2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点17 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点17 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用（Word版附解析），共52页。试卷主要包含了故选，【2023·南充】若点P等内容，欢迎下载使用。
A．1＜m＜32B．43＜m＜2C．43＜m＜32D．m＞2
【答案】C【解析】 ∵a＜0，∴y＝﹣3a＞0，∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，∴4am2﹣8am＞﹣3a，∴4m2﹣8m+3＜0，∴12＜m＜32①，∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，∴3am2＜4am，∵a＜0，m＞0，∴am＜0，∴m＞43②，由①②得43＜m＜32．故选：C．
10．【2023·呼和浩特】关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：
①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞92时，y1-y2x1-x2＜0．
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则-49＜m≤-13或13≤m＜49．
④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【解析】 ①二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5的对称轴为x=--6m2m=3，∵x1＝3+a和x2＝3﹣a关于直线x＝3对称，∴对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等，∴①符合题意；②将点C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1．∴函数的解析式为y＝x2﹣6x﹣5，当x＞3时，y随x的增大而增大．∴当x1＞x2＞92时，y1＞y2，∴y1-y2x1-x2＞0．∴②不符合题意；③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝3时，y＝﹣5﹣9m，当x＝6时，y＝﹣5，∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大，则﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，∴13≤m＜49；若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，则﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，∴-49＜m≤-13；∴-49＜m≤-13或13≤m＜49．∴③符合题意；④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，∵﹣14≤y≤n2+1，∴﹣5﹣9m＝﹣14，解得：m＝1，∴n2﹣6n﹣5＝n2+1，解得：n＝﹣1，∴④不符合题意；综上所述，正确结论有①③，共2个．故选：B．
8．【2023·西宁】直线y1＝ax+b和抛物线y2=ax2+bx（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【答案】B【解析】∵直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．∴﹣4a+b＝0，∴b＝4a，∴y2=ax2+bx=ax2+4ax，
∴抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x=-4a2a-=2；故①正确；∵y2=ax2+bx=ax2+4ax，∴Δ＝16a2＞0，
∴抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点，故②正确；∵b＝4a，∴方程ax2+bx＝ax+b为ax2+4ax＝ax+4a得，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；∵a＞0，抛物线y2=ax2+bx的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线y2=ax2+bx交点横坐标为﹣4，1，∴当x＜﹣4或x＞1时，y1＜y2.故④错误，故选：B．
11．【2023·西藏】将抛物线y＝（x﹣1）2+5通过平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】D【解析】抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2），所以抛物线y＝（x﹣1）2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y＝x2+2x+3．故选：D．
10．【2023·黄石】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C【解析】 因为二次函数的图象过点C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，所以由抛物线的对称性可知，点（1，0）也在抛物线上．将（1，0）代入二次函数解析式得，a+b+c＝0．故①正确．因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，所以-b2a=-1，即b﹣2a＝0．又a+b+c＝0，则将a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，2c+3b＝0．故②正确．因为﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，所以点A离对称轴更近．则当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．故③错误．由ax2+bx+c＝k（x+1）得，ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．又a+b+c＝0，2c+3b＝0，得b=-23c，a=-13c．则（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）＝（-23c-k）2﹣4×（-13c）（c﹣k）=169c2+k2．又k＞0，所以169c2+k2＞0．
即该方程有两个不相等的实数根．故④正确．故选：C．
10．【2023·甘孜州】下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜2时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是（2，﹣3）
【答案】D【解析】 A、∵a＝1＞0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；B、∵y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，即图象与x轴有两个交点，故此选项不符合题意；C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x增大而减小，故此选项不符合题意；D、∵y＝（x﹣2）2﹣3，∴图象的顶点坐标是（2，﹣3），故此选项符合题意；故选：D．
贵州省
10. 【2023·贵州】已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D【解析】由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，，，，在第四象限．
甘肃省
7. 【2023·兰州7题】已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴为B. 顶点坐标为C. 函数的最大值是－3D. 函数的最小值是－3
【答案】C
广西
9．【2023·广西9题】将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
【答案】A 【解析】将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是y＝（x﹣3）2+4．故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键．
陕西省
8．【2023·陕西】在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5B．最大值154C．最小值5D．最小值154
【分析】将（0，6）代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m＝3，再利用公式法求出二次函数最值．
【答案】D【解析】由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2.∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：4ac-b24a=4×1×6-324×1=154．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
河北省
16．【2023·河北16题】已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
【答案】A【解析】令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m．∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，不妨假设m＞0，则m2＝2m，∴m＝2．∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴x=m22，∴这两个函数图象对称轴之间的距离=m22=2．
安徽省
9．【2023·安徽9题】已知反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】 A【解析】∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则k＞0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x=b2＞0.由图象可知，反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k.∴k﹣b＝﹣1.∴b＝k+1.∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1.∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1）.∵反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，∴方程kx=-x+b有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0.∴k﹣1≠0.∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0.∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点.∴符合以上条件的只有A选项．
新疆
9．【2023·新疆生产建设兵团】如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①根据函数的图象特征即可得出结论．②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论．③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出结论．④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值范围．
【答案】C【解析】①∵直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax+bx﹣3相交于点A，B，∴由图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y1＝mx+n在抛物线y2＝ax+bx﹣3的上方.∴y1＞y2，∴①正确．②由图象可知：抛物线y2＝ax+bx﹣3有两个交点，∴方程ax2+bx﹣3＝0有两个不相等的实数根．∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解.∴②正确．③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，解得，∴抛物线解析式为y＝.
当x＝﹣1时，t1＝﹣，当x＝4时，t2＝5，∴t1＜t2.∴③正确．④由③可知（﹣2，5）与点（4，5）关于对称轴x对称，∴对称轴x＝＝1．将x＝1代入抛物线解析式得y＝﹣.∴当﹣2＜x＜1时，﹣＜y＜5．
当1＜x＜3时，﹣＜y＜0．∴④错误．故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，利用数形结合的思想是解决此类问题的关键．
山东省
11.【2023·日照】 在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．
【答案】D【解析】解不等式组可得:，且，所以对称轴的取值范围在，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，即根据增减性可得．
【点评】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
9. 【2023·潍坊】已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 拋物线的开口向下
B. 拋物线的对称轴是
C. 拋物线与轴有两个交点
D. 当时，关于的一元二次方程有实根
【分析】将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【答案】BC【解析】将点代入得：，解得，，抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；方程根的判别式，∴方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点，选项C正确；由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，∴当时，与没有交点，∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；故选：BC．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
9．【2023·东营】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．若点A的坐标为（﹣4，0），则下列结论正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．﹣4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2＜0
【分析】根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断③，根据抛物线的性质判断④．
【答案】C 【解析】∵对称轴为直线x＝﹣1，∴x=-b2a=-1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故①错误，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴﹣4a﹣（2b﹣c）＜0，即﹣4a﹣2b+c＜0，故②错误，∵抛物线与x轴交于（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），∴x＝2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，故③正确，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当x1＞x2＞﹣1时，y1＞y2，故④错误，故选：C．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的焦点情况，熟练掌握个知识点是解决本题的关键．
11．【2023·聊城】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由对称轴为直线x＝﹣1可得b＝2a，再将x＝1代入可判断①，找出（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，找出交点个数可判断③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，可判断④．
【答案】B 【解析】∵对称轴为直线x＝﹣1．∴b＝2a，∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故①错误，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2，y1），又∵2＜3，∴y1＞y2，故②正确，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2），∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确．故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
10．【2023•枣庄】二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax²+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（32，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负；
②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x＝﹣1，得到3a+c＞0，即6a+2c＞，因为a＞0，所以得出11a+2c＞0；
⑤化简不等式，用a表示b，根据a＞0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．
【答案】C【解析】①根据图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴是直线x＝1，∴-b2a=1，即b＝﹣2a．∴b＜0.∴abc＞0．故①错误；
②方程ax²+bx+c＝0，即为二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点，根据图象已知一个交点﹣1＜x1＜0，关于x＝1对称，∴另一个交点2＜x2＜3．故②正确；
③∵对称轴是直线x＝1，|0﹣1|＞|23-1|，∴点（32，y2）离对称轴更近，∴y1＞y2，故③错误；
④∵-b2a=1，∴b＝﹣2a.∴y＝ax2﹣2ax+c.根据图象，令x＝﹣1，y＝a+2a+c＝3a+c＞0，∴6a+2c＞0.
∵a＞0，∴11a+2c＞0，故④正确；
⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a，am2﹣2am≥﹣a，即证：m2﹣2m+1≥0.
m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴m为任意实数，m2﹣2m+1≥0恒成立．故⑤正确．
综上，②④⑤正确，故选：C．
【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a，b，c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值．
9．【2023·烟台】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-12，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，根据开口方向即可判断；③利用抛物线的对称轴，设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据根的判别式即可判断．
【答案】C【解析】①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-12，m），∴-b2a=-12.∴b2a=12，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，∴b＜0，当x＝0时，y＝c＞0，∴abc＞0，故①正确，符合题意；②由图象可得：当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，∵a＜0，∴2b+c＜0，故②错误，不符合题意；③∵直线x=-12是抛物线的对称轴，设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，则d1=|-3-(-12)|=52，
d2=|3-(-12)|=72，∴d2＞d1，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大.∴y1＞y2，故③正确，符合题意；④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0.∴b2﹣4ac+12a＜0.
∴b2﹣4ac＜﹣12a.∴4ac﹣b2＞12a.∵m=4ac-b24a，∴m＜3，故④正确，符合题意．故选C．
湖南省
10．【2023·娄底】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2；
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【答案】D【解析】∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为x＝﹣1，∴-b2a=-1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，x＝0时，y＝c＞0，∴当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最大值a﹣b+c，∴当x＝m时，函数值不大于a﹣b+c，∴a﹣b+c≥am2+bm+c．∴a﹣b≥m（am+b）（m为任意实数），∴③错误；点（﹣3，y1）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣3）＝2，（3，y2）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4，∵抛物线开口向下，∴y1＞y2，∴④正确．故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是解题的关键，注意数形结合．
（多选）12．【2023·湘潭】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0B．c＞0C．b2﹣4ac＜0D．9a+3b+c＝0
【分析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与x轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴交点个数可判断；C：根据x＝3的函数值的情况，可判断选项D．
【答案】BD【解析】A、由函数图象得，抛物线开口方向向下，故a＜0，故A错误；B、图象与y轴的交点在原点上方，故c＞0，故B正确；C、因为抛物线和x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故D正确；D、当x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，故D正确．故选BD．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数有关性质、以及二次函数的图象特点．
8．【2023·岳阳】若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（ ）
A．s＜﹣1B．s＜0C．0＜s＜1D．﹣1＜s＜0
【答案】D 【解析】将（k，2k）代入二次函数解析式，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s．∵f（t）＞0，∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，即Δ＝s（s+1）＜0，解得﹣1＜s＜0．
10．【2023·邵阳】已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【解析】∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x=-4a2a=-2，∴①正确；当x＝0时，y＝3，则点点（0，3）在抛物线上，∴②正确；当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，y1＞y2，当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，y1＜y2，
∴③错误；当y1＝y2时，x1+x2＝﹣4，∴④错误．故正确的结论有2个，故选B．
9．【2023·株洲】如图所示，直线l为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（ ）
​
A．b恒大于0B．a，b同号
C．a，b异号D．以上说法都不对
【答案】C 【解析】对称轴为直线x=-b2a＞0，∴a，b异号，故选C．
12．【2023·衡阳】已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜xx＜x1＜x2
【答案】B【解析】关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，如图．由图可知，x1＜x3＜x4＜x2．
江苏省
5．【2023·泰州】函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A．y＝ax+b（a＜0）B．y=ax（a＜0）
C．y＝ax2+bx+c（a＞0）D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
【答案】C
浙江省
9．【2023·宁波】已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
【答案】C【解析】①当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a.∵a≠0，∴y＝2﹣2a≠2.∴点A（1，2）不在该函数的图象上，故A不正确；②当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴当x＝2时，y＝﹣1＜0，故B不正确；③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0.∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，∴该函数的图象与x轴一定有交点，故C正确；④该函数图象的对称轴为，∵a＞0，∴.∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，故D不正确．故选C．
10．【2023·台州】抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三、四象限D．第一、四象限
【答案】D【解析】∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴kx＝ax2﹣a即ax2﹣kx﹣a＝0，有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=ka.∴ka＜0.当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限；当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限.
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
8．【2023•杭州】设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【答案】A【解析】令y＝0，解得x1＝m，x2＝m+k.∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）图象与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0）.∴二次函数图象的对称轴是x=m+m+k2=2m+k2.
∵a＞0，∴当x=2m+k2时y最小，最小值为y=a(2m+k2-m)(2m+k2-m-k)=-k24a.
∴当k＝2时，函数y的最小值为y=-224a=-a；当k＝4时，函数y的最小值为y=-424a=-4a，故选A．
湖北省
9. 【2023·鄂州】如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
【分析】根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④．
【答案】D【解析】二次函数开口向下，则，二次函数对称轴为，则，，，
∴，故①正确；∵过点，∴由对称性可得二次函数与轴的另一交点为.由函数图象可得时，，故②正确；时，，代入得：，故③错误；∵对称轴是直线，∴若，即时，.∴当时，点到对称轴距离小于点到对称轴的距离.∵二次函数开口向下,∴，故④正确．综上所述，正确的选项是①②④．
【点评】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．
9．【2023·仙桃】抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的性质及数形结合思想进行判定．
【答案】B【解析】①由题意得：y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①是错误的；②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故②是正确的；③∵b＝2a，c＝﹣3a，∴3b+2c＝6a﹣6a＝0，故③是正确的；④∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．∴抛物线的对称轴为：x＝﹣1，当点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，∴m≤﹣1或m-2＜-1＜m-1-(m-2)＞m-(-1)，解得：m＜0，故④是错误的，故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
12．【2023·恩施州】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①2a+b＞0；
②bc＜0；
③a＜-13c；
④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0；
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，可得b＝﹣2a，2a+b＝0，判断①错误；由图象可得a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，知bc＞0，判断②错误；而x＝3时y＜0，知x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，可得a﹣（﹣2a）+c＜0，a＜-13c，判断③正确；由﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，可得﹣3＜x1•x2＜0，判断④正确．
【答案】B【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴-b2a=1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，①错误；∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，∴bc＞0，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0，∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＜0，∴a＜-13c，故③正确；若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴﹣3＜x1•x2＜0，故④正确，∴正确的有：③④，共2个，
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，涉及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
8．【2023·黄冈】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列论中；①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①④
【分析】由抛物线经过（﹣1，0）可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由x＝1时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④．
【答案】 B【解析】∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，①正确，∵a＜0，∴抛物线开口向下，点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，且点（﹣3，y1）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，∴y1＜y3＜y2，②错误；∵-b2a=1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣3a，∵抛物线的最大值为a+b+c，∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c，∴am2+bm+c⩽﹣4a，③正确；∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2，由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∵抛物线开口向下，x1＜x2，∴x1＜﹣1，x2＞3，④正确．故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10．【2023·随州】如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论正确的有（ ）
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1=12，x2=-16；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【答案】C【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵-b2a＞0，∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝2，x＝5时，y＞0，∴x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故②正确；由cx2+bx+a＝0可得方程的解x1+x2=-bc，x1x2=ac，∵的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣2，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2，6，∴-ba=4，ca=-12，
∴-bc=4-12=-13，ac=-112而若方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1=12，x2=-16，则-bc=12-16=13，ac=12×(-16）=-112，故③错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到直线的距离，∴y1＜y2，故正确．故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
10．【2023·十堰】已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x1+x2＝﹣4，从而求得x1+x2+x3的取值范围．
【答案】A【解析】令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，解得x1＝﹣5，x2＝4，∴直线y＝3x+19与抛物线的交点的横坐标为﹣5，4，∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，﹣5），把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣5，x1+x2＝﹣4，
∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得﹣8＜x1＜﹣5，x1+x2＝﹣4是解题的关键．
江苏省
7.【2023·徐州】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．【2023·扬州】已知二次函数y＝ax2﹣2x+12（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③④
【答案】B【解析】故选：B．
内蒙古
12．【2023·通辽】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜-c2x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【答案】B【解析】∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正确．∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②错误．∵抛物线过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2a-c2，a=-12a-14c，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a-c2+c＜0，∴2a﹣c＞0，∴﹣a-12c﹣c＞0，∴﹣2a﹣3c＜0，∴2a+3c＞0，∴③错误．如图：
设y1＝ax2+bx+c，y2=-c2x+c，由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，故④正确．故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
河南省
9．【2023·河南9题】二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（ ）
​
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据图象确定a，b的符号，即可得到答案．
【答案】D 【解析】由函数图象可得，a＜0，-b2a＞0，∴b＞0.∴y＝x+b的图象过一，二，三象限，不过第四象限.
【点评】本题考查二次函数，一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数，一次函数的图象及性质．
黑龙江
12．【2023·牡丹江】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
①abc＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（52，y1），（﹣3，y2），（-12，y3），则y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解为x1=12，x2=-13．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由二次函数的图象可判断出个系数的符号，即可判断①，由对称轴可判断②，然后根据增减性可判断③，由根与系数的关系可判断④．
【答案】D【解析】∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，∵a＜0，b＞0，c＞0，∴①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．∴对称轴为直线y=12，即-b2a=12，∴b＝﹣a，∴a＝﹣b，把（﹣2，0）代入解析式得4a﹣2b+c＝0，把a＝﹣b，∴﹣4b﹣2b+c＝0，∴c＝6b，故②错误；∵抛物线开口向下，∴越靠近对称轴的点的函数值越大，∴y2＜y1＜y3，故③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．∴方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣2和3，∴x1•x2＝﹣6=ca，∴方程cx2+bx+a＝0的两根x1•x2=-16=ac，
但并不能求出两根，故④错误．故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10．【2023·齐齐哈尔】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据图象特征可判断①，根据对称轴可判断②，根据抛物线与x轴的交点即对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点后可判断③，将方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解看做y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点可判断④，由点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称可判断⑤．
【答案】B 【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x=-b2a=1，∴b＝﹣2a，故②错误，∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，故③正确，方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看做y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点，∵﹣k2≤0，∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误，∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称，∴y1＝y2，故⑤正确．故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
辽宁省
9．【2023·沈阳】二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
10. 【2023·营口】如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【答案】C【解析】∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵抛物线与x轴交于点和点，∴抛物线对称轴为直线，故②正确；∴，∴，∴，故①错误；由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，∴当时，，故③正确；∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，抛物线有最大值，∴，∴，故⑤正确；综上所述，正确的有②③⑤，故选C．
【点评】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
9.【2023·大连】已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【答案】D【解析】∵，∴对称轴为，当时，函数的最小值为，当时，，当时，，∴当时，函数的最大值为2.
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
四川省
12．【2023·雅安】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（ ）
①a＞0；②点B的坐标为（6，0）；
③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．
A．①②B．②③C．②③④D．③④
【分析】通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点可判断①、②、③，通过x＝2时抛物线取得最大值判断4a+2b≥am2+bm，进而求解．
【答案】C【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，①错误，∵A、B关于对称轴x＝2对称，∴B点的横坐标为6，②正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，∴-b2a=2，∴a=-b4，把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，得：4a﹣2b+c＝0，∴4⋅(-b4)-2b+c＝0，整理得：c＝3b，③正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，抛物线取得最大值为y＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bmm，④正确．∴所有正确结论的序号为②③④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．
8．【2023·成都】如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1B．抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣6）
C．A，B两点之间的距离为5D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大
【分析】A将点A的坐标代入即可解答即可判定A；B先运用二次函数图象的性质确定B；C利用两点间的距离公式解答即可；D根据函数图象即可解答．
【答案】C【解析】A、把A（﹣3，0）代入y＝ax2+x﹣6得，0＝9a﹣3﹣6，解得a＝1，∴y＝x2+x﹣6，对称轴直线为：x＝﹣，故A错误；令y＝0，0＝x2+x﹣6，解得x1＝﹣3，x2＝2，∴AB＝2﹣（﹣3）＝5，∴A，B两点之间的距离为5，故C正确；当x＝﹣时，y＝，故B错误；由图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D错误．故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法，函数最值的计算方法是解题的关键．
7．【2023·南充】若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（ ）
A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P（m，n）代入y＝ax2（a≠0）即可求出n＝am2，然后将四个选项中的坐标代入y＝a（x+1）2中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【答案】D【解析】∵点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，∴n＝am2，把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n，故点（m，n+1）和点（m，n﹣1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故A、C不合题意；把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故点（m+1，n）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故B不合题意；把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故点（m﹣1，n）在抛物线y＝a（x+1）2上，D符合题意；故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．【2023·南充】抛物线y＝﹣x2+kx+k-54与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（ ）
A．-214≤k≤1B．k≤-214或k≥1
C．﹣5≤k≤98D．k≤﹣5或k≥98
【分析】由抛物线y＝﹣x2+kx+k-54与x轴有交点，可得k2+4（k-54）≥0，故k≤﹣5或k≥1；根据抛物线y＝﹣x2+kx+k-54与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，知x＝﹣2和x＝1时的函数值异号，故[﹣（﹣2）2﹣2k+k-54]•（﹣12+k+k-54）≤0，可得k≤-214或k≥98，即可得到答案．
【答案】B【解析】∵抛物线y＝﹣x2+kx+k-54与x轴有交点，∴Δ≥0，即k2+4（k-54）≥0，∴k2+4k﹣5≥0，
解得k≤﹣5或k≥1；∵抛物线y＝﹣x2+kx+k-54与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，∴[﹣（﹣2）2﹣2k+k-54]•（﹣12+k+k-54）≤0，即（﹣k-214）（2k-94）≤0，∴（k+214）（2k-94）≥0，解得k≤-214或k≥98，∴实数k的取值范围是k≤-214或k≥98，（备注：没有正确选项，故选B）
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式．
10．【2023·遂宁】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号．③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
【答案】C【解析】①因图象开口向下，可知：a＜0；又∵对称轴为直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同号．由图象可知，当x＝4时，y＜0，又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；即c＜0；∴abc＜0，故①正确．②由①得：b＝4a．代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0．即：a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0，整理得：c﹣3a＞0，故②正确．③由①得：b＝4a．不等式4a2﹣2ab≥at（at+b），等价于4a2﹣2a•4a≥at（at+4a），整得：（t+2）2≤0，∵t为全体实数，∴（t+2）2≥0，故③错误．④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根，从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x＝﹣2对称，∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，即当﹣5＜m＜﹣2时，满足题设，故④正确．故本题选：C．
【点评】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．
10．【2023·达州】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a＞0，c＜0，根据对称轴为直线x＝1得出b＝﹣2a＜0，即可判断①；由对称轴为直线x＝1得出2a+b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x＝﹣1时，y＞0，得出a﹣b+c＞0，由b＝﹣2a得出3a+c＞0即可判断⑤．
【答案】B【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称，∴-b2a=1，∵a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故①正确；∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1，∴x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故③错误；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，故④错误；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴b＝﹣2a，∴3a+c＞0．故⑤正确．故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．【2023·广安】如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据函数图象开口向下可知a＜0，根据左同右异可知b＜0，再根据图象与y轴交于正半轴可知c＞0，然后即可判断①；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的额性质，即可判断②；根据对称轴可以得到a和b的关系，再根据x＝1时，y＝0，可以得到a+b+c＝0，进行变形即可判断③；根据x＝1时，y＝0和a、b的关系，可以判断④．
【答案】C【解析】由图象可得，a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0，故①正确，符合题意；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），∴该函数的对称轴为直线x=-3+12=-1，
∴x＝﹣0.5和x＝﹣1.5对应的函数值相等，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2，故②正确，符合题意；∵对称轴是直线x=-3+12=-1，∴-b2a=-1，∴b＝2a，
∵点（1，0）在该函数图象上，∴a+b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，∴5a﹣b+c＝5a﹣2a+c＝3a+c＝0，故③正确，符合题意；∵a+b+c＝0，a＜0，∴2a+b+c＜0，∴2a+2a+c＜0，即4a+c＜0，故④错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．【2023·自贡】经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=-12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A．10B．12C．13D．15
【分析】根据二次函数的性质可知2-3b+4b+c-12=-b2×(-12)，再根据经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=-12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4×（-12）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．
【答案】B【解析】∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=-12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，∴2-3b+4b+c-12=-b2×(-12)，Δ＝b2﹣4×（-12）×（﹣b2+2c）≥0，∴b＝c+1，b2≤4c，∴（c+1）2≤4c，∴（c﹣1）2≤0，∴c﹣1＝0，解得c＝1，∴b＝c+1＝2，∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|＝|4b+c﹣1﹣2+3b|＝|7b+c﹣3|＝|7×2+1﹣3||14+1﹣3|＝12，
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出b和c的值．
11．【2023·眉山】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
【答案】D【解析】①∵二次函数图象的开口向上，∴a＜0，∵二次函数图象的顶点在第四象限，∴-b2a＜0，
∵a＞0，∴b＞0，∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴abc＜0，故结论①正确；②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，又∵二次函数的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），∴二次函数与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），∴a+b+c=09a-3b+c=0，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；④∵二次函数图象的开口向上，与y轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的位置在x轴的下方，∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．综上所述：结论①②③④正确．故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
12．【2023·凉山州】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．3a+c＝0 D．am2+bm+a≤0（m为实数）
【分析】由抛物线开口向上知a＞0，由抛物线的对称轴为直线x＝1，知b＝﹣2a，b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c＜0，可判断A错误；由（4，16a+4b+c）在第一象限，知（﹣2，4a﹣2b+c）在第二象限，判断B错误；由9a+3b+c＝0，b＝﹣2a，可得3a+c＝0，判断C正确；由am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，可判断D错误．
【答案】C【解析】由抛物线开口向上知a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴-b2a=1，∴b＝﹣2a，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故A错误，不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且4﹣1＝1﹣（﹣2），∴抛物线上的点（4，16a+4b+c）与（﹣2，4a﹣2b+c）关于对称轴对称，由图可知，（4，16a+4b+c）在第一象限，∴（﹣2，4a﹣2b+c）在第二象限，∴4a﹣2b+c＞0，故B错误，不符合题意；∵x＝3时y＝0，∴9a+3b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴9a+3×（﹣2a）+c＝0，∴3a+c＝0，故C正确，符合题意；∵b＝﹣2a，
∴am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，∵a＞0，（m﹣1）2≥0，∴a（m﹣1）2≥0，∴am2+bm+a≥0，故D错误，不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
12．【2023·泸州】已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜1B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3
【分析】先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a＞0和a＜0讨论得出a的取值范围．
【答案】D【解析】令x＝0，则y＝3，∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），二次函数的对称轴是：x=--2a2a=1，
当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4•a×3＜0，解得：a＜3，
∴0＜a＜3；当a＜0时，令x＝3，则9a﹣6a+3≥0，解得：a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0，综上，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a＜3．（备注：没有正确选项，故选择D）故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的知识，弄清当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数的意义，然后分情况讨论是解题的关键．
12．【2023·巴中】在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1•x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
【答案】C【解析】由题意得x1，x2满足方程x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2满足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．依据根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1•y2＝1，∴①、②正确．由两点间距离公式得，AB＝＝＝4（k2+1）．∴当k＝0时，AB最小值为4．∴S△AOB＝×1×AB＝2．∴③正确．由题意，kAN＝，kBN＝，∴kAN•kBN＝•＝＝＝﹣k2﹣1．∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．∴④错误．故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键．
10．【2023·广元】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③若抛物线过点（1，4），则﹣1＜a＜-23；
④若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，则4ac﹣b2≥12a，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且3＜m＜4，∴对称轴x=-1+m2＞1，∴对称轴在y轴右侧，∴-b2a＞0，∵a＜0，∴b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵-b2a＞1，a＜0，∴﹣b＜2a，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＞0，故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），点（1，4），∴a-b+c=0a+b+c=4，解得b=2c=2-a，∵抛物线y＝ax2+2x+2﹣a，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，∴﹣am＝2﹣a，∴m=a-2a=1-2a，∵3＜m＜4，∴3＜1-2a＜4，∵a＜0，∴﹣1＜a＜-23，故③正确；∵若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）与直线y＝3有交点，∴4ac-b24a≥3，∴4ac﹣b2≤12a，故④错误．故选：B．
9．【2023•乐山】如图4，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：
①b＜0；
②a+b＞0；
③0＜a＜﹣c；
④若点C（-23，y1），D（53，y2）在抛物线上，则y1＞y2．
其中，正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．
【答案】B【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，故①正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0.∴c＝b﹣a.
∵当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0.∴4a+2b+b﹣a＞0.∴3a+3b＞0.∴a+b＞0，故②正确；
∵a﹣b+c＝0，∴a+c＝b.∵b＜0，∴a+c＜0.∴0＜a＜﹣c，故③正确；∵点C（-23，y1）到对称轴的距离比点D（53，y2）到对称轴的距离近，∴y1＜y2，故④的结论错误．故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
二、填空题
16．【2023·哈尔滨】抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 ．
【答案】（0，2）【解析】 在抛物线y＝﹣（x+2）2+6中，令x＝0，即y＝﹣4+6＝2，则抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是（0，2），故答案为：（0，2）．
16．【2023·青岛】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k=12a．其中正确的是 .（只填写序号）
【答案】①③【解析】由图象可得，a＞0，c＜0，又-b2a=-1，∴b＞0．∴abc＜0．∴①正确．由题意，令ax2+bx+c＝kx，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．又二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6．∴-b-ka=-1，ca=-6．∴6a+c＝0．又b＝2a，∴3b+c＝0．∴3b+2c＝c＜0．∴②错误，③正确．∵-b-ka=-1，b＝2a，∴k＝a．∴④错误．故答案为：①③．
9．【2023·镇江】二次函数y＝﹣2x2+9的最大值等于 ．
【答案】9 【解析】由题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，开口向下，∴二次函数y＝﹣2x2+9有最大值为9．故答案为：9．
福建省
16．【2023·福建16题】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点.若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ．
【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
【答案】﹣1＜n＜0 【解析】抛物线的对称轴为x=-b2a=1，∵a＞0，∴抛物线开口向上.
∵y1＜y2，∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧.
由题意可得2n+3＜1n-1＞11-(2n+3)＜n-1-1，不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，由题意可得2n+3＞1n-1＜11-(n-1)＞2n+3-1，解得﹣1＜n＜0，∴n的取值范围为﹣1＜n＜0．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．
上海
14．【2023·上海】一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）【解析】由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1.
山东省
15．【2023·泰安】二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
【答案】254
浙江省
16．【2023·绍兴】在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ ．
【分析】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
【答案】712或-2512【解析】由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，∴B（3，4），
①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得c=014×9+3b+c=4，解得b=712；
②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得c=414×9+3b+c=0，解得b=-2512，
综上所述，b=712或b=-2512.
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
内蒙古
14．【2023·包头】已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 ．
【答案】2
湖北省
13．【2023·宜昌】如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=-112（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ m．
【答案】10
15．【2023·武汉】抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则0＜m≤13．
其中正确的是 （填写序号）．
【分析】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出4ac-b24a＞1，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 mn=ca=1，即 n=1m，根据 n≥3，得出 1m≥3 求出m的取值范围，即可判断④正确．
【答案】②③④ 【解析】①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧，∵（n，0）中n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，即b＝1﹣a﹣c，∵a＜0，c＜0，∴b＞0，故①错误；②∵a＜0，b＞0，c＜0，ca＞0，∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，即mn＞0，∵n≥3，∴m＞0，∴m+n2＞1.5，
即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，∴抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，∴4ac-b24a＞1，∵4a＜0，∴4ac﹣b2＜4a，故②正确；③∵m＞0，∴当 n＝3 时，m+n2＞1.5，∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，∵a＜0，抛物线开口向下，∴距离抛物线越近的函数值越大，∴t＞1，故③正确；④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵方程有两个相等的实数解，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，∴（a+c）2﹣4ac＝0，即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∵（m，0），（n，0）在抛物线上，∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，∴mn=ca=1，∴n=1m，∵n≥3，∴1m≥3，∴0＜m≤13．
故④正确．综上，正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．
湖南省
12．【2023·郴州】已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
【答案】9 【解析】∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，∴方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，解得m＝9．
17．【2023·娄底】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ ．
【分析】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长．
【答案】4【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），∴该抛物线的对称轴为直线x=1+32=2，∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，∴点D的横坐标为：2×2﹣0＝4，∴CD＝4﹣0＝4，
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
江苏省
14．【2023·泰州】二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 .（填一个值即可）
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【答案】﹣3（答案不唯一）【解析】设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1x2，即二元一次方程x2+3x+n＝0的根为x1x2，由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝n，∵一次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，∴x1，x2为异号，∴n＜0，故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
黑龙江
18．【2023·牡丹江】将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【分析】先求出抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度的解析式为y＝（x+3）2﹣1，设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝（x+3﹣h）2﹣1，由抛物线经过原点可知，当x＝0时，y＝0，代入抛物线的解析式求出h的值即可．
【答案】2或4【解析】抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度的解析式为y＝（x+3）2﹣1，设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝（x+3﹣h）2﹣1，∵抛物线经过原点，∴当x＝0时，y＝0，∴（3﹣h）2﹣1＝0，解得h＝2或4．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特点，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
三、解答题
24．【2023·呼和浩特】探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
解：（1）【答案】2 图象和性质见解答 【解析】当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，∴m＝2，函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；故答案为：2；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，
当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，
∵A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝4，
∵S△FAB＝3，
∴12×4|yF|＝3，
∴yF＝±32，
当yF=32时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x=32，
解得：x=-32或-12，
若x≥0，则﹣2x2+4x=32，
解得：x=32或12，
∴F（-32，32）或（-12，32）或（32，32）或（12，32）；
当yF=-32时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x=-32，
解得：x＝﹣1-72或x＝﹣1+72（舍去），
若x≥0，则﹣2x2+4x=-32，
解得：x＝1-72（舍去）或x＝1+72，
∴F（﹣1+72，-32）或（﹣1-72，-32）或（1-72，-32）或（1+72，-32）；
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（-32，32）或（-12，32）或（32，32）或（12，32）或（﹣1-72，-32）或（1+72，-32）；
（3）PM与PN的和是定值；
如图2，连接直线PQ，
∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点，
∴O（0，0），A（2，0），
∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2），
∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4），
由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①，
同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n=18（t﹣4）2，
故直线l的表达式为y＝tx+18（t﹣4）2③，
联立①③并解得xM=-18（t﹣4），
同理可得，xN=-18（t﹣12），
∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α，
则sin∠APQ＝sin∠OPQ=OQOP=112+42=117=sinα，
∴PM+PN=1-xMsinα+xN-1sinα=17（xN﹣xM）=17为定值．
26．【2023·淮安】已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．
解：（1）①【答案】﹣2 （﹣1，0）【解析】由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），∴9+3b﹣3＝0．
∴b＝﹣2．∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3．令y＝0，∴x2﹣2x﹣3＝0．∴解得，x＝﹣1或x＝3．∴B（﹣1，0）．故答案为：﹣2；（﹣1，0）．
②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上．
∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．
∴t＜-b2+124．
（3）由题意，抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，
∴对称轴x=-b2=1+22．
∴b＝﹣3．
∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x-32）2-214．
∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5．
由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，
∴m＜-214．
27．【2023·镇江】已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（m，n），点C与点B关于原点对称，直线AB、AC分别与y轴交于点E、F，点F在点E的上方，EF＝2．
（1）分别求点E、F的纵坐标（用含m、n的代数式表示），并写出m的取值范围；
（2）求点B的横坐标m、纵坐标n满足的数量关系（用含m的代数式表示n）；
（3）将线段EF绕点（0，1）顺时针旋转90°，E、F的对应点分别是E'、F'．当线段E'F'与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围．
解：（1）由直线AB与y轴交于E，得m≠3，
∵点C与点B关于原点对称，
∴C（﹣m，﹣m），
由直线AC与y轴交于点F，得﹣m≠3，
即m≠﹣3，
综上所述，m≠±3，
设直线AB对应的一次函数解析式为y＝kx+b，
将A（3，0），B（m，n）代入y＝kx+b得，3k+b=0mk+b=n，
解得b=-3nm-3，
∴E（0，-3nm-3），
同理F（0，-3nm+3）；
由点F在点E上边可以求出m＜﹣3；
（2）由题意得，EF=-3nm+3-（3nm-3）＝2，
整理得，n=19m2﹣1；
（3）∵n与m的关系式为n=19m2﹣1，
∴B（m，n）在函数y=19x2﹣1（x≠±3）的图象上，
由旋转得，yE′＝1，
当E′在点B所在的函数图象上时，19xE′2﹣1＝1，
解得xE′=±32，
∵线段E'F'与点B所在的函数图象有公共点，
∴﹣32-2≤xE'≤-32或32-2≤xE'≤32，
由旋转得，﹣32-1≤yE≤-32+1或32-1≤yE≤32+1；
∵yE=-3nm-3=-3×(19m2-1)m-3=-13(m+3)，
∴m的取值范围为92-6≤m≤92．
北京
26.【2023·北京26题】在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
解：（1）∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线.
∵抛物线的对称轴为．∴.
（2）当，时， ，.
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧.
∴，即．
上海
24．【2023·上海】在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【分析】（1）根据题意，分别将x＝0，y＝0代入直线 y=34x+6 即可求得；
（2）设 c(m，34m+6)，得到抛物线的顶点式为 y=a(x-m)2+34m+6，将B（0，6）代入可求得 m=-34a，进而可得到抛物线解析式为 y=ax2+32x+6，即可求得b，c；
（3）根据题意，设P（p，0），c(m，34m+6)，根据平移的性质可得点B，点C向下平移的距离相同，列式求得m＝﹣4，a=316，然后得到抛物线N解析式为：y=316(x-p)2，将B（0，6）代入可得 p=±42，即可得到答案．
解：（1）在 y=34x+6中，令x＝0得：y＝6，∴B（0，6），
令y＝0得：x＝﹣8，∴A（﹣8，0）；
（2）设c(m，34m+6)，设抛物线的解析式为：y=a(x-m)2+34m+6，
∵抛物线M经过点B，∴将B（0，6）代入得：am2+34m+6=6，
∵m≠0，∴am=-34，即 m=-34a，
将m=-34a 代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，
整理得：y=ax2+32x+6，∴b=32，c＝6；
（3）如图：
∵CD∥x轴，点P在x轴上，∴设P（p，0），c(m，34m+6)，
∵点C，B分别平移至点P，D，∴点B，点C向下平移的距离相同，
∴34m+6=6-(34m+6)，解得：m＝﹣4，
由（2）知 m=-34a，
∴a=316，∴抛物线N的函数解析式为：y=316(x-p)2，
将B（0，6）代入可得：p=±42，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316(x-42)2或 y=316(x+42)2．
【点评】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图 性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
安徽省
23．【2023·安徽23题】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．
（1）求a，b的值；
（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．
（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为32？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2，
∴9a+3b=3，-b2a=2，解得a=-1，b=4.
（2）由（1）得y＝﹣x2+4x，∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t.
当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3，
∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3）.
设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得3＝3k，
∴k＝1.∴OA的解析式为y＝x.∴D（t，t），E（t+1，t+1）.
（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图，
则M（t，0），N（t+1，3），
∴S△OBD+S△ACE=12BD•OM+12AN•CE=12（﹣t2+4t﹣t）•t+12（3-t-1）（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）
=12（﹣t3+3t2）+12（t3﹣3t2+4）=-12t3+32t2+12t3-32t2+2＝2；
（ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图.
则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，
DH＝t+1﹣t＝1，
∴S四边形DCEB=12（BD+CE）•DH，即32=12（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1，解得t=52.
②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H，
则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2，
∴S四边形DBCE=12（BD+CE）•DH，
即32=12（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1，
解得t1=142+1（舍去），t2=-142+1（舍去）.
综上所述，t的值为52．
浙江省
22．【2023•杭州】设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
解：（1）①由题意得a-b+1=44a+2b+1=1，解得a=1b=-2，∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1.
②x＜1（答案不唯一）
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1.∴-b2a=1，即b=-2a.
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，∴m=p.
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，∴n>0，且m=p≤0.
∴m=3a+1≤0,且n=-a-1>0，解得a≤-13．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．
23．【2023·绍兴】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 x=b2 在y轴的右侧，∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2，
又∵4×(-1)×c-b24×(-1)=3，∴b＝±2，
∵b＞0，∴b＝2．∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
19．【2023·宁波】如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，得，解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5.
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣6）.
（2）﹣3≤x≤1【解析】如图，点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点为C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，结合图象可知，x的范围是﹣3≤x≤1．
23．【2023·丽水】已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
解：当m＝﹣1时，函数图象过点（1，0）和（﹣3，0），∴a+b+3=0，9a-3b+3=0，∴解得a=-1，b=-2.
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2.
（2）解：∵函数图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴对称轴为直线x＝m.
∵函数图象过点A（n，3），（0，3），∴根据图象的对称性得n＝2m.
∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2.
证明：∵函数图象过点（﹣m，0），（3m，0），∴根据图象的对称性得-b2a=m.∴b＝﹣2am.
将点（﹣m，0），（3m，0）分别代入y＝ax2+bx+3，得am2-bm+3=0①9am2+3bm+3=0②，①×3+②得12am2+12＝0，
∴am2+1＝0.∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
23．【2023·嘉兴、舟山】在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3，得1＝4﹣4t+3，解得t＝.
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3的对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时，函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t＝±.∵t>0，∴t＝.
若t＞3，当x＝3时，函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，解得 （不符合题意，舍去）.
综上所述，t的值为.
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）关于对称轴对称，
∴＝t.∴t＝m﹣1.，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧.
∵抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），抛物线对称轴为x=t，
∴（0，3）关于对称轴的对称点为（2m﹣2，3）.
∵a0，∴4＜2m﹣2，解得m＞3.
当A，B都在对称轴左侧时，
∵a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此时m满足的条件为m＞6；
当A，B分别在对称轴两侧时，
∵a＜b，∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4.
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
湖北省
23. 【2023·鄂州】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
解：（1）∵抛物线中，∴，.
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为.
（2）由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：.
又∵，∴解得：或（舍去）.
∴.∴点P的坐标为.
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，∴.
∵点是直线和直线m的交点，令，解得：，
故点的坐标为，∴，
．即的最小值为．
（4）∵抛物线中，∴，.
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为.
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：

∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
【点评】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
吉林省
26.【2023·吉林】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解；
（3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解．
解：（1）∵抛物线经过点．∴.
∴抛物线解析式为.
（2）∵，
顶点坐标为.
∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为，
∴，解得：.
（3）①轴时，点关于对称轴对称，，
∴，则，.
∴，.∴点与点的纵坐标的差为.
②当轴时，则关于直线对称，
∴，，则.
∴，；∴点与点的纵坐标的差为.
综上所述，点与点的纵坐标的差为或.
（4）①如图所示，当都在对称轴的左侧时，

则，∴.
∵，即，
∴，
.
∵，∴.
解得：或（舍去）.
②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，

则，即，
则，∴.
解得：（舍去）或（舍去）.
③当点在的右侧且在直线上方时，即，

，.
∴，解得：或（舍去）.
④当直线上或下方时，即，
，
，
，
.
解得：（舍去）或（舍去）.
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
山东省
18. 【2023·潍坊】为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得；
（2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可．
解：（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得
，解得，
∴；
场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；
（2）场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，∴该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长．
【点评】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24.【2023·威海】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点坐标为．抛物线交轴于点，顶点坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．比较大小：___________；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围．
【分析】（1）知道抛物线与轴的交点坐标，即可求出顶点横坐标，从而求出结果；
（2）用两点式设出抛物线解析式，把顶点坐标代入可得，再把，代入比较即可；
（3）根据，则点P离对称轴更近，可得，解不等式即可．
解：（1）由题意可得：，，
∴.
（2）由题意得：设抛物线：，抛物线：，
由（1）得：，，∴，
∴，∴，
把代入抛物线得：，
把代入抛物线得：，
∵，∴；
（3） ∵，∴点P离对称轴更近，
∴，∴，
∴；∴或
∴或．
【点评】本题考查了二次函数压轴题，综合性强，掌握数形结合是关键．
黑龙江
28．【2023·大庆】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+2时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）选择三个合适的点，利用待定系数法求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）构造直角三角形，把∠RPQ放在直角三角形中，用m表示tan∠RPQ的值并化简；
（3）二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，对称轴为直线x＝1，二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）只是开口大小和方向发生了变化，并且|1t|越大，开口越小，所以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3）三个点，
∴a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，∴a=1b=-2c=-3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过R作RT⊥PQ，垂足为T，
∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+2，∴QT=2，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
∴点P，Q关于直线x＝1对称，
∵Q到x＝1的距离是m﹣1，
∴PQ＝2（m﹣1）＝2m﹣2，∴PT＝2m﹣2+2，
∵yR＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，yT＝yQ＝m2﹣2m﹣3，
∴RT＝yR﹣yT＝22m﹣22+2，
∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ=RTPT=22m-22+22m-2+2=2．
（3）线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A'B'，则A'（0，3），B'（4，3），
二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，对称轴为直线x＝1，二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）只是开口大小和方向发生了变化，并且|1t|越大，开口越小．若线段A'B'与二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当t＞0时，开口向上，如图，线段A'B'与二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过B'（4，3）时开口最大，1t最小，t最大，把（4，3）代入y=1t（x2﹣2x﹣3）得t=53，∴0＜t≤53．
②当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点（1，3），代入y=1t（x2﹣2x﹣3）得t=-43．
③当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过A'（0，3）时开口最大，|1t|最小，t最小，把（0，3）代入y=1t（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣1，∴﹣1＜t＜0．
综上，t的取值范围是：t=-43或﹣1＜t＜0或0＜t≤53．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对于第（3）问，关键是研究二次函数y=1t（x2﹣2x﹣3）的性质，找到分类标准．x
1
2
4
y
4
2
1
x
…
-52
﹣2
-32
﹣1
-12
0
12
1
32
2
52
…
y
…
-52
0
32
m
32
0
32
2
32
0
-52
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…