2024年中考数学真题分类汇编：知识点15 正比例函数与一次函数图象、性质及其应用2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点15 正比例函数与一次函数图象、性质及其应用2024（解析版），共22页。试卷主要包含了【2024·山西】已知点A，故选B，故选A等内容，欢迎下载使用。
14．【2024·河北14题】扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m=SnS，则m与n关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【解析】设该扇面所在的圆的半径为R，S=120πR2360=πR23，∴πR2＝3S.∵该折扇张开的角度为n°时，扇形面积为Sn，∴Sn=nπR2360=n360×πR2=n360×3S=nS120，∴m=SnS=nS120S=n120=1120n，∴m是n的正比例函数.
∵n≥0，∴它的图象是过原点的一条射线，故选C．
山西省
6．【2024·山西】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2
【答案】B【解析】因为正比例函数y＝3x的比例系数是3＞0，所以y随x的增大而增大．又因为x1＜x2，所以y1＜y2．故选B．
9．【2024·山西】生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝7.5x+0.5B．y＝7.5x−0.5
C．y＝15xD．y＝15x+45.5
【答案】A【解析】蛇的长度y（cm）是其尾长x（cm）的一次函数，设y＝kx+b，把x＝6时，y＝45.5；x＝8时，y＝60.5代入得6k+b=45.58k+b=60.5，解得k=7.5b=0.5，∴y与x之间的关系式为y＝7.5x+0.5．故选A．
陕西省
6．【2024·陕西】一个正比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，−6）．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝3xB．y＝−3xC．y=13xD．y=−13x
【答案】A【解析】∵点A（2，m）和点B（n，−6）关于原点对称，∴m＝6，∴点A的坐标为（2，6）．设正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0），∵点A（2，6）在正比例函数y＝kx的图象上，∴6＝2k，解得：k＝3，∴正比例函数的表达式为y＝3x．故选A．
山东省
10．【2024·威海】同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶83h与乙车相遇
B．A，C两地相距220km
C．甲车的速度是70km/h
D．乙车中途休息36分钟
【答案】A【解析】根据函数图象可得AB两地之间的距离为40−20＝20（km），两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1−2小时，两侧同向运动，在第2小时，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，∴乙车休息了1小时.故D不正确，不符合题意；设甲车的速度为c km/h，乙车的速度为b km/h，根据题意，乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，a＜b，∵2b+20−2a＝40，即b−a＝10，在DE−EF时，乙车不动，则甲车的速度是40+201=60（km/h），∴乙车速度为60+10＝70km/h，故C不正确，不符合题意；∴AC的距离为4×60＝240（千米），故B不正确，不符合题意；设x小时两辆车相遇，依题意得60x＝2×70+20，解得x=83，即83小时时，两车相遇，故A正确，符合题意.故选A．
湖南省
7．【2024·长沙7题】对于一次函数y＝2x−1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点（0，−1）
B．y随x的增大而减小
C．当x＞12时，y＜0
D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
四川省
1．【2024·泸州】已知关于x的一元二次方程x2+2x+1−k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y=2x的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A 【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x+1−k＝0无实数根，∴Δ＝4−4（1−k）＜0，解得k＜0，则函数y＝kx图象经过第二、四象限，函数y=2x的图象分布在第一、三象限，两个函数没有交点．故选：A．
7．【2024·甘孜州】在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D【解析】令x＝0得，y＝1，令y＝0得，x＝−1，所以一次函数的图象经过点（0，1）和（−1，0）．
如图所示，所以一次函数的图象不经过第四象限．故选D．
9．【2024·南充】当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．−3或0B．0或1C．−5或−3D．−5或1
【答案】A【解析】当m+1＞0，即m＞−1时，y随x的增大而增大，∴当x＝5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，∴5（m+1）+m2+1＝6，解得m1＝0，m2＝−5（舍去），当m+1＜0，即m＜−1时，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，∴2（m+1）+m2+1＝6，解得m1＝−3，m2＝1（舍去）.综上，当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或−3，故选A．
1．【2024·德阳】正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．12B．−12C．−1D．−13
【答案】A
广东省
10．【2024·广东】已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【解析】A．不等式kx+b＜0的解集是x＞−2，故本选项不符合题意；B．不等式kx+b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意；C．不等式kx+b＜0的解集是x＜−2，故本选项不符合题意；D．不等式kx+b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意；故选B．
甘肃省
5. 【2024·兰州】一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
5．【2024·临夏州】一次函数y＝kx−1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
广西
8．【2024·广西8题】激光测距仪L发出的激光束以3×105km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离d km与时间t s的关系式为（ ）
A．d=3×1052tB．d＝3×105t
C．d＝2×3×105tD．d＝3×106t
【答案】A【解析】激光由L到M的时间为t2，光速为3×105km/s，则L到M的距离d=t2×3×105=3×1052t．
故选A．
青海省
5．【2024·青海】如图，一次函数y＝2x−3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A．（−32，0）B．（32，0）C．（0，3）D．（0，−3）
【答案】A
内蒙古
6．【2024·通辽6题】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是（ ）
A．b1+b2＞0B．b1b2＞0C．k1+k2＜0D．k1k2＜0
【答案】A【解析】由图象可得，b1＝2，b2＝−1，k1＞0，k2＞0，∴b1+b2＞0，故选项A正确，符合题意；b1b2＜0，故选项B错误，不符合题意；k1+k2＞0，故选项C错误，不符合题意；k1k2＞0，故选项D错误，不符合题意.故选A．
新疆
7．【2024·新疆生产建设兵团】若一次函数y＝kx+3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【答案】D
二、填空题
天津
16．【2024·天津16题】若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第三、第一象限，则k的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
上海
11．【2024·上海】若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，−13），则y的值随x的增大而 .（选填“增大”或“减小”）
【答案】减小【解析】∵正比例函数y＝kx的图象经过点（7，−13），∴−13＝7k，解得k=−137．∵k=−137＜0，∴y的值随x的增大而减小．故答案为：减小．
13．【2024·上海】某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 万元．
【答案】4500【解析】设y＝ke+b，∵当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，
∴10k+b=100090k+b=5000，解得k=50b=500，∴y＝50x+500，当x＝80时，y＝50×80+500＝4500，故答案为4500．
江苏省
1．【2024·苏州】直线l：y＝x−1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是 ．
【答案】y=3x−3【解析】如图所示，将x＝0代入y＝x−1得，y＝−1，所以点B坐标为（0，−1）．将y＝0代入y＝x−1得，x＝1，所以点A的坐标为（1，0），所以OA＝OB＝1，所以∠OBA＝∠OAB＝45°．由旋转可知，∠BAC＝15°，∴∠OAC＝45°+15°＝60°．在Rt△AOC中，tan∠OAC=OCOA，所以OC=3，则点C的坐标为（0，−3）．令直线l2的函数表达式为y＝kx+b，则k+b=0b=−3，解得k=3b=−3，所以直线l2的函数表达式为y=3x−3．故答案为：y=3x−3．
2．【2024·扬州】如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．
【答案】x＝−2【解析】∵OA＝2，∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（−2，0），∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝−2．故答案为：x＝−2．
四川省
17．【2024·凉山州】如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 ．
【答案】9【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，∴3k+b=6b=3，解得k=1b=3，
∴一次函数解析式为y＝x+3，当y＝0时，x＝−3，∴C（−3，0），∴S△AOC=12×3×6=9．故答案为9．
三、解答题
北京
22．【2024·北京22题】在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝−kx+3的图象交于点（2，1）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝−kx+3的值，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵直线y＝−kx+3点（2，1），
∴−2k+3＝1，
解得k＝1，
将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，
解得b＝−1．
（2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝x−1的值，也大于函数y＝−x+3的值，
∴m≥1．
∴m的取值范围是m≥1．
天津
23．【2024·天津23题】已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家．如图图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（I）①填表：
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 km/min；
③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中（0.6＜y＜1.5）两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
解:（I）①由图象可填表：
故答案为：0.15，0.6，1.5；
②由图象可知，张华从文化广场返回家的速度为1.551−31=0.075（km/min），
故答案为：0.075；
③张华从家到画社的速度为：0.64=0.15（km/min），
张华从画社到分化广场的速度为1.5−0.625−19=0.15（km/min），
当0≤x≤4时，y＝0.15x；
当4＜x≤19时，y＝0.6；
当19＜x≤25时，y＝0.15（x−19）+0.6＝0.15x−2.25，
∴当0≤x≤25时，y与x的函数解析式为y=0.15x(0≤x≤4)1.6(4＜x≤19)0.15x−2.25(19＜x≤25)；
（II）爸爸的速度为：1.520=0.075（km/min），
∴设张华出发x分钟时和爸爸相遇，
根据题意得：0.15（x−19）+0.6＝0.075（x−8），
解得x＝22，
∴0.15（22−19）+0.6＝1.05（km），
答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05 km．
河南省
21．【2024·河南】为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．
（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
解：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得700x+900y=460010x+15y=70，解得x=4y=2．
答：应选用A种食品4包，B种食品2包；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7−m）包，
根据题意得10m+15（7−m）≥90，解得m≤3．
设每份午餐的总热量为w kJ，则w＝700m+900（7−m），
即w＝−200m+6300，
∵−200＜0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝3时，w取得最小值，此时7−m＝7−3＝4．
答：应选用A种食品3包，B种食品4包．
陕西省
22．【2024·陕西】我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kW•h，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（kW•h）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为100kW•h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
解：（1）设y＝kx+b（0≤x≤240），代入（0，80），（150，50），
得，b=80150k+b=50，解得：k=−15，b＝80，
∴y=−15x+80.
（2）令x＝240，则y＝32，
32100×100%＝32%，
答：该车的剩余电量占“满电量”的32%．
吉林省
21．【2024·长春】区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当112≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
解：（1）由题意得，100a＝20，解得a=15.
故答案为15.
（2）设当112≤x≤15时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则
16k+b=1715k+b=20，解得k=90b=2，
∴y＝90x+2（112≤x≤15）.
（3）当x=112时，y＝90×112+2＝9.5，
∴先匀速行驶112小时的速度为：9.5÷112=114（千米/时）.
∵114＜120，∴辆汽车减速前没有超速．
23．【2024·吉林】综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm，凳面的宽度为y mm，记录如下：
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
解：（1）它们在同一条直线上，设y＝kx+b，
则16.5k+b=+b=148.5，解得k=5b=33，
所以这条直线所对应的函数解析式为y＝5x+33；
（2）当y＝213mm时，213＝5x+33，解得x＝36，
所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36mm．
四川省
26．【2024·甘孜州】端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
（1）设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
解：（1）y＝（120−90）x+（60−50）（200−x）＝20x+2000，
答：y关于x的函数解析式y＝20x+2000．
（2）20x+2000≥3000，解得x≥50，
故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进A种粽子50盒．
23．【2024·眉山】眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业篷勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．
（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）A款文创产品每件的进价a元，则B文创产品每件的进价是（a−15）元，根据题意得：
960a=780a−15，解得a＝80，
经检验，a＝80是原分式方程的解，
80−15＝65．
答：A款文创产品每件的进价80元，则B文创产品每件的进价是65元．
（2）设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品（100−x）件，总利润为W，根据题意得：
80x+65（100−x）≤7400，解得x≤60，
∴W＝（100−80）x+（80−65）（100−x）＝5x+1500.
∵k＝5＞0，w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，利润最大，W最大＝5×60+1500＝1800．
答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．
22．【2024·广元】近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
解：（1）由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
∴x+y=5080x+90y=4300．∴x=20y=30．
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．
（2）由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200−m） 件长款服装，
∴80m+90（200−m）≤16800．∴m≥120．
又设利润为w元，
则w＝（100−80）m+（120−90）（200−m）＝−10m+6000．
∵−10＜0
∴w随m的增大而减小．
∴当m＝120时，利润w最大为：−10×120+6000＝4800（元）．
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
22．【2024·广安】某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
（1）求A，B两种花卉的单价．
（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
解：（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．
由题意得2x+3y=214x+5y=37，解得x=3y=5，
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株；
（2）设采购A种花卉m株，则B种花卉（10000−m） 株，总费用为W元．
由题意得W＝3m+5（10000−m）＝−2m+50000，
∵m≤4（10000−m），解得m≤8000，
在W＝−2m+50000中，
∵−2＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当 m＝8000 时W的值最小，
Wa＝−2×8000+50000＝34000，
此时10000−m＝2000，
答：当购进A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元．
22．【2024·达州】为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，
由题意得：25x+15（x+20）＝3500，
解得：x＝80，∴x+20＝100.
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元；
（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000−m）盒，
由题意得：m≤1.5(1000−m)50m+60(1000−m)≤54050，解得：595≤m≤600，
设收益为w元，
由题意得：w＝（80−50）m+（100−60）（1000−m）＝−10m+40000，
∵−10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值＝−10×595+40000＝34050，
此时，1000−m＝1000−595＝405，
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．
1．【2024·德阳】罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如表：
（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
（2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
解：（1）设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元，每个肉粽的进价是y元，
根据题意得4x+6y=946x+10y=146，解得x=16y=5．
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元，每个肉粽的进价是5元；
（2）设该超市准备m件A种组合，则该超市准备（3m−5）件B种组合，
根据题意，得m+3m−5≤95，解得m≤25．
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（120−94）m+（188−146）（3m−5），
即w＝152m−210，
∵152＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为152×25−210＝3590．
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3590元．
广东省
23．【2024·广州】一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
（1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）；
（2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y=kx（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
解：（1）描点如图示：
（2）∵y=kx（k≠0）转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠•••，
∴y与x的函数不可能是y=kx，
故选一次函数y＝ax+b（a≠0），将点（23，156）、（24，163）代入解析式得：
23a+b=15624a+b=163，解得a=7b=−5，
∴一次函数解析式为y＝7x−5．
（3）当x＝25.8时，y＝7×25.8−5＝175.6（cm）．
答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm．
云南省
1．【2024·云南】A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．
（1）求a、b的值；
（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的43，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
解：（1）根据题意，得8a+7b=6704a+5b=410，解得a=40b=50，
∴a的值是40，b的值是50．
（2）购买B种型号吉祥物的数量为（90−x）个．
根据题意，得x≥43(90−x)x≤2(90−x)，解得3607≤x≤60；
y＝（40−35）x+（50−42）（90−x）＝−3x+720，
∵−3＜0，∴y随x的减小而增大.
∵3607≤x≤60且x为整数，
∴当x＝52时，y的值最大，y最大＝−3×52+720＝564，
∴y的最大值是564元．
黑龙江省
27．【2024·牡丹江】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元二次方程x2−4x−12＝0的一个根．请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，AE=32，连接BE，求tan∠ABE的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1：2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）解方程x2−4x−12＝0得x1＝6，x2＝−2，
∴OA＝6，即点A的坐标为（6，0），
把（6，0）代入y＝x+b得b＝−6，
∴y＝x−6，点D的坐标为（0，−6）.
（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，
∵OA＝OD＝6，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠EAH＝45°，AD=OA2+OD2=62+62=62，
∴AH=EH=AE⋅tan∠EAH=32×22=3.
又∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD=62，AE∥BC.
∵GE是BC的垂直平分线，∴BG=12BC=32=AE.
∵AE∥BC，∴∠EAF＝∠GBF，∠AEF＝∠FGB＝90°，
∴△AEF≌△BGF，∴BF＝AF＝2AH＝6，
∴BH＝AF+FB−AH＝6+6−3＝9，∴tan∠ABE=EHBH=13.
（3）存在，12个，N1（0，0），N2（8，0），N3（10，0），N4（12，0），N5（18，0）（写出两个即可）；理由如下：
如图2，当∠MEN＝90°时，有4个，
∵∠EAN1＝45°，∴EN1=EA=32.
由（2）得AN1＝6，OA＝6，
∴ON1＝12，∴点N得坐标为（12，0）；
当∠ENM＝90°时，有4个，如图3，
当∠EMN＝90°时，有4个，如图4，
∵∠N9AM9＝45°，
∴N9M9=M9A=12EM9=EA=32，
∴N9A=M9A2+N9M92=(32)2+(32)2=6，
∴点N9与O重合.
故点N9得坐标为（0，0）.
综上所述，点△EMN的个数为12个，点N的坐标为N1（0，0），N2（8，0），N3（10，0），N4（12，0），N5（18，0）（写出两个即可）．
24．【2024·牡丹江】一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早27小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程y km与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 km/h，并在图中括号内填上正确的数；
（2）求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
解：（1）由图可知，甲车27小时行驶的路程为（200−180）km，
∴甲车行驶的速度是(200−180)÷27=70(km/ℎ)，
70×（4+27）＝300（km）.
填图如下：
故答案为70.
（2）由图可知E，F的坐标分别为(52，0)，（4，180），
设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
则52k+b=04k+b=180，解得k=120b=−300，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝120x−300.
（3）由题意知，A、C两地的距离为(4+27)×70=300(km)，
乙车行驶的速度为300÷52−70=50(km/ℎ)，
C、B两地的距离为50×4＝200（km），
A、B两地的距离为300−200＝100（km），
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：200−50x＝3（100−70x），解得x=58；
当甲乙相遇后时：200−50x＝3（70x−100），解得x=2513.
综上可知，两车出发58ℎ或2513ℎ时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
25．【2024·龙东地区】甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式；
（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
解：（1）甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5＝30（km/h）；乙货车的速度是（225−105）×2÷6＝40（km/h）．
故答案为30，40．
（2）∵3.5+0.5＝4（h），6−0.5＝5.5（h），
∴点E（4，105），F（5.5，225）．
设线段对应的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标E（4，105）和F（5.5，225）分别代入y＝kx+b，
得4k+b=1055.5k+b=225，解得k=80b=−215，
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x−215（4≤x≤5.5）．
（3）线段CM对应的函数表达式为y＝225−40x＝−40x+225（0≤x≤3），
线段MN对应的函数表达式为y＝105+40（x−3）＝40x−15（3＜x≤6），
线段OD对应的函数表达式为y＝30x（0≤x≤3.5）．
当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为（105−30x）km，乙货车离配货站的距离为−40x+225−105＝（−40x+120）km，
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105−30x＝−40x+120，解得x=32；
当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为（105−30x）km，乙货车离配货站的距离为40x−15−105＝（40x−120）km，
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105−30x＝40x−120，解得x=4514；
当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，根据“相遇时两车与A地距离相等”，80x−215＝40x−15，解得x＝5；
∴出发32h或4514h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
25．【2024·绥化】为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择 种电动车更省钱（填写A或B）．
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值 ．
解：（1）设A，B两种电动车的单价分别为x元、y元，
由题意得，25x+80y=30500060x+120y=480000，
解得x=1000y=3500，
答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元．
（2）设购买A种电动车m辆，则购买8种电动车（200−m）辆，
m≤12（200−m），解得m≤2003，
设所需购买总费用为w元，
则w＝1000m+3500（200−m）＝−2500m+700000，
∵−2500＜0，∴w随着m的增大而减小，
∵m取正整数，∴m＝66时，w最少，
∴w最少＝700000−2500x66＝535000（元），
答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元．
（3）①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min，小刘家到公司的距离为8km，
∴所用时间8000300=2623（分钟），
根据函数图象可得当x＞20时，y2＜y1更省钱，
∴小刘选择B种电动车更省钱，故答案为：B．
②设y1＝k1x，将（20，8）代入得，8＝20k1，
解得k1=25，∴y1=25x，
当0＜x≤10时，y2＝6，
当x＞10时，设y2＝k2x+b2，
将（10，6）、（20，8）代入得，
6=10k2+b28=20k2+b2，解得k2=15b2=4，
∴y2=15x+4，
依题意，当0＜x＜10时，y2−y1＝4，即6−25x＝4，
解得x＝5，
当x＞10时，|y2−y1|＝4，即|15x+4−25x|＝4，
解得x＝0（舍去） 或x＝40，
故答案为5或40．
22．【2024·齐齐哈尔】领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）a＝ 米/秒，t＝ 秒；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可）
解：（1）由题意得甲无人机的速度为 a＝48÷6＝8（米/秒），
t＝39−19＝20（秒）．故答案为：8，20.
（2）由图象知，N（19，96），
∵甲无人机的速度为8米/秒，
∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8＝12（秒），
∴甲无人机单独表演所用时间为19−12＝7（秒），
6+7＝13（秒），
∴M（13，48），
设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
将M（13，48），N（19，96）代入得
48=13k+b96=19k+b，解得 k=8b=−56
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x−56．
（3）由题意A（0，20），B（6，48），
同理线段OB所在直线的函数解析式为y＝8x，
线段AN所在直线的函数解析式为y＝4x+20，
线段BM所在直线的函数解析式为y＝48，
当0≤t≤6时，由题意得|4x+20−8x|＝12，
解得x＝2或x＝8（舍去），
当6＜t≤13时，由题意得|4x+20−48|＝12，
解得x＝10或x＝4（舍去），
当13＜t≤19时，由题意得|8x−56−4x−20|＝12，
解得x＝16或x＝22（舍去），
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
内蒙古
25．【2024·兴安盟、呼伦贝尔市】某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
解：（1）由题意得18a+6b=36630a+15b=705，解得a=14b=19，
∴a＝14，b＝19.
（2）当50≤x≤80时，y＝（22−14）x+（25−19）（150−x）＝2x+900，
∵2＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y取最大值，为2×80+900＝1060（元）.
当80＜x≤120时，y＝（22−14）×80+（22−14−5）（x−80）+（25−19）（150−x）＝−3x+1300，
∵−3＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y有极大值，为−3×80+1300＝1060（元）.
综上所述，当购进价水果80千克，乙水果70千克时，利润最大，为1060元．
23．【2024·通辽23题】某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案．
解：（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，
根据题意得：2x+y=240x+3y=395，
解得：x=65y=110．
答：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元；
（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50−m）台三明治机，
根据题意，得50−m≥12m，
解得m≤1003．
设学校采购这两种机器所需总费用为w元，则w＝65m+110（50−m），
即w＝−45m+5500，
∵−45＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m为正整数，
∴当m＝33时，w取得最小值，此时50−m＝50−33＝17，
∴最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机．
22．【2024·赤峰22题】一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
解：（1）由题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，
则60x=90x+3，∴x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
∴x+3＝9．
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米．
（2）设甲队工作时间为m天，则乙队的工作时间为（15−m）天，15天的工期，两队能修复公路w千米，
由题意得，w＝6m+9（15−m）＝−3m+135．
又m≥2（15−m），∴m≥10．
又−3＜0，∴w随x的增大而减小．
∴当m＝10时，w有最大值，最大值为w＝−3×10+135＝105．
答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．
尾长（cm）
6
8
10
体长y（cm）
45.5
60.5
75.5
张华离开家的时间/min
1
4
13
30
张华离家的距离/km

0.6


张华离开家的时间/min
1
4
13
30
张华离家的距离/km
0.15
0.6
0.6
1.5
以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm
16.5
19.8
23.1
26.4
29.7
凳面的宽度y/mm
115.5
132
148.5
165
181.5
种类
进价
标价
A
90
120
B
50
60
价格/类别
短款
长款
进货价（元/件）
80
90
销售价（元/件）
100
120
价格
A
B
进价（元/件）
94
146
售价（元/件）
120
188
脚长x（cm）
…
23
24
25
26
27
28
…
身高y（cm）
…
156
163
170
177
184
191
…
成本（单位：元/个）
销售价格（单位：元/个）
A型号
35
a
B型号
42
b
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
22
乙
b
25