2024年中考数学真题分类汇编：知识点12 一元二次方程2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点12 一元二次方程2024（解析版），共6页。试卷主要包含了∴2a+b＝0，故①正确，故选A等内容，欢迎下载使用。
4．【2024·北京4题】若关于x的一元二次方程x2−4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．−16B．−4C．4D．16
【答案】C【解析】因为关于x的一元二次方程x2−4x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（−4）2−4c＝0，
解得c＝4．故选C．
上海
1．【2024·上海】以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2−6x＝0B．x2−9＝0C．x2−6x+6＝0D．x2−6x+9＝0
【答案】D
河北省
9．【2024·河北9题】淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（ ）
A．1B．2−1C．2+1D．1或2+1
【答案】C【解析】根据题意得，a2−2a＝1，解得a＝1±2，∵a＞0，∴a=2+1．故选C．
吉林省
4．【2024·吉林】下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x−2）2＝−1B．（x−2）2＝0C．（x−2）2＝1D．（x−2）2＝2
【答案】B【解析】A、（x−2）2＝−1化简为方程x2−4x+5＝0，∵a＝1，b＝−4，c＝5，∴Δ＝（−4）2−4×1×5＝−4＜0，此方程没有实数根，不符合题意；B、（x−2）2＝0，化简为x2−4x+4＝0，∵a＝1，b＝−4，c＝4，∴Δ＝
（−4）2−4×1×4＝0，∴此方程有两个相等实数根，符合题意；C、（x−2）2＝1，化简为方程x2−4x+3＝0，∵a＝1，
b＝−4，c＝3，∴Δ＝（−4）2−4×1×3＝4＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、方程（x−2）2＝2，化简为可化为x2−4x+2＝0，∵a＝1，b＝−4，c＝2，∴Δ＝42−4×1×2＝16−8＝8＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选B．
山东省
7．【2024·泰安】关于x的一元二次方程2x2−3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜98B．k≤98C．k≥98D．k＜−98
【答案】B
四川省
12．【2024·雅安】已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝−1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，4c3）；
③a＜0；
④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【解析】由题意，∵ax2+bx+c＝0有两实根x1＝−1，x2＝3，∴a−b+c=0①9a+3b+c=0②．∴②−①得，8a+4b＝0．∴2a+b＝0，故①正确．∴b＝−2a．∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x=−b2a=−−2a2a=1．∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，a+b+c）．又b＝−2a，a−b+c＝0，∴3a+c＝0，即a=−c3．∴b＝−2a=23c．∴a+b+c=43c．∴顶点坐标为（1，43c），故②正确．∵3a+c＝0，∴c＝−3a．又b＝−2a，abc＞0，∴abc＝a•（−2a）•（−3a）＝6a3＞0．∴a＞0，故③错误．∵m（am+b）＜4a+2b，∴am2+bm+c＜4a+2b+c．∴对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值．∵a＞0，抛物线的对称轴是直线x＝1，又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，∴|m−1|＜2−1．∴−1＜m−1＜1．∴0＜m＜2，故④错误．综上，正确的有①②共2个．故选B．
9．【2024·凉山州】若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2−4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A．2B．−2C．2或−2D．12
【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2−4＝0的一个根是x＝0，∴a2−4＝0且a+2≠0，解得a＝2，故选A．
8．【2024·乐山】若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且1x1+1x2=3，则p的值为（ ）
A．−23B．23C．−6D．6
【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，∴x1+x2＝−2，x1x2＝p，∵1x1+1x2=3，
∴x1+x2x1x2=3，即−2p=3，解得：p=−23．故选A．
8．【2024·自贡】关于x的方程x2+mx−2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A【解析】关于x的方程x2+mx−2＝0中，∵a＝1，b＝m，c＝−2，∴Δ＝m2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．
7．【2024·广安】若关于x的一元二次方程（m+1）x2−2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0且m≠−1B．m≥0C．m≤0且m≠−1D．m＜0
【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程（m+1）x2−2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴m+1≠04−4(m+1)＞0，
解得m＜0且m≠−1.故选A．
贵州省
5．【2024·贵州5题】一元二次方程x2−2x＝0的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝1B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝−2D．x1＝−2，x2＝−1
【答案】B
甘肃省
9. 【2024·兰州】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
黑龙江省
6．【2024·绥化】小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−2和−5．则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0B．x2−7x+10＝0
C．x2−5x+2＝0D．x2−6x−10＝0
【答案】B【解析】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），由题知，−ba=6+1=7，ca=−2×(−5)=10，
所以b＝−7a，c＝10a，所以原来的方程为ax2−7ax+10a＝0，则x2−7x+10＝0．故选B．
二、填空题
河南省
13．【2024·河南】若关于x的方程12x2−x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【答案】12【解析】因为关于x的方程12x2−x+c=0有两个相等的实数根，所以Δ＝（−1）2−4×12×c=0，
解得c=12．故答案为12．
山东省
1．【2024·烟台】若一元二次方程2x2−4x−1＝0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为 ．
【答案】6【解析】∵一元二次方程2x2−4x−1＝0的两根为m，n，∴2m2−4m＝1，m+n=−−42=2，mn=−12，
∴3m2−4m+n2＝2m2−4m+m2+n2＝1+（m+n）2−2mn＝1+22−2×（−12）＝6．故答案为6．
2．【2024·枣庄】若关于x的方程4x2−2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】14【解析】∵关于x的方程4x2−2x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2−4ac＝22−4×4×m＝4−16m＝0，
解得：m=14．故答案为：14．
湖南省
15．【2024·湖南15题】若关于x的一元二次方程x2−4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】2【解析】∵关于x的一元二次方程x2−4x+2k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2−4ac＝16−8k＝0，
解得k＝2．故答案为2．
江苏省
1．【2024·连云港】关于x的一元二次方程x2−x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【答案】14 【解析】∵一元二次方程x2−x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即1−4c＝0，解得c=14.故答案为14．
四川省
23．【2024·凉山州】已知y2−x＝0，x2−3y2+x−3＝0，则x的值为 ．
【答案】3【解析】∵y2−x＝0，∴y2＝x≥0，∵x2−3y2+x−3＝0，∴x2−3x+x−3＝0，即x2−2x−3＝0，解得x1＝3，x2＝−1（舍去），即x的值为3，故答案为3．
14．【2024·眉山】已知方程x2+x−2＝0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为 ．
【答案】12【解析】∵方程x2+x−2＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝−1，x1x2＝−2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−1−2=12．
故答案为12．
14．【2024·南充】已知m是方程x2+4x−1＝0的一个根，则（m+5）（m−1）的值为 ．
【答案】−4
1．【2024·泸州】已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−5＝0的两个实数根，则（x1−x2）2+3x1x2的值是 ．
【答案】14
2．【2024·成都】若m，n是一元二次方程x2−5x+2＝0的两个实数根，则m+（n−2）2的值为 ．
【答案】7 【解析】∵m，n是一元二次方程x2−5x+2＝0的两个实数根，∴m2−5m+2＝0，m+n＝5，∴m2+5m＝−2，n＝5−m，∴m+（n−2）2＝m+（3−m）2＝m2−5m+9＝−2+9＝7．故答案为：7．
广东省
13．【2024·广东】若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
【答案】1【解析】∵一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即4−4c＝0，解得c＝1.
9．【2024·深圳9题（回忆版）】一元二次方程x2−3x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝ ．
【答案】2【解析】将x＝1代入一元二次方程得，1−3+a＝0，解得a＝2．故答案为2．
云南省
1．【2024·云南】若一元二次方程x2−2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 ．
【答案】c＞1
甘肃省
13．【2024·临夏州】若关于x的一元二次方程x2+2x−m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】−1
新疆
12．【2024·新疆生产建设兵团】关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】k＜94【解析】由题意得Δ＝9−4k＞0，解得k＜94，故答案为k＜94．
三、解答题
安徽省
15．【2024·安徽15题】解方程：x2−2x＝3．
解：x2−2x＝3，
x2−2x−3＝0，
（x−3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝−1．
山东省
1.【2024·滨州】解方程：x2−4x＝0．
解：∵x2−4x＝0，
∴x（x−4）＝0，
∴x＝0或x−4＝0，
∴x1＝0，x2＝4．
四川省
26．【2024·内江】已知关于x的一元二次方程x2−px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1x2＝ ；
（2）求1x1+1x2，x1+1x1；
（3）已知x12+x22=2p+1，求p的值．
解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
故答案为p，1.
（2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1，
∴1x1+1x2=x2+x1x1x2=p1=p.
∵关于x的一元二次方程x2−px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2，
∴x12−px1+1=0，∴x1−p+1x1=0，即x1+1x1=p.
（3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
∵x12+x22=2p+1，
∴(x1+x2)2−2x1x2=2p+1，
∴p2−2＝2p+1，解得p1＝3，p2＝−1，
当p＝3 时，Δ＝p2−4＝9−4＝5＞0；
当 p＝−1 时，Δ＝p2−4＝−3＜0；
∴p＝3．
21．【2024·遂宁】已知关于x的一元二次方程x2−（m+2）x+m−1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22−x1x2＝9，求m的值．
解：（1）x2−（m+2）x+m−1＝0，
这里a＝1，b＝−（m+2），c＝m−1，
Δ＝b2−4ac＝[−（m+2）]2−4×1×（m−1）＝m2+4m+4−4m+4＝m2+8．
∵m2≥0，∴Δ＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2）设方程x2−（m+2）x+m−1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2＝m+2，x1x2＝m−1．
∵x12+x22−x1x2＝9，即（x1+x2）2−3x1x2＝9，
∴（m+2）2−3（m−1）＝9．整理，得m2+m−2＝0．
∴（m+2）（m−1）＝0．解得m1＝−2，m2＝1．
∴m的值为−2或1．
20．【2024·南充】已知x1，x2是关于x的方程x2−2kx+k2−k+1＝0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴Δ＝（−2k）2−4×1×（k2−k+1）＝4k2−4k2+4k−4＝4k−4＞0，
解得k＞1．
（2）∵1＜k＜5，
∴整数k的值为2，3，4，
当k＝2时，方程为 x2−4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
当k＝3或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，k的值为2．
广东省
20．【2024·广州】关于x的方程x2−2x+4−m＝0有两个不等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：1−m2|m−3|÷m−12•m−3m+1．
解：（1）根据题意得Δ＝（−2）2−4（4−m）＞0，
解得m＞3；
（2）∵m＞3，
∴m−3＞0，
∴1−m2|m−3|÷m−12•m−3m+1
=(1+m)(1−m)m−3•2m−1•m−3m+1
＝−2．
黑龙江省
19．【2024·齐齐哈尔】解方程：x2−5x+6＝0．
解：∵x2−5x+6＝0，
∴（x−2）（x−3）＝0，
则x−2＝0或x−3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．