2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点15 正比例函数与一次函数图象、性质及其应用（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点15 正比例函数与一次函数图象、性质及其应用（Word版附解析），共58页。试卷主要包含了故答案为等内容，欢迎下载使用。
7．【2023·宁夏7题】在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．y1随x的增大而减小
B．b＜n
C．当x＜2时，y1＞y2
D．关于x，y的方程组ax-y=-bmx-y=-n的解为x=2y=3
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解．
【答案】B【解析】A：由图象得y1随x的增大而减小，故A正确的；B：由图象得：n＜b，故B是错误的；C：由图象得：当x＜2时，y1＞y2，故C是正确的；D：由图象得：ax-y=-bmx-y=-n的解为：x=2y=3，故D是正确的；故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
甘肃省
11.【2023·兰州11题】 一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】D【解析】∵一次函数的函数值y随x的增大而减小,∴.∴当时，,故选D.
4．【2023·甘肃省卷4题】若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．-12D．2
【答案】D
新疆
4．【2023·新疆生产建设兵团】一次函数y＝x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
安徽省
5．【2023·安徽5题】下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
【答案】D
陕西省
5．【2023·陕西】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
上海
3．【2023·上海】下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y=6xD．y=-6x
【答案】B
山东省
11．【2023·临沂】对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）
A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k=-12b
【答案】C【解析】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，∴b＜0，又∵函数图象经过点（2，0），∴图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，k=-12b，∴kb＜0，∴错误的是k+b＞0．
10．【2023·聊城】甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8：28B．8：30C．8：32D．8：35
湖南省
9．【2023·长沙9题】下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝x﹣4C．y＝2xD．y＝﹣x+1
【答案】D
6．【2023·娄底】将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝2x-1B．y＝2x-3C．y＝2x+3D．y＝2x+5
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【答案】B【解析】直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
湖北省
7. 【2023·鄂州】象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．
【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点，设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，∵过点和，∴，解得.∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为.
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．
6．【2023·随州】甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．①④
【分析】根据图象可判断①和③选项，根据“路程÷时间＝速度”可求出甲和乙的速度，即可判断②选项，设甲车出发后x小时，追上乙车，根据甲车追上乙车时，两车的路程相等列方程，求出x的值，进一步判断即可．
【答案】D【解析】由图象可知，A，B两城相距300km，乙车先出发，甲车先到达B城，故①符合题意，③不符合题意；甲车的平均速度是300÷3＝100（千米/小时），乙车的平均速度是300÷5＝60（千米/小时），故②不符合题意；设甲车出发后x小时，追上乙车，100x＝60（x+1），解得x＝1.5，∴甲车出发1.5小时追上乙车，∵甲车8：00出发，∴甲车在9：30追上乙车，故④符合题意，综上所述，正确的有①④，故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解图象上各点的实际含义是解题的关键．
9．【2023·荆州】如图，直线y=-32x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（13，2）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点B′坐标．
【答案】C 【解析】当x＝0时，y=-32x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；当y＝0时，-32x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x轴，CD∥x轴，∴点D标为（5，2）．故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
江苏省
5. 【2023·无锡】将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
内蒙古
4．【2023·通辽】在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11．【2023·通辽】如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，1），点A（4，1），以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1（﹣1，-3），M2（-33，0），M3（1，3-1），M4（2，23）四个点中，直线PB经过的点是（ ）
A．M1B．M2C．M3D．M4
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，1+2 3），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y=3x+1中可解答．
【答案】B【解析】∵点A（4，1），点P（0，1），
∴PA⊥y轴，PA＝4，由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝2 3，∴B（2，1+2 3），设直线PB的解析式为：y＝kx+b，则2k+b=1+23b=1，∴k=3b=1，
∴直线PB的解析式为：y=3x+1，当x＝﹣1时，y=-3+1，∴点M1（﹣1，-3）不在直线PB上，当x=-33时，y＝﹣1+1＝0，∴M2（-33，0）在直线PB上，当x＝1时，y=3+1，∴M3（1，3-1）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝23+1，∴M4（2，23）不在直线PB上．故选：B．
【点评】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
8．【2023·包头】在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝﹣2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x+3B．y＝﹣2x+6C．y＝﹣2x﹣3D．y＝﹣2x﹣6
【答案】B
四川省
5．【2023·巴中】一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k＜0C．k＞3D．k＜3
【答案】D
3．【2023•乐山】下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（ ）
A．（﹣1，3）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（2，3）
【答案】D
10．【2023·雅安】在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1
【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．
【答案】A【解析】在函数y＝x的图象上取点A（1，1），绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．
【点评】此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练平移的规则是解本题的关键．
山西省
6．【2023•山西6题】一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（ ）
A．y＝12﹣0.5xB．y＝12+0.5xC．y＝10+0.5xD．y＝0.5x
【答案】B【解析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y与x的函数关系式，得y＝12+0.5x（0≤x≤10）.
辽宁省
8．【2023·沈阳】已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
【答案】B
二、填空题
16．【2023·盘锦】关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
【答案】-12＜a＜2【解析】根据题意得2a+1＞0a-2＜0，解得：-12＜a＜2．故答案为：-12＜a＜2．
17．【2023·南通】已知一次函数y＝x﹣k，若对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥1 【解析】∵一次函数y＝x﹣k，∴y随x的增大而增大，∵对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k，∴3﹣k≤2k，解得k≥1，故答案为：k≥1．
12．【2023·镇江】已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx+2的图象与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为 ．
【答案】2 【解析】在y＝kx+2中，令x＝0，则y＝2，∴一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于（0，2），∴一次函数过定点（0，2），当⊙O过（0，2）时，两者至少有一个交点，
∵一次函数经过一、二、四象限，∴直线与圆必有两个交点，而当⊙O半径小于2时，圆与直线存在相离可能，∴半径至少为2，故r的最小值为2，故答案为：2．
宁夏
15．【2023·宁夏15题】如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝ 毫米．
【分析】观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．
【答案】50【解析】由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2＝14（毫米），当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4＝18（毫米），当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6＝22（毫米），当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8＝26（毫米），当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10＝22（毫米），……所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米.当放入x＝20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20＝50（毫米）.
【点评】此题主要是考查了列代数式，代数式求值，能够根据题意列出代数式是解答此题的关键．
广西
15．【2023·广西15题】函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），则k＝ ．
【答案】1 【解析】将点（2，5）代入y＝kx+3中，得5＝2k+3，解得k＝1，故答案为：1．
天津
16．【2023•天津16题】若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 ．
【答案】5【解析】将直线y＝x向上平移3个单位，得到直线y＝x+3，把点（2，m）的坐标代入，得m＝2+3＝5．
湖南省
10．【2023·郴州】在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
浙江省
15．【2023•杭州】在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 ．
【答案】5【解析】利用待定系数法求出分别求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，最后比较大小即可得到答案．
江苏省
14．【2023·苏州】已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ．
【答案】﹣6【解析】由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴，另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，
∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．
四川省
15．【2023·南充】如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则2OA+3OB的值是 ．
【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可计算出2OA+3OB的值．
【答案】1【解析】∵直线y＝kx﹣2k+3，∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当y＝0时，x=2k-3k；∴点A的坐标为（2k-3k，0），点B的坐标为（0，﹣2k+3），∴OA=2k-3k，OB＝﹣2k+3，∴2OA+3OB=22k-3k+3-2k+3 =2k2k-3-32k-3 =2k-32k-3 ＝1，
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点A和点B的坐标，利用数形结合的思想解答．
18．【2023·自贡】如图，直线y=-13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=-43x+2上的一动点，动点E（m，0），F（m+3，0），连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 ．
【分析】作出点C（3，﹣2），作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利用解直角三角形求得F(113，0)，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．
【答案】392【解析】∵直线 y=-13x+2 与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴B（0，2），A（6，0），
作点B关于x轴的对称点B'（0，﹣2），把点B'向右平移3个单位得到C（3，﹣2），如图①，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB是平行四边形，此时，B'E＝BE＝CF，∴BE+DF＝CF+DF＝CD有最小值，作CP⊥x轴于点P，则CP＝2，OP＝3，∵∠CFP＝∠AFD，∴∠FCP＝∠FAD，∴tan∠FCP＝tan∠FAD，∴PFPC=OBOA，即 PE2=26PF=23，则 F(113，0)，设直线CD的解析式为y＝kx+b，则，3k+b=-2113k+b=0，解得k=3b=-11，∴直线CD的解析式为y＝3x﹣11，联立y=3x-11y=-13x+2，解得x=3910y=710，即D（3910，710），如图②，过点D作DG⊥y轴于点G，直线y=-43x+2 与x轴的交点为Q(32，0)，则BQ=OQ2+OB2=52，
∴sin∠OBQ=OQBQ=3252=35，∴HG=BHsin∠GBH=35BH，∴3BH+5DH＝5（35HG+DH）＝5（HG+DH）＝5DG，
即3BH+5DH的最小值是5DG＝5×3910=392.
①②
【点评】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
山东省
15.【2023·威海】 一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为___________．
【分析】先把代入，求得，再设当时，与之间的函数表达式为，然后把，分别代入，得，求解得，即可求解．
【答案】【解析】把代入，得，设当时，与之间的函数表达式为，把，分别代入，得，解得：，∴与之间的函数表达式为故答案为：．
【点评】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
11．【2023·济宁】一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
【答案】y＝x+2（答案不唯一）
13．【2023·东营】如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ．
【分析】点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式为：y＝2x+1，再根据反射后经过点C（m，n），2m+1＝n，即可求出答案．
【答案】﹣1 【解析】∵点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），∴反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），设A'B的解析式为：y＝kx+1，过点A′（2，5），∴5＝2k+1，∴k＝2，∴A'B的解析式为：y＝2x+1，∵反射后经过点C（m，n），∴2m+1＝n，∴2m﹣n＝﹣1．故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A'B的解析式．
三、解答题
23．【2023·湘西州】如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km，图书馆离小明家0.8km．小明从家出发，匀速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了3min去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了10min回到家．图（2）反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）填空：
①食堂离图书馆的距离为 km；
②小明从图书馆回家的平均速度是 km/min；
③小明读报所用的时间为 min．
④小明离开家的距离为23km时，小明离开家的时间为 min．
（2）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．
解：（1）【答案】①0.2 ②0.08 ③30 ④26或1793 【解析】（1）①0.8﹣0.6＝0.2（km），∴小食堂离图书馆的距离为0.2km，故答案为：0.2；
②根据题意，68﹣58＝10（min），∴小明从图书馆回家的平均速度是0.810=0.08km/min，故答案为：0.08；
③58﹣28＝30（min），故答案为：30；
④设小明离开家的距离为23km时，小明离开家的时间为xmin，当去时，小明离开家的距离为23km时，∵23km＞0.6km，∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足23km，由题意得23-0.6=0.8-0.63(x-25)，解得x＝26，当返回时，离家的距离为23km时，根据题意得23=0.08(68-x)，解得x=1793(min)；故答案为：26或1793．
（2）设0≤x≤8时y＝kx，
∵y＝kx过（8，0.6），
∴0.6＝8k，
解得340，
∴0≤x≤8时y=340x，
由图可知，当8＜x＜25时y＝0.6，
设25≤x≤28时，y＝mx+n，
∵y＝mx+n过（25，0.6），（28，0.8），
∴0.6=25m+n0.8=28m+n，
解得m=115n=-1615，
∴y=115x-1615，
综上所述，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式为y=340x(0≤x≤8)0.6(8＜x＜25)115x-1615(25≤x≤28)．
24．【2023·湘西州】2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：
2x+3y=903x+y=65，
解得：x=15y=20，
答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进A型品牌小电器a台，
由题意得：15a+20(150-a)≤285015a+20(150-a)≥2750，
解得30≤a≤50，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．
（3）设获利为w元，由题意得：w＝3a+4（150﹣a）＝﹣a+600，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，
∴﹣a+600≥565，
解得：a≤35，
∴30≤a≤35，
∵w随a的增大而减小，
∴当a＝30台时获利最大，w最大＝﹣30+600＝570元，
答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．
23．【2023·青岛】某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
解：（1）设购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，根据题意列出方程组为：
x+y=12045x+60y=6000，
解得x=80y=40，
∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据题意150﹣m≤2m，即m≥50，
∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），
∵﹣4＜0，一次函数W随m的增大而减小，
∴当m＝50时，W取最大值，W大＝﹣4×50+3000＝2800（元），
∵2800＜2880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
22．【2023·呼和浩特】学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
解：（1）设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组为：
38x+6=y40x-6=y，解得x=6y=234，
答：老师有6名，学生有234名．
（2）【答案】6 【解析】∵每辆车上至少有1名老师，∴汽车总数不能大于6辆，∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于24045（取整数6）辆，综合可知汽车总数为6辆．故答案为：6．
（3）设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数，即：
y＝400x+280（6﹣x），
整理得：y＝120x+1680，
∵学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，
∴120x+1680≤2300，
∴x≤316，即x≤5．
要保证240人有车坐，x不能小于4，所以有两种租车方案：
方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车；
方案二：租5辆甲种客车，1辆乙种客车；
∵y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y最小，y＝120×4+1680＝2160．
答：学校共有两套租车方案，最少费用为2160元，
24．【2023·呼伦贝尔、兴安盟】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
解：（1）设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为x元和y元．
根据题意，得x-y=102500x=2000y，解得x=50y=40．
∴每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元40元．
（2）①根据题意，得：
y1＝0.8×40x＝32x；
当x≤25时，y2＝40x；
当x＞25时，y2＝25×40+0.7×40（x﹣25）＝28x+300．
综上，y1＝32x；y2=40x(x≤25)28x+300(x＞25)．
②设y1和y2两函数图象交点的横坐标为x，则32x＝28x+300，解得x＝75．
根据函数图象可知：
当x＜75时，y1＜y2；
当x＝75时，y1＝y2；
当x＞75时，y2＜y1．
∴该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从A厂家购买比较划算；若等于75盒，从A和B两个厂家任选一家即可；若超过75盒，从B厂家购买比较划算．
24．【2023·西宁】一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
解：（1）∵一次函数 y＝2x﹣4 的图象与x轴交于点A，
∴令y＝0，2x﹣4＝0，
解得x＝2，
∴点A的坐标是（2，0），
∵点B（m，4）在一次函数y＝2x﹣4 的图象上，
把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，
∴m＝4，
∴点B的坐标是（4，4）；
（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：
（3）∵A（2，0），B（4，4），
∴AB=22+42=25，
∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，
∴P的坐标为（6，0）或（2+25，0）．
25．【2023·淮安】快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h．两车之间的距离y（km）与慢车行驶的时间x（h）的函数图象如图所示．
（1）请解释图中点A的实际意义；
（2）求出图中线段AB所表示的函数表达式；
（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
解：（1）A点的实际意义是，出发3小时，快车到达乙地，此时快车与慢车相距120km；
（2）∵点B的横坐标为：3+3060=3.5（h），点B的纵坐标为：120-3060×70＝85（km），
∴点B的坐标为（3.5，85），
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kx+b，将A（3，120），B（3.5，85）代入得：
3k+b=1203.5k+b=85，
解得k=-70b=330，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝﹣70x+330（3≤x≤3.5）；
（3）快车从返回到遇见慢车所用的时间为：4﹣3.5＝0.5（h），
∴快车从乙地返回甲地时的速度为：85÷0.5﹣70＝100（km/h），
∵4×70÷100＝2.8（h），
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需2.8h．
25．【2023·盐城】某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买m本硬面笔记本（m为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
解：（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，
根据题意得：240x=195x-3，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，
根据题意得：my＝（m+5）（y﹣3），
整理得：5y﹣3m＝15，
∴y=35m+3．
∵m＜30m+5≥30，且m，y均为正整数，
∴m=25y=18．
答：乙商店硬面笔记本的原价为18元．
23．【2023·襄阳】在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求m、n的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．
解：（1）根据表格可得：
3000m+4000n=170004000m+3000n=18000，
解得m=3n=2，
∴m的值为3，n的值为2；
（2）当0＜x≤200时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）x＝2x；
当200＜x≤400时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）×200+（5×0.8﹣3）（x﹣200）＝x+200；
∴y=2x(0＜x≤200)x+200(200＜x≤400)；
（3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z﹣y．
∵200＜x≤400，
∴z＝（3.5﹣a﹣2）（1000﹣x）＝（a﹣1.5）x+1500﹣1000a，
∴W＝z﹣y＝（a﹣2.5）x+1300﹣1000a，
∵0＜a＜1，
∴a﹣2.5＜0，
∴W随x的增大而减小，
当x＝400时，W的值最小，
由题意可得：z≥y，
∴W≥0，
即（a﹣2.5）×400+1300﹣1000a≥0，
解得：a≤0.5，
∴a的最大值是0.5．
26．【2023·甘孜州】某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球.1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？
解：（1）由题意，可设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
由题意，得b=1530k+b=30，
∴k=15b=12，
∴y关于x的函数解析式为 y=12x+15；
（2）由题意，可知1号气球上升x分时高度为（x+5）米，
由题意，得 12x+15=x+5．
解得x＝20，
当x＝20时，y=12x+15=25．
∴上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米．
24．【2023·南通】为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
信息二
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
解：（1）根据题意得：1800x+300=1200x，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为600；
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，
根据题意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，
解得：m≥6，
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m+2200（22﹣m），
即w＝1400m+48400，
∵1400＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．
北京
22.【2023·北京22题】在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．
解：（1）把点，的坐标代入，
得．解得.
∴该函数的解析式为.
由题意知点C的纵坐标为4．
当时，解得，∴.
（2）由（1）知，当时，．
∵当时，函数的值大于函数的值且小于4，
∴如图所示，当过点时满足题意.
代入得，，解得．

天津
23．【2023•天津23题】已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（I）①填表：
②填空：张强从体育场到文具店的速度为 km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（II）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
解：（I）①0.12 1.2 0.6
【解析】由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10＝0.12（km/min），
由此填表如下：
②0.06 【解析】由图象知，张强从体育场到文具店的速度为1.2-0.650-40=0.06（km/min）.
③当50＜x≤60时，y＝0.6；
当60＜x≤80时，y＝﹣0.03x+2.4.
（II）0.3 km
云南省
21．【2023·云南】蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，
根据题意得：，解得：，
∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（20﹣x）顶，
∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，
∴x≤（20﹣x），解得x≤5，
根据题意得：w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，
∵﹣400＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝5时，w取最小值，最小值为﹣400×5+20000＝18000（元），∴20﹣x＝20﹣5＝15，
答：购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，总费用最低，最低总费用为18000元．
河北省
25．【2023·河北25题】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．
例 点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．
（1）设直线l1经过上例中的点M,N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b，由题意可得4k+b=2,2k+b=4,解得k=-1,b=6.
∴l1的解析式为y＝﹣x+6．
将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15.
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次．
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m）．
∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m．
∴x＝m+10，y＝20﹣m．
②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30，
∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30．
函数图象如图所示.
（3）5a-8b+3c＝0
解析：
陕西省
22．【2023·陕西】经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数．已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m；这种铜的胸径为0.28m时，树高为22m．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法解答即可；
（2）把x＝0.3代入（1）的结论解答即可．
解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
根据题意，得0.2k+b=200.28k+b=22，解得k=25b=15，
∴y＝25x+15；
（2）当x＝0.3m时，y＝25×0.3+15＝22.5（m）．
∴当这种树的胸径为0.3m时，其树高为22.5m．
【点评】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
上海
22．【2023·上海】“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买会员卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
解：（1）由题意知，1000×0.9＝900（元），
答：实际花了900元购买会员卡；
（2）由题意知，y＝0.9（x﹣0.30），
整理得y＝0.9x﹣0.27，
∴y关于x的函数解析式为 y＝0.9x﹣0.27；
（3）当x＝7.30时，y＝0.9×7.30﹣0.27＝6.30，
∵7.30﹣6.30＝1.00，
∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．
广西
25．【2023·广西25题】【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤组与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000 代入求解，以此即可求解．
解：（1）由题意得：m＝0，y＝0，
∵m0＝10，M＝50，
∴10l＝50a.∴l＝5a.
（2）由题意得：m＝1000，y＝50，
∴（10+1000）l＝50（a+50）.
∴101l﹣5a＝250.
（3）由（1）（2）可得：l=5a101l-5a=250，
解得：a=0.5l=2.5.
（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5（10+m）＝50（0.5+y）.∴y=120m.
（5）由（4）可知：y=120m，
∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；
当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y＝15；
当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；
当m＝600时，则有y＝30；当m＝70时，则有y＝35；
当m＝800时，则有y＝40；当m＝90时，则有y＝45；
当m＝1000时，则有y＝50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点评】本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键．
新疆
21．【2023·新疆生产建设兵团】随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
（1）当购物金额为80元时，选择 超市（填“A”或“B”）更省钱；
当购物金额为130元时，选择 超市（填“A”或“B”）更省钱；
（2）若购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%（注：优惠率＝×100%）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
【分析】（1）根据A、B 两超市的优惠方案分别计算即可；（2）分0≤x＜100和100≤x＜200两种情况分别计算；（3）当100≤x＜200时，设优惠率为P，则有P＝，当900≤x1＜1000时，设优惠率为Q，则有Q＝，然后计算P﹣Q分析即可．
解：（1）∵80＜100，∴A超市八折优惠，B超市不优惠，
∴选择A超市更省钱；
∵100＜130＜200，
∴A超市应付：130×0.8＝104元，B超市应付：130﹣100＝30元，
∵104＞100，∴选择B超市更省钱；故答案为：A；B．
（2）当0≤x＜100时，A超市八折优惠，B超市不优惠，
∴选择A超市更省钱，
当100≤x＜200时，A超市函数表达式为：y＝0.8x，B超市函数表达式为：y＝x﹣30，
当0.8x＜x﹣30，即150＜x＜200时，选择A超市更省钱；
当0.8x＝x﹣30，即x＝150时，A、B两超市花费一样多；
当0.8x＞x﹣30，即0≤x＜150时，选择B超市更省钱．
（3）不一定，例：
当100≤x＜200时，设优惠率为P，则有P＝，
当900≤x1＜1000时，设优惠率为Q，则有Q＝，
∴P﹣Q＝，
∵xx1＞0，
∴当x1﹣9x＜0时，P﹣Q＜0，即购物金额小时，享受的优惠率大，
∴在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，能够根据A、B两超市的优惠方案正确列出式子是解决本题的关键．
浙江省
20．【2023·温州】如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x-52上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x-52上，求y1﹣y2的最大值．
解:（1）把点A（2，m）代入y＝2x-52中，得m=32.
设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，把A（2，32），B（0，3）代入得
2k+b=32b=3，，解得k=-34b=3.，∴直线AB的函数表达式为y=-34x+3．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，∴y1=-34t+3（0≤t≤2）.
∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x-52上，∴y2＝2（t﹣1）-52=2t-92.
∴y1﹣y2=-34t+3﹣（2t-92）=-114t+152.
∵-114＜0，∴y1﹣y2随t的增大而减小.∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为152．
20．【2023·绍兴】一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
【分析】（1）利用待定系数法，将（5，1000）代入解析式中，求出答案；
（2）俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可；
（3）设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为（t+1）分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案．
解：（1）由图象可知，OA所在直线为正比例函数，∴设y＝kx，
∵A（5，1000），1000＝5k，k＝200，
∴OA所在直线的表达式为y＝200x．
（2）由图可知甲机器人速度为：1000÷5＝200（米/分），
乙机器人速度为：1000÷10＝100（米/分），
两人相遇时：1000100+200=103（分钟），
答：出发后甲机器人行走103分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t，
则乙机器人（t+1）分钟后到P地，P地与M地距离1000﹣100（t+1），
由200t＝1000﹣100（t+1），解得t＝3，
∴200t＝600，
答：P，M两地间的距离为600米．
【点评】本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解．
21．【2023·丽水】我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
解：（1）员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多.
（2）设方案二的函数表达式为y＝kx+b，观察图象得，方案二的函数图象过点（0，600），（30，1200），
将（0，600），（30，1200）代入函数表达式，得30k+b=1200，b=600，解得k=20，b=600，
∴方案二y关于x的函数表达式为：y＝20x+600.
（3）由两方案的函数图象交于点（30，1200）可知：
若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．
22．【2023·金华】兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，∴a＝8+2﹣4＝6．
②能追上.
由（1）知哥哥的速度为100m/min，∴设BC所在直线为s1＝100t+b.
将B（17，800）代入得800＝100×17+b，解得b＝﹣900．∴s1＝100t﹣900．当s1＝1900时，t哥哥＝28．
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时的路程与时间的解析式为s2＝160t+b，
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，解得b＝﹣2400，∴s2＝160t﹣2400．
令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400，解得t＝25＜28，∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
22．【2023·宁波】某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
解：（1）设大巴例营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=kt+b(k≠0）.
将（0,20），（1,60）两点的坐标代入，得60=k+b,20=b,解得k=40,b=20.
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝40t+20.
将点（a,100）作坐标代入函数表达式s＝40t+20，得100＝40a+20，解得a＝2.
（2）由函数图象可得，军车的速度为60÷1＝60（km/h）.
部队官兵不领取物资直接到达基地所用的时间为100÷60=53（h），
2-53＝（h）.
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为小时．
内蒙古
20．【2023·包头】随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．
（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m=110x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）
解：（1）当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）.
∵图象过A（1，2850），B（10，1500）两点，∴k+b=2850，10k+b=1500，解得k=-150，b=3000，
∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝﹣150x+3000.
（2）设销售收入为w万元，
①当1≤x≤10时，w=(-150x+30000(110x+1)=-15(x-5)2+3375，
∵﹣15＜0，∴当x＝5时，w最大＝3375 （万元）.
②当10＜x≤12时，w＝1500（110x+1）＝150x+1500，∴w随x的增大而增大.
∴当x＝12时，w最大＝150×12+1500＝3300 （万元）.
∵3375＞3300，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
湖北省
21. 【2023·鄂州】1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：

（1）___________，___________；
（2）请分别求出，与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可；
（3）由题意可得或，分别计算即可．
解：（1），.
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，
设，，
将分别代入可得：，
解得：，，∴，.
（3）由题意可得或，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为．
【点评】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．
18．【2023·宜昌】某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：
可能是 函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
【分析】（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律，分析即可解答；
（2）直接利用待定系数法即可求解；
（3）将t＝110代入（2）求得的函数解析式中即可求解．
解：（1）一次【解析】根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20℃，
故锅中油温y与加热的时间t可能是一次函数关系；故答案为：一次.
（2）设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为y＝kt+b（k≠0），
将点（0，10），（10，30）代入得，b=1010k+b=30，解得：k=2b=10，
∴y＝2t+10.
（3）当t＝110时，y＝2×110＝230，
∴经过推算，该油的沸点温度是230℃．
【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法正确求出一次函数的解析式是解题关键．
江苏省
25．【2023·连云港】目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯：
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为 元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3（x＞1200），该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
解：（1）534；
根据题意得：y＝400×2.67+（1200﹣400）×3.15+3.63（x﹣1200）＝3.63x﹣768，
∴y与x的函数表达式为y＝3.63x﹣768（x＞1200）；
（3）∵400×2.67+（1200﹣400）×3.15＝3588＜3855，
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯.
由（2）知，当y＝3855时，3.63x﹣768＝3855，解得x＝1273.6.
又∵2.67×（100+400）+3.15×（1200+200﹣500）＝4170＞3855，
且2.67×（100+400）＝1335＜3855．
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯.
设乙户年用气量为am3. 则有2.67×500+3.15（a﹣500）＝3855，
解得a＝1300.0，
1300﹣1273.6＝26.4≈26m3，
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
26．【2023·扬州】近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得20x+30y=2920x-y=11，解得x=65y=54，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m≥12（40﹣m），解得m≥403，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，∴w随着m增大而增大，
当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4+1920＝1976（元），
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
26．【2023·苏州】某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：
（1）滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值 ；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2）滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．
解：（1）∵d＝l1﹣l2，
当滑块在A点时，l1＝0，d＝﹣l2＜0，
当滑块在B点时，l2＝0，d＝l1＞0，
∴d的值由负到正．
（2）设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵l1+l2+1＝n，∴l2＝n﹣l1﹣1.
∵d＝l1﹣l2＝l1﹣（n﹣l1﹣1）＝2l1﹣n+1＝2×9t﹣n+1＝18t﹣n+1
∴d是t的一次函数.
∵当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；
∴当t＝5时，d＝0.∴18×5﹣n+1＝0.
∴d＝91.∴滑块从点A到点B所用的时间为（91﹣1）÷9＝10（s）.
∵整个过程总用时27s （含停顿时间）．当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，
∴滑块从B返回到A所用的时间为27﹣10﹣2＝15s．
∴滑块返回的速度为：（91﹣1）÷15＝6（m/s）.
∴当12≤t≤27时，l2＝6（t﹣12）.
∴l1＝91﹣1﹣l2＝90﹣6（t﹣12）＝162﹣6t.
∴l1﹣l2＝162﹣6t﹣6（t﹣12）＝﹣12t+234.
∴d与t的函数表达式为：d＝﹣12t+234；
（3）当d＝18时，有两种情况：
由（2）可得，①当0≤t≤10时，18t﹣90＝18，∴t＝6；
②当12≤t≤27时，﹣12t+234＝18，∴t＝18．
综上所述，当t＝6或18时，d＝18．
四川省
21．【2023·雅安】李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【分析】（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据题意批发甲种蔬菜nkg，则批发乙种蔬菜（80﹣n）千克，再列出关系式即可；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意列出w关于n的函数关系式，进而得到不等式，求解即可．
解:（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意得，
x+y=404.8x+4y=180，解得x=25y=15，
答：批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
（2）根据题意得m＝4.8n+（80﹣n）×4，
整理得m＝0.8n+320；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意得，
w＝（7.21﹣4.8）n+（5.6﹣4）（80﹣n），
整理得w＝0.81n+128，
∵要保证利润不低于176元，
∴w＝0.81n+128≥176，解得n≥160027，
∴至少批发甲种蔬菜160027千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的应用，解答本题的关键是找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解，并且要熟练掌握一次函数的性质．
23．【2023·德阳】2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清沽能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集，其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成，若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独施工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【分析】（1）设完成本项工程的工作总量为“1”，乙队单独施工需要x个月才能完成任务，由已知条件：乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．列出分式方程，求解即可．
（2）由已知条件：甲、乙两个工程队同时施工，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，可列出关于a、b的二元一次方程，从而得到a＝18-23b，又根据a，b为正整数，得出甲乙两队实际施工的时间安排的三种方式；设甲乙两队实际施工的费用为w万元，得w＝8a+5b，又因为a＝18-23b，进而得到关于w和b的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
解:（1）设乙队单独施工需要x个月才能完成任务，根据题意得，
1x×2+(118+1x)×10=1，解得x＝27，
经检验x＝27是原方程的根，
答：乙队单独施工需要27个月才能完成任务；
（2）根据题意得，a18+b27=1，
整理得，a=54-2b3=18-23b，
∵a，b为正整数，且a≤6，b≤24，∴b为3的倍数，
∴b＝24时，a＝2；b＝21时，a＝4；b＝18时，a＝6，
∴方案一：甲队施工2个月，乙队施工24个月；
方案二：甲队施工4个月，乙队施工21个月；
方案三：甲队施工6个月，乙队施工18个月；
设甲乙两队实际施工的费用为w万元，得，
w＝8a+5b＝8×（18-23b）+5b=-13b+144，
∵k=-13＜0，∴w随b的增大而减小，
即当b最大＝24时，所支付费用w最低，
∴方案一：甲队施工2个月，乙队施工24个月，所支付费用最低．
【点评】本题主要考查了列方程解决工程问题，根据a、b的取值范围及a、b均为整数的关系，得出b为3的倍数是本题的难点．
27．【2023•内江】某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率=利润本金）不低于16%，求m的最大值．
【分析】（1）根据信息列二元一次方程得出答案；
（2）分类讨论，分别求出30≤x≤60和60＜x≤80时的函数关系；
（3求出当x为多少时，y值最大，利用利润率公式得到关于m的不等式，解出m的最大值．
解：（1）由题意可得15a+5b=30520a+10b=470，解得a=14b=19．
（2）由题可得当30≤x≤60时，
y＝（20﹣14）x+（23﹣19）（100﹣x）＝2x+400；
当60＜x≤80时，
y＝（20﹣3﹣14）（x﹣60）+（20﹣14）×60+（23﹣19）（100﹣x）＝﹣x+580.
答：超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系为：y=2x+400(30≤x≤60)-x+580(60＜x≤80)．
（3）∵y=2x+400(30≤x≤60)-x+580(60＜x≤80)，∴当x＝60时，y的值最大，即y＝520，
由题意可得(20-3m-14)⋅60+40(23-m-19)14×60+19×40×100%≥16%，解得m≤1.2，
答：m的最大值为1.2．
【点评】本题以应用题为背景考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出关系式．本题难度适中，常为期末考试题．
22．【2023·广元】某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
解:（1）设方式A的计费金额y1（元），方式B的计费金额y2（元），
根据表格数据可知，当0≤t≤200时，y1＝78；当t＞200时，y1＝78+0.25（t﹣200）＝0.25t+28；
当0≤t≤500时，y2＝108；当t＞500时，y2＝108+0.19（t﹣500）＝0.19t+13；
综上，y1=78(0≤t≤200)0.25t+28(t＞200)，y2=108(0≤t≤500)0.19t+13(t＞500)，
（2）选择方式B计费，理由如下：
当每月主叫时间为350min时，
y1＝0.25×350+28＝115.5，
y2＝108，
∵115.5＞108，∴选择方式B计费，
（3）令y1＝108，得0.25t+28＝108，解得：t＝320，
∴当0≤t＜320时，y1＜108＜y2，
∴当0≤t＜320时，方式A更省钱；
当t＝320，方式A和B的付费金额相同；
当t＞320，方式B更省钱．
21．【2023·遂宁】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，全部售完获得利润为w元，根据总利润＝甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，
根据题意得：＝，解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，此时x+2＝12，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，
根据题意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，
∴W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；
②甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2（200﹣m），解得m≥，
由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，m为正整数，
∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，此时200﹣134＝66，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
【点评】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
重庆
23．【2023·重庆A卷】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．
解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的
等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，
∴当0＜t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，
当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），
∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，
∴y关于t的函数表达式为y=t(0＜t≤4)y=-2t+12(4＜t≤6)；
由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，
y＝4；当t＝6时，y＝0，分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），
然后顺次连线，如图：
该函数的其中一个性质：当0＜t≤4时，y随t的增大而增大．
（答案不唯一，正确即可）
（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，
解得：t＝3或t＝4.5，∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．
湖南省
22．【2023·湘潭】我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【分析】（1）根据每件的利润×件数＝总利润求解即可；
（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求解即可．
解：（1）y＝1000（x﹣50）＝1000x﹣50000；
（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，
（60﹣50）（1000+m）×20%＝10000，
解得m＝4000，
答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
22．【2023·株洲】某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（n为正整数单位：支），统计如下表：
（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；
（2）当n＜16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y＝10n﹣80；当n≥16时，日利润为80元．
①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．
解：（1）1+1+2＝4．
答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；
（2）①当n＝14时，y＝10n﹣80＝10×14﹣80＝60．
答：当n＝14时，该花店这天的利润为60元．
②当n＜16时，70＝10n﹣80，解得n＝15．
当n＝15时，有2天，∴210=15．
答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为15．
24．【2023·永州】小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
（1）探究：根据上表中的数据，请判断y=kt和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
【分析】（1）根据上表中的数据，可知y与t成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；
（2）①当t＝20时，求出y的值即可；
②当t＝24×60＝1440分钟时，求出y的值，即可求出答案．
解：（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，∴k+b=72k+b=12，∴k=5b=2，
∴y＝5t+2；
（2）①当t＝20时，y＝100+2＝102，
即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；
②当t＝24×60＝1440分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升），
当t＝0时，y＝2，∴7200×301500=144（天），
答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
黑龙江
22．【2023·齐齐哈尔】一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，25小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 千米，a＝ ；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货物耗时15分钟，即得a=34+1560=1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；
（3）求出线段CD的解析式为y＝25x+25×25=25x+10（0≤x≤2），分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，分别解方程可得答案．
解：（1）60 1【解析】∵80×34=60（千米），
∴A，B两地之间的距离是60千米；
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴a=34+1560=1，
故答案为：60，1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：
k+b=602k+b=0，解得 k=-60b=120，
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；
（3）巡逻车速度为60÷（2+25）＝25（千米/小时），
∴线段CD的解析式为y＝25x+25×25=25x+10（0≤x≤2），
当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，
解得x=511；
当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，
解得x=1917；
当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，
解得x=2517；
综上所述，货车出发511小时或1917 小时或2517小时，两车相距15千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
25．【2023·牡丹江】在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 km/h，乙车行驶的速度是 km/h；
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．
【分析】（1）结合函数图象中D点的坐标的实际意义求出甲车的速度，由题意可知乙车晚1.5小时出发，当乙车行驶1.5h时行驶了360﹣240＝120（km），由此可求出乙车的速度；
（2）由题意可知点（1.5，360）和（3，240）在线段MN上，利用待定系数法求函数解析式；
（3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解即可．
解：（1）12080
[解析]由图可得D（3，360），即甲出发3时后与A地相距360km，
∴甲车行驶速度为3603=120（km/h），
由题意可得，乙车出发1.5h行驶120km，
∴乙车行驶速度为 1201.5=80（km/h），
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y＝kx+b（k≠0），
将（1.5，360），（3，240）代入y＝kx+b，
得1.5k+b=3603k+b=240，解得k=-80b=480，
∴线段MN所在直线的解析式为y＝﹣80x+480（1.5≤x≤6）；
（3）乙车出发2.5h或4.1h，两车距各自出发地路程的差是160km．
[解析]由题意可得，当y＝0时，x＝6，∴N（6，0），
∵两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为360﹣120×（6﹣3﹣1）＝120（km），
∴F（6，120），E（4，360），
设乙车出发t时，两车距各自出发地路程的差是160km，
当0＜t≤1.5时，此时甲在到达C地前，则|80t﹣120×（t+1.5）|＝160，
解得t为负数，不合题意；
当1.5＜t≤2.5时，此时甲在C地休息，则|80t﹣360|＝160，
解得t1＝2.5，t2＝6.5（不合题意，舍去）；
当2.5＜t≤4.5时，此时甲在C地休息，则|80t﹣[2×360﹣120×（t+1.5﹣1）]|＝160，
解得t1＝2.5（不合题意，舍去），t2＝4.1；
综上，乙车出发2.5h或4.1h，两车距各自出发地路程的差是160km．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是结合图形理解各个时间节点的实际意义．
25．【2023·绥化】某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．
（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．
【分析】（1）设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，根据5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人得：5x+2y=3103x+4y=340，解方程组可得答案；
（2）设租用A型车m辆，则租用B型车（10﹣m）辆，可得：500m+600(10-m)≤550040m+55(10-m)≥420，又m是正整数，故m可取5，6，7，8，共有4种方案，设总租金为w元，有w＝500m+600（10﹣m）＝﹣100m+6000，由一次函数性质可得租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；
（3）设s甲＝kt，s乙＝kt+b，用待定系数法求出解析式，根据两车第一次相遇后，相距25千米，可得100t﹣50﹣75t＝25或300﹣75t＝25，即可解得答案．
解：（1）设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，
根据题意得：5x+2y=3103x+4y=340，解得：x=40y=55，
∴每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；
（2）设租用A型车m辆，则租用B型车（10﹣m）辆，
由题意得：500m+600(10-m)≤550040m+55(10-m)≥420，
解得：5≤m≤823，
∵m是正整数，∴m可取5，6，7，8
∴共有4种方案，
设总租金为w元，
根据题意得w＝500m+600（10﹣m）＝﹣100m+6000，
∵﹣100＜0，∴w随m的增大而减小，
∴m＝8时，w最小为﹣100×8+6000＝5200（元）；
∴租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；
（3）设s甲＝kt，把（4，300）代入得：
300＝4k，解得k＝75，∴s甲＝75t，
设s乙＝kt+b，把（0.5，0），（3.5，300）代入得：
0.5k+b=03.5k+b=300，解得k=100b=-50，
∴s乙＝100t﹣50，
∵两车第一次相遇后，相距25千米，
∴100t﹣50﹣75t＝25或300﹣75t＝25，
解得t＝3或t=113，
∴在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3小时或113小时时，两车相距25千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
25．【2023·龙东地区】已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一
条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发23h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 ；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到结论；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发23h后与出租车相遇，可得23×*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120÷23-120＝60（km/h）故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论；
（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF=1560=14，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，列方程即可得到结论．
解：（1）120【解析】由图象知，C（4，480），
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，
解得k＝120，
∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，
故答案为：120；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），
∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），
把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，
解得x＝2，
∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），
根据货车继续出发23h后与出租车相遇，
可得23×*出租车的速度+货车的速度）＝120，
根据直线OC的解析式为y＝120x，
可得出租车的速度为120km/h，
∴相遇时，货车的速度为120÷23-120＝60（km/h），
故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，
将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，
解得b＝0，
∴直线BG的解析式为y＝60x，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x，
（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，
解得x＝8，
∴G（8，480），∴F（8，0），
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF=1560=14，
∴E(314，0)，
∴出租车返回后的速度为480÷（314-4）＝128km/h，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，
此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，
①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，
解得t1=12517；
②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，
解得t2=13117，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发12517h或13117h与出租车相距12km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，，正确的理解题意，根据题中信息求得所需的数据是解题的关键．
27．【2023·龙东地区】2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的单价；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元且不少于14750元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可得出w关于y的函数关系式，由（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同（即w的值与y值无关），利用一次函数的性质，可得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．
解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：500x+10=400x，解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得：50y+40(300-y)≤1480050y+40(300-y)≥14750，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值为5．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．
辽宁省
23．【2023·沈阳】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y=12x-32与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．
①当0≤m＜245时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
【分析】（1）根据直线y=12x-32的解析式求出C点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）①用含m的代数式表示出MN，再根据MN＝CQ得出结论即可；
②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式得出m的值即可．
解：（1）∵点C（6，a）在直线y=12x-32上，
∴a=12×6-32=32，
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（8，0）和点C（6，32），
∴8k+b=06k+b=32，解得k=-34b=6，
∴直线AB的解析式为y=-34x+6；
（2）①∵M点在直线y=-34x+6上，且M的横坐标为m，
∴M的纵坐标为：-34m+6，
∵N点在直线y=12x-32上，且N点的横坐标为m，
∴N点的纵坐标为：12m-32，
∴|MN|=-34m+6-12m+32=152-54m，
∵点C（6，32），线段EQ的长度为l，∴|CQ|＝l+32，
∵|MN|＝|CQ|，∴152-54m=l+32，即l=6-54m；
②∵△AOQ的面积为3，∴12OA•EQ＝3，
即12×8×EQ=3，解得EQ=34，
由①知，EQ＝6-54m，
∴|6-54m|=34，解得m=215或275，
【点评】本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
22. 【2023·大连】为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了，女生跑了，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时．已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，轴代表跑过的路程，则：

（1）男女跑步的总路程为_______________．
（2）当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．
【分析】（1）根据男女同学跑步的路程相等，求得男生跑步的路程，乘以，即可求解
（2）根据题意男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，求得女生的速度，进而得出解析式为， 联立求得，进而即可求解．
解：（1）∵开始时男生跑了，男生的跑步速度为，从开始匀速跑步到停止跑步共用时．
∴男生跑步的路程为，
∴男女跑步的总路程为，
故答案为：．
（2）男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，
设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，
依题意，女生匀速跑了，用了，则速度为，
∴，
联立，解得：.
将代入，解得：，
∴此时男、女同学距离终点的距离为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
24. 【2023·大连】如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴交直线于点．与的重叠面积为．关于的函数图象如图2所示．
（1）的长为_______________；的面积为_______________．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
【分析】（1）根据函数图象即可求解．
（2）根据（1）的结论，分，，根据与的重叠面积为，分别求解即可．
解：（1）当时，点与重合，此时，
当时，，即点与点重合，∴，则，
故答案为：，．
（2）∵在上，则设，
∴.∴,则
当时，如图所示，设交于点，
∵，，则∴

当时，如图所示，

∵，
设直线的解析式为，∴，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，则，∴，
∵，
∵，则，
∴，
综上所述：．
【点睛】本题考查了正切的定义，动点问题的函数图象，一次函数与坐标轴交点问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
28．【2023·牡丹江】如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解x2﹣6x+8＝0，可得B（﹣4，0）；
（2）由OD：OC＝2：1，OC＝2，得OD＝4，M是AD中点，可得M（﹣3，4），代入y＝﹣x+b，得：b＝1，故E（1，0），F（0，1），∠FEO＝45°，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，由△DOC∽△NKC，可得NK＝EK＝2CK，从而N（3，﹣2），求出EN＝22，EH=CE2=22=CH，即可得tan∠MND=CHNH=13；
（3）由（2）知，N（3，﹣2），设P（0，m），Q（t，﹣t+1），有PN2＝9+（m+2）2，QN2＝2（t﹣3）2，PQ2＝t2+（m+t﹣1）2，当PN＝5时，9+（m+2）2＝25，解得m＝2或m＝﹣6；当QN＝5时，2（t﹣3）2，解得t=6±522；分别画出图形，结合m，t的值可得答案．
解：（1）由 x2﹣6x+8＝0，得x1＝4，x2＝2，
∵OB＞0C，∴OB＝4，0C＝2，∴B（﹣4，0）；
（2）∵OD：OC＝2：1，OC＝2，∴OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵M是AD中点，∴MD＝3，∴M（﹣3，4），
将M（﹣3，4）代入y＝﹣x+b，得：3+b＝4，解得：b＝1，
在y＝﹣x+b中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝1，
∴E（1，0），F（0，1），∴∠FEO＝45°，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，
∵∠DOC＝∠NKC＝90°，∠DCO＝∠NCK，∴△DOC∽△NKC，
∴DO：OC＝NK：CK＝2：1，∴NK＝EK＝2CK，
∵CE＝OC﹣OE＝2﹣1＝1，∴CK＝1，NK＝2，∴N（3，﹣2），
∴EN＝22，EH=CE2=22=CH，∴NH＝EN﹣EH=322，
∴tan∠MND=CHNH=22322=13；
（3）Q1（﹣4，5），Q2（6-522，52-42）；Q3（4，﹣3），Q4（6+522，-4-522）；Q5（6-522，52-42）．
[解析]由（2）知，N（3，﹣2），设P（0，m），Q（t，﹣t+1），
∴PN2＝9+（m+2）2，QN2＝2（t﹣3）2，PQ2＝t2+（m+t﹣1）2，
当PN＝5时，9+（m+2）2＝25，解得m＝2或m＝﹣6；
当QN＝5时，2（t﹣3）2，解得t=6±522；
①如图：
△P'NQ1，△PNQ2，△P'NQ2是腰长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q1（﹣4，5），Q2（6-522，52-42）；
②如图：
△P'NQ3，△P'NQ4，△PNQ4是边长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q3（4，﹣3），Q4（6+522，-4-522）；
③如图：
△PQ5N，△P'Q5N是腰长为5的等腰三角形，此时Q5（6-522，52-42），
综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，Q1（﹣4，5），Q2（6-522，52-42）；Q3（4，﹣3），Q4（6+522，-4-522）；Q5（6-522，52-42）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及锐角三角函数，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
吉林省
21. 【2023·长春】甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解．
解：（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，
，解得：，
∴；
（2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点代入得，
解得：，∴；
联立解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
23.【2023·吉林】甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
解：（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天.
（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天.
故答案为：30；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，∴.
（3）甲组每天挖（千米），甲乙合作每天挖（千米），
∴乙组每天挖（千米），乙组挖掘的总长度为（千米）.
设乙组己停工的天数为a，则，解得.
答：乙组已停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．
广东省
【2023·广东16题】（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次函数的表达式．
解：（2）将（0，1）与（2，5）代入y＝kx+b得：
b=12k+b=5，解得：k=2b=1，
∴一次函数的表达式为：y＝2x+1．
23．【2023·广东23题】综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
【分析】（1）如图2中，当OE＝OF时，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；
（2）在图2中，过点A作AG⊥x轴于点G，利用三角形相似，可得结论；
（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出三角形FON是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题．
解：（1）当OE＝OF时，
在Rt△AOE和Rt△COF中，OE=OFOA=OC，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL）.
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角）.
∴2∠AOE＝45°.∴∠COF＝∠AOE＝22.5°.
∴当旋转角为22.5°时，OE＝OF.
（2）过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝3，OG＝4，
∴OA=OG2+AG2=5.
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°.
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COG＝∠GOA.
∴Rt△AOG∽Rt△FOC.∴OCOG=FCAG.
∴FC=OC⋅AGOG=5×34=154.∴FC的长为154.
（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，
∵四边形OABC是正方形，∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA.
又∠FON＝45°，∴∠FCN＝∠FON＝45°.
∴F、C、O、N四点共圆.
∴∠OFN＝∠OCA＝45°.∴∠OFN＝∠FON＝45°.
∴△FON是等腰直角三角形.
∴FN＝NO，∠FNO＝90°.∴∠FNP+∠ONQ＝90°.
又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，∴∠NOQ＝∠FNP.
∴△NOQ≌△FNP（AAS）.∴NP＝OQ，FP＝NQ.
∵四边形OQPC是矩形，∴CP＝OQ，OC＝PQ.
∴S1=S△OFN=12ON2
=12(OQ2+NQ2)=12(PN2+NQ2)=12PN2+12NQ2，
S2=S△COF=12CF⋅OC=12(PC-PF)⋅(PN+NQ)，
=12(PN-NQ)⋅(PN+NQ)=12(PN2-NQ2)=12PN2-12NQ2.
∴S=S1-S2=NQ2.
又∵△ANQ为等腰直角三角形，∴NQ=22AN=22n.
∴S=NQ2=(22n)2=12n2.∴S关于n的函数表达式为S=12n2．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．x/克
0
2
4
6
10
y/毫米
10
14
18
22
30
品名
A
B
进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
次数
数量（支）
总成本（元）
海鲜串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
工程队
每天施工面积（单位：m2）
每天施工费用（单位：元）
甲
x+300
3600
乙
x
2200
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km
1.2
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km
0.12
1.2
1.2
0.6
A超市
B超市
优惠方案
所有商品按八折出售
购物金额每满100元返30元
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0～400m3（含400）的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400～1200m3（含1200）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.21
5.6
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
23
计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
A
78
200
0.25
免费
B
108
500
0.19
免费
日需求量n
13
14
15
16
17
18
天数
1
1
2
4
1
1
时间t
（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y
（单位：毫升）
7
12
17
22
27
…