，
则方程变为x2﹣2x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，
∴x=2±122×1=2±232=1±3，
∴x1＝1+3，x2＝1-3（答案不唯一）．
22．【2023·黄石】关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．
解：（1）由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，
∴x1，2=-1±12-4×(-1)2=-1±52．
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为-1+52．
（2）∵b2﹣2mb＝4，
∴b2﹣2mb﹣4＝0．
∴（-b2）2+m•（-b2）﹣1＝0．
又b≠﹣2a，
∴a，-b2是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根．
∴a•（-b2）＝﹣1．
∴ab＝2．
（3）由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，
∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，
（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p﹣q≠0，
∴（p+q）+n＝﹣1．
∴p+q＝﹣n﹣1．
又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．
∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．
∴pq＝n．
∴pq﹣n＝0．
21．【2023·襄阳】关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ=ca=3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
浙江省
17．【2023•杭州】设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
解：选择条件②，得一元二次方程x2+3x+1＝0.由求根公式x=-b±b2-4ac2a，得x=-3±52.
(答案不唯一，也可选择条件①③求解）
湖北省
18．【2023·荆州】已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k＞-25且k≠0；
（2）当k＝1时，
原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，即x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，
直接开平方得：x﹣3＝±14
解得：x1＝3+14，x2＝3-14．
20．【2023·仙桃】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．
（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b=--(2m+1)1=2m+1，ab=m2+m1=m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
江苏省
20.【2023·无锡】（1）解方程：
解：（1）
∵，∴，
∴解得：，；
四川省
20．【2023·南充】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且x2x1+x1x2=-52，求m的值．
【分析】（1）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；（2）根据根与系数的关系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由x2x1+x1x2=-52进行变形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m＝16m2﹣8m+1＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2x1x2-2=-52，
∴(2m-1)2-3m2+m-2=-52，整理得5m2﹣7m+2＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，解得m＝1或m=25．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．
黑龙江
19．【2023·齐齐哈尔】解方程：x2﹣3x+2＝0．
解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．