2024年中考数学真题分类汇编：知识点16 反比例函数图象、性质及其应用2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点16 反比例函数图象、性质及其应用2024（解析版），共42页。试卷主要包含了【2024·天津8题】若点A，【2024·滨州】点M，故选A，【2024·浙江A卷9题等内容，欢迎下载使用。
8．【2024·天津8题】若点A（x1，−1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数y=5x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x2＜x1D．x2＜x1＜x3
【答案】B【解析】∵k＝5＞0，∴反比例函数y=5x的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点A（x1，−1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数y=5x的图象上，∴点A（x1，−1）分布在第三象限，B（x2，1），C（x3，5）分布在第一象限，且1＜5，∴x1＜0，x2＞x3＞0，∴x1＜x3＜x2，故选B．
重庆
3．【2024·重庆B卷】反比例函数y=−10x的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，10）B．（−2，5）C．（2，5）D．（2，8）
【答案】B
3．【2024·重庆A卷】已知点（−3，2）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．−3B．3C．−6D．6
【答案】C
安徽省
6．【2024·安徽6题】已知反比例函数y=kx（k≠0）与一次函数y＝2−x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A．−3B．−1C．1D．3
【答案】A
河北省
7．【2024·河北7题】节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
吉林省
8．【2024·长春】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC=5，则点B的坐标是（ ）
A．（0，5）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，25）
【答案】B【解析】由题意，∵点A（4，2）在函数y=kx上，∴k＝4×2＝8．∴反比例函数为y=8x．设直线OA为y＝kx，∴4k＝2．∴k=12．∴直线OA为y=12x．又设向上平移m个单位到直线BC，∴B（0，m），直线BC为y=12x+m．再设（a，8a）（a＞0），∴8a=12a+m．∴8a−m=12a．如图，作CH⊥y轴于H，∴CH＝a，BH=8a−m=12a，BH2+CH2＝BC2．∴14a2+a2＝5．∴a＝2．∴4−m＝1．∴m＝3．∴B（0，3）．故选B．
山东省
7. 【2024·济宁】已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】∵，∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵，∴，∴，故选C．
1．【2024·滨州】点M（x1，y1）和点N（x2，y2）在反比例函数y=k2−2k+3x(k为常数）的图象上，若x1＜0＜x2，则y1，y2，0的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜0B．y1＞y2＞0C．y1＜0＜y2D．y1＞0＞y2
【答案】C【解析】反比例函数y=k2−2k+3x=(k−1)2+2x中，（k−1）2+2＞0，反比例函数图象分布在第一、三象限，∵x1＜0＜x2，∴点M在第三象限的图象上，点N在第一象限的图象上，∴y1＜0＜y2，故选C．
江苏省
1．【2024·苏州】如图，点A为反比例函数y=−1x（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y=4x（x＞0）的图象交于点B，则AOBO的值为（ ）
A．12B．14C．33D．13
【答案】A【解析】作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H，∵点A在函数y=−1x图象上，点B在反比例函数y=4x图象上，∴S△AGO=12，S△BOH＝2，∵∠AOB＝90°，∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，∴△AGO∽△OHB，∴S△AGOS△OHB=(AOOB)2=122，∴AOBO=12．故选A．
四川省
10．【2024·宜宾】如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANAB的值为（ ）
A．13B．14C．15D．25
【答案】B【解析】作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，设A(a，ka)，B(b，kb)，由BC中点为D，AB＝AC，在等腰三角形ABC中，∴BD＝DC＝a−b，∴C(2a−b，kb)，∵AC的中点为M，∴M(3a−b2，ka+kb2)，即(3a−b2，k(a+b)2ab)，由M在反比例函数上得M(3a−b2，k3a−b2)，∴k(a+b)2ab=k3a−b2，解得：b＝−3a，由题可知，AD∥NE，∴ANAB=DEBD=aa−b=aa+3a=14，故选B．
浙江省
9．【2024·浙江A卷9题（回忆版）】反比例函数y=4x的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当t＜−4时，y2＜y1＜0B．当−4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．当−4＜t＜0时，0＜y1＜y2D．当t＞0时，0＜y1＜y2
【答案】A【解析】∵反比例函数y=4x中，k＝4＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，A、当t＜−4时，t+4＜0，∵t＜t+4，∴y2＜y1＜0，正确，符合题意；B、当−4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限，∴y1＜0，y2＞0，∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；C、由B知，当−4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；D、当t＞0时，t+4＞0，∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限，∵t＜t+4，∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意．故选A．
黑龙江省
8．【2024·牡丹江】矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=kx的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（ ）
A．25B．35C．45D．85
【答案】D【解析】过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，∴△OME∽△OCA，∴OMOC=EMAC=OEOA，设E(a，ka)，∵OE＝2AE，∴OMOC=EMAC=23，∴OC=32a，AC=32⋅ka，∴S矩形OBAC=S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF=32a⋅32⋅ka，即k2+k2+2=32a⋅32⋅ka，解得k=85.故选D．
8．【2024·龙东地区】如图，双曲线y=12x（x＞0）经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（ ）
A．4.5B．3.5C．3D．2.5
【答案】A【解析】如图，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，连接OB，则S△AOM＝S△OBD=12|k|=12×12＝6，
∵E是OA的中点，即OE＝AE，而DE∥AM，∴DE=12AM，OD=12OM.∵S△AOM＝S△OBD＝6，即12AM•OM=12OD•BD＝6，∴AM•OD=12BD•OD，∴BD＝2AM，∴DE=12AM=14BD，∴DE=13BE.∵S△ODE=14S△AOM=14×6=32，∴S△ABE＝3S△ODE＝3×32=4.5.故选A．
广西
9．【2024·广西9题】已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数y=2x的图象上，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．0＜y1＜y2
【答案】A【解析】∵2＞0，∴反比例函数y=2x的图象在一、三象限.∵x1＜0＜x2，∴y1＜0＜y2.故选A．
内蒙古
12．【2024·通辽12题】如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=kx（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A．43B．33C．23D．3
【答案】A【解析】如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H，∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，∴∠EDO=12∠EDC=12×120°=60°，∴EDG＝30°，∴EG=12ED，GD=32EG.设正六边形ABCDEF的边长为a，则E（12a，32a），H（a，3），∵点EH都在反比例函数图象上，∴12a⋅32a=3a，解得a＝4，∴H（4，3），∴k＝43．故选A．
新疆
9．【2024·新疆生产建设兵团】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y=2x交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y=2x的图象上任取点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD=12．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C【解析】如图，作BE⊥x轴，垂足为E，①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确；②∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，在△OBE和△OAC中，∠EOB=∠COA∠OEB=∠OCAOA=OB，∴△OBE≌△OAC（AAS），∴OE＝OC，∵EB∥y轴，∴△OCD∽△ECB，∵OE＝OC，∴OCCE=CDCB=12，∴D是CB的中点，∴OD是△BCE的中位线，故选项正确；③在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项错误；④S△BOD=12S△BOC=12S△AOC=12×1=12，故S△BOD=12正确；其中正确结论的是①②④，共3个．故选C．
二、填空题
北京
12．【2024·北京12题】在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点（3，y1）和（−3，y2），则y1+y2的值是 ．
【答案】0【解析】∵函数y=kx(k≠0)的图象经过点（3，y1）和（−3，y2），∴y1=k3，y2=−k3，∴y1+y2＝0．
故答案为：0．
山西省
13．【2024·山西】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝ m/s．
【答案】4【解析】设反比例函数解析式为v=km，∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；
∴k＝60×6＝360，∴反比例函数解析式为v=360m，当m＝90kg时，v=36090=4（m/s），答：当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝4m/s．故答案为：4．
陕西省
12．【2024·陕西】已知点A（−2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y=−5x的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】＜【解析】∵点A（−2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y=−5x的图象上，∴y1=52，y2=−5m，
∵0＜m＜1，∴y2＜−5，∴y1+y2＜52−5=−52＜0，故答案为：＜．
山东省
15．【2024·威海】如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2=kx（k≠0）交于点A（−1，m），B（2，−1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ．
【答案】−1≤x＜0或x≥2
湖南省
16．【2024·湖南16题】在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f=kl（k为常数，k≠0）．若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ．
【答案】180【解析】当l＝0.9，f＝200时，200=k0.9，∴k＝180．故答案为180．
江苏省
2．【2024·扬州】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 ．
【答案】23【解析】设点B坐标为（m，km），∵A（1，0），∴AC＝m−1，由对称可知：AD＝m−1，∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°，作DG⊥x轴，垂足为G，∴AG=m−12，DG=(m−12)×3，∴D（m−12+1，(m−1)32），
∵点D在反比例函数图象上，∴（m−12+1）•(m−1)32=k，解得k＝23．故答案为23．
四川省
15．【2024·广元】已知y=3x与y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=kx（x＞0）上点C处，则B点坐标为 ．
【答案】（0，4）【解析】由题意，∵A在y=3x上，∴m＝23．∴A（2，23）．又A在反比例函数y=kx上，∴k＝2×23=43．∴反比例函数为y=43x．由翻折的性质，BC⊥OA，∴可设BC为y=−33x+b，∴B为（0，b）．设直线BC与直线OA的交点为P，∴y=−33x+by=3x．∴P（34b，34b）．又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），∴C（32b，12b）．又C在反比例函数y=43x上，∴32b×12b＝43．∴b＝4或b＝−4（舍去）．∴B（0，4）．故答案为：（0，4）．
12．【2024·遂宁】反比例函数y=k−1x的图象在第一、三象限，则点（k，−3）在第 象限．
【答案】四【解析】因为反比例函数y=k−1x的图象在第一、三象限，所以k−1＞0，解得k＞1，所以点（k，−3）在第四象限．
福建省
15．【2024·福建15题】如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 ．
【答案】（2，1） 【解析】根据圆和反比例函数都是中心对称图形，点A与B关于直线y＝x对称，
设直线AB的解析式为y＝−x+b，将点A（1，2）坐标代入得，2＝−1+b，解得b＝3，∴直线AB解析式为y＝−x+3，∵点A（1，2）在反比例函数图象上，∴反比例函数解析式为y=2x，联立方程组y=2xy=−x+3，解得x=1y=2，x=2y=1．∴B（2，1）．故答案为：（2，1）．
广东省
16．【2024·广州】如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y=kx（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y=kx（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③AE的最小值是2；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④【解析】①∵A（1，0），C（0，2），∴B（1，2），∵矩形OABC的顶点B在函数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝2，故①正确；②∵点B、点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，∴S△AOB＝S△AOD=12丨k丨，∴S△OBM＝S梯形AMDA′，∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正确；③随着线段AB向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以AE的最小值逐渐趋向于OA的长度，故③错误；④向右平移的过程中角B′BD与角BB′O变化相同，这两个角刚好是矩形BB′ND的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．故正确的结论有①②④．故答案为①②④．
12．【2024·深圳12题（回忆版）】如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC=43，且点A落在反比例函数y=3x上，点B落在反比例函数y=kx(k≠0)上，则k＝ ．
【答案】8【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，∵tan∠AOC=43，∴设AD＝4x，则OD＝3x，∵点A落在反比例函数y=3x上，∴4x•3x＝3，解得x＝±12（负值舍去），∴3x=32，4x＝2，∴A（32，2），∴OA=OD2+AD2=(32)2+22=52，∵四边形AOCB为菱形，∴AB＝OA，∴B（32+52，2），即（4，2），∵点B落在反比例函数y=kx(k≠0)上，∴k＝4×2＝8，故答案为8．
云南省
1．【2024·云南】已知点P（2，n）在反比例函数y=10x的图象上，则n＝ ．
【答案】5
黑龙江省
19．【2024·绥化】如图，已知点A（−7，0），B（x，10），C（−17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝ ．
【答案】−15【解析】如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，∵点A（−7，0），B（x，10），C（−17，y），∴BE＝10，OF＝17，OA＝7，∴EF＝BC＝OA＝7，∴OE＝17+7＝24，∵BE∥DG，∴△ODG∽△OBE，
∵OD：OB＝1：4，∴OGOE=DGBE=14，∴DG10=14，OG24=14，∴DG=52，OG＝6，∴D（−52，6），∵点D在反比例函数图象上，∴k=−52×6=−15．故答案为：−15．
15．【2024·齐齐哈尔】如图，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（−1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为 ．
【答案】−6【解析】如图，延长AB交y轴于点D，∵D（−1，3），S▱ABCO＝3，∴OC•OD＝3OC＝3，
∵ABCO是平行四边形，∴AB＝OC＝1，∴AD＝2，∴A（−2，3），∵点A在反比例函数图象上，∴k＝−6．故答案为：−6．
内蒙古
17．【2024·兴安盟、呼伦贝尔市】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 ．
【答案】12【解析】过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图所示.∵点A（5，0），B（2，6），BC∥x轴，∠COM＝90°，∴四边形OMBC为矩形，∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，∴AM＝OA−OM＝5−2＝3.∵BD＝2AD，
∴AD：AB＝1：3.∵BM⊥x轴，DN⊥x轴，∴BM∥DN，∴△ADN∽△ABM，∴DN：BM＝AN：AM＝AD：AB，即DN：6＝AN：3＝1：3，∴DN＝2，AN＝1，∴ON＝OA−AN＝5−1＝4，∴点D的坐标为（4，2）.∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，∴k＝8.根据反比例函数比例系数的几何意义得S△OCE=12×8＝4，∵S梯形OABC=12（BC+OA）•OC=12×（2+5）×6＝21，S△AOD=12OA•DN=12×5×2＝5，∴S四边形ODBE＝S梯形OABC−S△OCE−S△AOD＝21−4−5＝12．
15．【2024·包头】若反比例函数y1=2x，y2=−3x，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ ．
【答案】12【解析】∵反比例函数y1=2x，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，∴y随x增大而减小，当x＝1时，函数最大值a＝2.∵反比例函数y2=−3x，当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，∴y随x增大而增大，当x＝3时，函数最大值b＝−1，∴ab＝2−1=12．故答案为12．
三、解答题
上海
21．【2024·上海】在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）上有一点A（−3，m），且与直线y＝−2x+4交于另一点B（n，6）．
（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝−2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．
解：（1）点B（n，6）在直线y＝−2x+4图象上，
∴−2n+4＝6，解得n＝−1，
∴B（−1，6）.
∵B（−1，6）在反比例函数图象上，
∴k＝−6，∴反比例函数解析式为y=−6x.
∵点A（−3，m）在反比例函数图象上，
∴m=−6−3=2．
∴m＝2．
（2）在函数y＝−2x+4中，当y＝2时，x＝1，
∴C（1，2），∴OC=5，
∴sin∠OCA=25=255．
重庆
23．【2024·重庆B卷】如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
解：（1）∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，
∴APAB=PQBC，∴x6=y18，∴y1=43x（0＜x≤6）.
∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，
∴△ABC的周长：△APQ的周长＝AB：AP，
∴y2=6x（0＜x≤6）.
（2）平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象如图所示；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小.
（3）由函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
23．【2024·重庆A卷】如图1，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，AP＝x，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
解：（1）∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，
∴APAB=PQBC，C△ABCC△APQ=ABAP，
∴x6=y18，y2=6x，∴y1=43x，
∵点P为AB上一点，
∴y1=43x（0≤x≤6），y2=6x（0＜x≤6）.
（2）图象如图所示：
y1=43x的图象性质：在0≤x≤6，y随x的增大而增大，
y2=6x的图象性质：在0＜x≤6，y随x的增大而减小；
（3）∵y1＞y2，∴43x＞6x，∴x2＞92，
∴x＜−322（舍去），x＞322，
∴2.6＜x≤6．
河南省
18．【2024·河南】如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点A．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 ．
解：（1）∵反比例函数 y=kx(x＞0) 的图象经过点A（3，2），
代入得2=k3，∴k＝6，
∴这个反比例函数的表达式为 y=6x．
（2）如图，
（3）由图知E（6，4），令6x=4得，x=32，
∵6−32=92，
∴矩形ABCD向左平移92个单位时，点E落在反比例函数图象上．
江西省
1．【2024·江西16题】如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线y=kx(k＞0，x＞0)经过点B，过点A（4，0）作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求BC所在直线的解析式．
解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A坐标为（4，0），∴OA＝4．
又∵△OAB是等腰直角三角形，
∴BM＝OM＝AM=12OA=2，
∴点B的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）．
（2）将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝2×2＝4，∴反比例函数解析式为y=4x．
∵AC⊥x轴，∴xC＝xA＝4．
将x＝4代入反比例函数解析式得，y＝1，
∴点C的坐标为（4，1）．
令直线BC的函数解析式为y＝mx+n，
将点B和点C的坐标代入函数解析式得，
2m+n=24m+n=1，解得m=−12n=3，
所以直线BC的函数解析式为y=−12x+3．
山东省
21．【2024·泰安】直线y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2=−8x的图象相交于点A（−2，m），B（n，−1），与y轴交于点C．
（1）求直线y1的表达式；
（2）若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
（3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
解：（1）分别将点A（−2，m）、点B（n，−1）代入 y2=−8x中，
即−2m＝−8，−n＝−8，解得m＝4，n＝8，
∴A点坐标为（−2，4），B点坐标为（8，−1），
把A点坐标（−2，4），B点坐标（8，−1）分别代入 y1＝kx+b，
即−2k+b=4，8k+b=−1.k=−12b=3.
∴一次函数表达式为 y1=−12x+3．
（2）由图象可知，当y1＞y2时，x＜−2或0＜x＜8．
（3）把y＝3时代入y2=−8x中，得 x=−83，
∴D点坐标为 (−83，3)，CD=83，
∴S△ACD=12×83×(4−3)=43．
1．【2024·烟台】如图，正比例函数y＝x与反比例函数y=kx的图象交于点A（6，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及△BCG的面积．
解：（1）∵点A（6，a）在直线y＝x的图象上，∴A（6，6）.
∵点A（6，6）在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y=6x.
（2）正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x−n．
如图，作BG⊥y轴，CH⊥y轴，
∴BG∥CH，∴△GBE∽△HCE.
∵BE：CE＝3：2，∴BECE=BGCH=32，
设点B（3a，63a），则C（−2a，6−2a），
∵点BC在直线y＝x+n的图象上，
3a−n=63a−2a−n=−62a，解得a=1n=1，
∴直线BC解析式为y＝x+1，
∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，
∴E（0，−1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（−2，−3），
∴GD＝4，∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG=12×4×2+12×4×3=10．
2．【2024·枣庄】列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y=kx部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y=kx的图象上方时，直接写出x的取值范围．
解：（1）当x=−72时，2x+b＝a，即−7+b＝a，
当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1，
∴a−b=−72a+b=1，解得：a=−2b=5，
∴一次函数为y＝2x+5，
当x＝1时，y＝7.
∵当x＝1时，y=kx=7，即k＝7，
∴反比例函数为：y=7x.
当x=−72时，y=7÷(−72)=−2，
当y＝1时，x＝a＝−2，
当x＝−2时，y=−72，
补全表格如下：
故答案为：7；−2；−72；
（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为(−72，−2)，（1，7），
∴当y＝2x+b的图象在y=kx的图象上方时，x的取值范围为−72＜x＜0或x＞1.
湖北省
20．【2024·湖北】如图，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（−3，0），与反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象在第一象限的部分交于点B（n，4）．
（1）求m，n，k的值；
（2）若C是反比例函数y=kx的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．
解：（1）把点A（−3，0）坐标代入y＝x+m得：0＝−3+m，
解得m＝3，
∴直线的解析式为y＝x+3，
把点B（n，4）坐标代入直线解析式得4＝n+3，解得n＝1，
把点B（1，4）坐标代入反比例函数解析式得4=k1，解得k＝4，
∴反比例函数解析式为y=4x.
（2）∵△AOC的面积小于△AOB的面积，
∴yC＜yB，即yC＜4.
∵点C在反比例函数图象上，且在第一象限，
∴4a＜4，∴a＞1．
江苏省
1．【2024·连云港】如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数y=6x的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）利用图象直接写出kx+1＜6x时x的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数y=6x(x＞0)的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数y=6x(x＞0)的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
解：（1）∵点A在 y=6x 的图象上，
∴当 x＝2时，y=62=3．∴A（2，3），
∴将点A（2，3）代入y＝kx+1，得k＝1．
（2）由（1）可知一次函数解析式为y＝x+1，
联立方程组y=6xy=x+1，解得x=2y=3，x=−3y=−2，
A（2，3），B（−3，−2），
根据图像可知不等式的解集为x＜−3或0＜x＜2．
（3）由题意可知 C（0，1），CE＝4．
如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，
∵CE＝4，∠CEG＝45°，∴CG=22．
又∵A（2，3），C（0，1），∴AC=22．
由平移性质可知，阴影部分面积就是▱ACFD的面积，即 22×22=8．
2．【2024·苏州】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（−2，0），C（6，0），反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与AB交于点D（m，4），与BC交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
解：（1）∵A（−2，0），C（6，0），∴AC＝8．
又∵AC＝BC，∴BC＝8．∠ACB＝90°，
∴点B（6，8）．
设直线AB的函数表达式为 y＝ax+b，将 A（−2，0），B（6，8）代入 y＝ax+b得：
−2a+b=06a+b=8，解得a=1b=2，
∴直线AB的函数表达式为 y＝x+2．
∴将点D（m，4）代入y＝x+2，得 m＝2．
∴D（2，4），
将D（2，4）代入反比例函数解析式y=kx得：
4=k2，解得k＝8．
（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．
∵AC＝BC，∠BCA＝90°，∴∠BAC＝45°，
∵PN∥x轴，
∴∠BLN＝∠BAC＝45°，∠NQM＝90°，
∵AB∥MP，
∴∠MPL＝∠BLP＝45°，∠QMP＝∠QPM＝45°，
∴QM＝QP，
设点P的坐标为（t，8t），则PQ＝t，PN＝6−t，MQ＝PQ＝t，
∴S△PMN=12×PN×MQ=12⋅(6−t)⋅t=−12(t−3)2+92，
∴当t＝3时，S△PMN 有最大值 92，此时P（3，83）．
3．【2024·盐城22题】小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
解：（1）根据图象信息，点A的坐标为（−3，2），
∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y=kx，
∴k＝−6，
∴反比例函数解析式为y=−6x.
（2）直线OA的解析式为y=−23x，
由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y=−23x+3，
联立方程组y=−23x+3y=−6x，解得x=−32y=4，x=6y=−1（舍去），
∴C（−32，4）．
四川省
20．【2024·资阳】如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=4x的图象相交于A（m，4），B（4，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点C（t，t）在一次函数的图象上，直线CO与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线CD在图中的一个特征．
解：（1）∵A（m，4），B（4，n）两点在反比例函数y=4x图象上，
∴m＝1，n＝1，∴A（1，4），B（4，1）.
∵A（1，4），B（4，1）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
k+b=44k+b=1，解得k=−1b=5，
∴一次函数解析式为y＝−x+5.
（2）由题意可知，直线CD的解析式为y＝x，
联立方程组得y=xy=4x，解得x=2y=2，x=−2y=−2，
∴点D（−2，−2），
直线CD与直线AB互相垂直．
22．【2024·雅安】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于M（12，4），N（n，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
解：（1）由题意，∵M（12，4）在反比例函数y=kx上，
∴k=12×4＝2．∴反比例函数表达式为y=2x．
又N（n，1）在反比例函数y=2x上，
∴n＝2．∴N（2，1）．
设一次函数表达式为y＝ax+b，
∴12a+b=42a+b=1．
解得a=−2，b=5.
∴一次函数的表达式为y＝−2x+5．
（2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为y＝−2x+5，
∴A（52，0），B（0，5），∴OA=52，OB＝5，
∴S△OMN＝S△AOB−S△AON−S△BOM=12×AO×BO−12×AO•yN−12×BO×xM=12×52×5−12×52×1−12×5×12 =154．
（3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长．
∵M（12，4）与M'关于y轴对称，∴M'为（−12，4）．
又N（2，1），∴直线M′N为y=−65x+175．
令x＝0，则y=175，∴P（0，175）．
19．【2024·甘孜州】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，3），B（m，−2）两点在反比例函数y=kx的图象上．
（1）求k与m的值；
（2）连接BO，并延长交反比例函数y=kx的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
解：（1）∵A（2，3），B（m，−2）两点在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝2×3＝m×（−2），∴k＝6，m＝−3．
（2）由（1）可知点B（−3，−2），根据反比例函数图象的中心对称性质可得点C（3，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
2k+b=33k+b=2，解得k=−1b=5，
∴直线AC的解析式为：y＝−x+5．
22．【2024·凉山州】如图，正比例函数y1=12x与反比例函数y2=kx（x＞0）的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线y1=12x向上平移3个单位长度与y2=kx（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积．
解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上，
∴2=12x，解得x＝4，∴A（4，2），
∵A（4，2）在反比例函数图象上，
∴k＝8，∴反比例函数解析式为y2=8x．
（2）把直线y1=12x向上平移3个单位得到解析式为y=12x+3，
直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD，
联立方程组y=8xy=12x+3，解得x=2y=4，x=−8y=−1（舍去），
∴B（2，4），
∴S△AOB＝S△ADO=12×3×4=6．
22．【2024·乐山】如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C（0，1）．
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．
解：（1）∵点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y=3x图象上，
∴m＝3，n＝3．
又∵一次函数y＝kx+b过点A（1，3），C（0，1），
∴k+b=3b=1，解得k=2，b=1.，
∴一次函数表达式为y＝2x+1．
（2）如图，连结BC．过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，垂足为点E．
∵C（0，1），B（3，1），
∴BC∥x轴，BC＝3．
∵点A（1，3），B（3，1），AD⊥BC，
∴点D（1，1），AD＝2，DB＝2．
在Rt△ADB中，AB=AD2+BD2=22+22=22，
又∵S△ABC=12⋅BC⋅AD=12⋅AB⋅CE，
即12×3×2=12×22×CE，
∴CE=322，即点C到线段AB的距离为322．
24．【2024·眉山】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF=12AB时，求a的值．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），
∴m1=6，∴m＝6，∴反比例函数的表达式为y=6x，
∴2=6n，∴n＝3，∴B（3，2），
∴k+b=63k+b=2，解得k=−2b=8，
∴一次函数的表达式为y＝−2x+8.
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，
则此时，△PAB的周长最小，
∵点A（1，6），∴E（−1，6），
设直线BE的解析式为y＝mx+c，
∴−m+c=63m+c=2，解得m=−1c=5，
∴直线BE的解析式为y＝−x+5，
当x＝0时，y＝5，∴点P的坐标为（0，5）.
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线EF的解析式为y＝−2x+8−a，∴E（8−a2，0）．F（0，8−a），
∵EF=12AB，
∴(8−a2)2+(8−a)2=12×(1−3)2+(6−2)2，
解得a＝6或a＝10．
23．【2024·广元】如图，已知反比例函数y1=kx和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（−3，a），B（a+32，−2）两点，O为坐标原点，连接OA，OB．
（1）求y1=kx与y2＝mx+n的解析式；
（2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
解：（1）∵反比例函数y1=kx和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（−3，a），B（a+32，−2）两点
∴k=−3a=−2(a+32)，∴a＝3，
∴点A（−3，3），B（ 92，−2)，
∴k＝−3×3＝−9，∴y1=−9x，
把A（−3，3），B 92，−2）代入y＝mx+n得 −3m+n=392m+n=−2，
解得m=−23n=1，
∴y2=−23x+1.
（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为−3＜x＜0或 x＞92；
（3）若AB与y轴相交于点C，∴C（0，1），
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC=12OC(xB−xA)=12×1×(92+3) =154．
20．【2024·内江】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（−2，3），点B的坐标为（3，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式ax+b＜kx的解集．
解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（−2，3），点B的坐标为（3，n），
∴k＝−2×3＝3×n，∴k＝−6，n＝−2，
∴反比例函数解析式为y=−6x.
A（−2，3），B（3，−2）在一次函数y＝ax+b的图象上，
−2a+b=33a+b=−2，解得a=−1b=1，
一次函数解析式为y＝−x+1．
（2）由图象可知，关于x的不等式ax+b＜kx的解集为−2＜x＜0或x＞3．
24．【2024·自贡】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（−6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）P是直线x＝−2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
（3）点Q在反比例函数y=mx位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标．
解：（1）把A（−6，1）代入y=mx得：1=m−6，
∴m＝−6，∴反比例函数的解析式为y=−6x.
把B（1，n）代入y=−6x得：n＝−6，
∴B（1，−6），
把A（−6，1），B（1，−6）代入y＝kx+b得：
−6k+b=1k+b=−6，解得k=−1b=−5，
∴一次函数的解析式为y＝−x−5；
（2）设直线x＝−2交直线AB于H，如图：
在y＝−x−5中，令x＝−2得y＝−3，∴N（−2，−3），
∵△PAB的面积为21，
∴12PH•|xB−xA|＝21，即12PH×（1+6）＝21，
∴PH＝6，
∵−3+6＝3，−3−6＝−9，
∴P的坐标为（−2，3）或（−2，−9）.
（3）过Q作QM∥x轴交直线AB于M，如图：
设Q（t，−6t），在y＝−x−5中，令y=−6t得x=6t−5，
∴M（6t−5，−6t），∴MQ＝|6t−5−t|.
∵△QAB的面积为21，∴12MQ•|yA−yB|＝21，
即12×|6t−5−t|×7＝21，∴6t−5−t＝6或6t−5−t＝−6，
解得t=−11±1452或t＝−2或t＝3，
经检验，t=−11+1452，t＝3符合题意，
∴Q的坐标为（−11+1452，−11+1452）或（3，−2）．
23．【2024·宜宾】如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，−1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＜kx的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝−n，
解得：k＝4，n＝−4，
即反比例函数的表达式为：y=4x，点B（−4，−1）；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
4=a+b−1=−4a+b，解得：a=1b=3，
则一次函数表达式为：y＝x+3.
（2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜−4时，ax+b＜kx成立.
（3）设点C的坐标为：（m，4m），点D（x，0），
当AB为对角线时，由中点坐标公式得：4−1=4m，
解得：m=43，则点C（43，3）；
当AC或AD为对角线时，
同理可得：4+4m=−1或4=4m−1，解得：m＝±45，
则点C（−45，−5）或（45，5）.
综上，点C的坐标为：（43，3）或（−45，−5）或（45，5）．
23．【2024·遂宁】如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，−1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，m＝1×3＝3，
所以反比例函数解析式为y=3x．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，n＝−3，
所以点B的坐标为（−3，−1）．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
k+b=3−3k+b=−1，解得k=1b=2，
所以一次函数解析式为y＝x+2．
（2）由函数图象可知，
当−3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2，x的取值范围是：−3＜x＜0或x＞1．
（3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将y＝0代入y＝x+2得，x＝−2，
所以点M的坐标为（−2，0），
所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM=12×2×1+12×2×3=4．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以BO＝CO，所以S△ABC＝2S△AOB＝8．
21．【2024·南充】如图，直线y＝kx+b经过A（0，−2），B（−1，0）两点，与双曲线y=mx（x＜0）交于点C（a，2）．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标．
解：（1）∵点A（0，−2），B（−1，0）在直线y＝kx+b上，
∴b=−2−k+b=0，解得k=−2b=−2，
∴直线解析式为y＝−2x−2.
∵点C（a，2）在直线y＝−2x−2上，
∴−2a−2＝2，∴a＝−2，即点C为（−2，2）；
∵双曲线y=mx 过点C（−2，2），
∴m＝−4，∴双曲线解析式为：y=−4x(x＜0).
（2）∵CD⊥x轴，C（−2，2），∴D（−2，0），CD＝2，
∵B（−1，0），∴BD＝1.
∵A（0，−2），∴OA＝2.
若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，OP＝1或4，
∵点P在x轴上，
∴点P坐标为（−4，0）或（−1，0）或（1，0）或（4，0）．
20．【2024·广安】如图，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象交于A（2，4），B（n，−2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线AB与x轴交于点C，点P（m，0）是x轴上的点，若△PAC的面积大于12，请直接写出m的取值范围．
解：（1）把点A（2，4）代入 y=kx，得 k＝8，
∴反比例函数的解析式为 y=8x，
把点B（n，−2）代入 y=8x ，得n＝−4，
∵点A（2，4），B（−4，−2）在一次函数 y＝ax+b 的图象上，
∴4=2a+b−2=−4a+b解得a=1b=2，
∴一次函数的解析式为 y＝x+2．
（2）在函数y＝x+2中，当y＝0时，x＝−2，
∴C（−2，0），
设点P坐标为（m，0），则PC＝丨m+2丨，
∵S△PAC=12×丨m+2丨×4＞12，
∴丨m+2丨＞6，解得m＞4或m＜−8．
21．【2024·达州】如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，−2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标．
解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝−2a，
解得：a＝−3，m＝6，
即反比例函数的表达式为：y=6x，点B（−3，−2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
3=2k+b−2=−3k+b，解得：k=1b=1，
则一次函数的表达式为：y＝x+1.
（2）设点C（x，0），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x−2）2+9，BC2＝（x+3）2+4，
∵∠BCA＝90°，
则AB2＝AC2+BC2，
即50＝（x−2）2+9+（x+3）2+4，
解得：x＝3或−4（舍去），
即点C（3，0）．
1．【2024·德阳】如图，一次函数y＝−2x+2与反比例函数y=kx（x＜0）的图象交于点A（−1，m）．（1）求m的值和反比例函数y=kx的解析式；
（2）将直线y＝−2x+2向下平移h个单位长度（h＞0）后得直线y＝ax+b，若直线y＝ax+b与反比例函数y=kx（x＜0）的图象的交点为B（n，2），求h的值，并结合图象求不等式kx＜ax+b的解集．
解：（1）∵点A（−1，m）在一次函数y＝−2x+2图象上，
∴m＝−2×（−1）+2＝4，∴A（−1，4）.
∵点A在反比例函数y=kx图象上，
∴k＝−4，∴反比例函数解析式为y=−4x.
（2）∵点为B（n，2）在反比例函数y=−4x的图象上，
∴2=−4n，解得n＝−2，∴B（−2，2）.
将直线y＝−2x+2向下平移h个单位长度得到解析式为y＝−2x+2−h，
∵点B（−2，2）在直线y＝−2x+2−h图象上，
∴2＝−2×（−2）+2−h，解得h＝4，
根据函数图象及交点坐标可知，不等式kx＜ax+b的解集为x＜−2．
2．【2024·泸州】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与x轴相交于点A（−2，0），与反比例函数y=ax的图象相交于点B（2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线x＝m（m＞2）与反比例函数y=ax（x＞0）和y=−2x（x＞0）的图象分别交于点C，D，且S△OBC＝2S△OCD，求点C的坐标．
解：（1）将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得，
−2k+b=02k+b=3，解得k=34b=32，
所以一次函数的解析式为y=34x+32．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，a＝2×3＝6，
所以反比例函数的解析式为y=6x．
（2）将x＝m分别代入y=6x和y=−2x得，
点C的坐标为（m，6m），点D的坐标为（m，−2m），
所以S△OCD=12[6m−(−2m)]⋅m=4．
又因为S△OBC＝2S△OCD，所以S△OBC＝8．
令直线CD与x轴的交点为M，
过点B作x轴的垂线，垂足为N，
因为S△BON+S梯形BNMC＝S△BOC+S△COM，且S△BON＝S△COM，
所以S梯形BNMC＝S△BOC＝8，
所以(6m+3)×(m−2)2=8，解得m1=6，m2=−23．
因为m＞2，所以m＝6，则点C的坐标为（6，1）．
3．【2024·成都】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝−x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y=kx（k＜0）图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值．
解：（1）把A（2，a）代入y＝2x得：a＝2×2＝4，
∴A（2，4）.
把A（2，4）代入y＝−x+m得：4＝−2+m，
∴m＝6；∴直线y＝−x+m为y＝−x+6，
把B（b，0）代入y＝−x+6得：0＝−b+6，
∴b＝6，
∴a的值为4，m的值为6，b的值为6.
（2）设C（t，kt），
由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），
①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，
∴t+2=6+0kt+4=0+0，解得t=4k=−16，经检验，t＝4，k＝−16符合题意，
此时点C的坐标为（4，−4）；
②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，
∴t+6=2+0kt+0=4+0，解得t=−4k=−16，经检验，t＝−4，k＝−16符合题意，
此时点C的坐标为（−4，4）；
③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，
∴t+0=2+6kt+0=4+0，解得t=8k=32.
∵k＝32＞0，∴这种情况不符合题意.
综上所述，C的坐标为（4，−4）或（−4，4），k的值为−16；
（3）如图：
设直线AC解析式为y＝px+q，把A（2，4）代入得：4＝2p+q，
∴q＝4−2p，
∴直线AC解析式为y＝px+4−2p，
在y＝px+4−2p中，令y＝0得x=2p−4p，∴D（2p−4p，0），
∵E与点D关于y轴对称，∴E（4−2pp，0），
∵B（6，0），
∴BE＝6−4−2pp=8p−4p，BD＝6−2p−4p=4p+4p，
∵△ABD与△ABE相似，
∴E只能在B左侧，∴∠ABE＝∠DBA，
故△ABD与△ABE相似，只需BEAB=ABBD即可，即BE•BD＝AB2，
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB2＝32，∴8p−4p×4p+4p=32，解得p＝1，
经检验，p＝1满足题意，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，
∴直线AC与反比例函数y=kx（k＜0）图象只有一个交点，
∴x+2=kx只有一个解，即x2+2x−k＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即22+4k＝0，解得k＝−1，
∴k的值为−1．
贵州省
18．【2024·贵州18题】已知点（1，3）在反比例函数y=kx的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点（−3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
解：（1）将点（1，3）代入y=kx，得k＝3，∴y=3x.
（2）方法一：由图象得：b＞c＞a；
方法二：将点（−3，a），（1，b），（3，c）代入y=3x，
得a＝−1，b＝3，c＝1，∴b＞c＞a．
甘肃省
20. 【2024·兰州】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
解：（1）∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，∴，，
∴反比例函数为，一次函数的解析式为．
（2）∵，∴.
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4，
∴，，
∴，，∴.
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，∴，
∴点，∴，
∴.
25．【2024·临夏州】如图，直线y＝kx与双曲线y=−4x交于A，B两点，已知A点坐标为（a，2）．
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y=−4x在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值．
解：（1）∵点A在反比例函数图象上，
∴2=−4a，解得a＝−2.
将A（−2，2）代入y＝kx，∴k＝−1.
（2）∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE，∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP.
∵PE＝PC，
∴△CFP≌△EOP（AAS），
∴CF＝OE，OP＝PF.
∵直线y＝−x向上平移m个单位长度得到y＝−x+m，
令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m，
∴E（m，0），P（0，m），
∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m，∴C（−m，2m）.
∵双曲线y=−4x过点C，
∴−m•2m＝−4，解得m=2或−2（舍去），
∴m=2．
24．【2024·甘肃24题】如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax+b的图象，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，4）．过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax+b与y=kx（x＞0）的图象于C，D两点．
（1）求一次函数y＝ax+b和反比例函数y=kx的表达式；
（2）连接AD，求△ACD的面积．
解：（1）因为函数y＝ax+b的图象由函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度得到，
所以b＝3．
将点A坐标代入一次函数解析式得，
2a+3＝4，解得a=12，
所以一次函数解析式为y=12x+3．
将点A坐标代入反比例函数解析式得，
k＝2×4＝8，
所以反比例函数解析式为y=8x．
（2）将y＝2代入y=12x+3得，12x+3=2，
解得x＝−2，所以点C的坐标为（−2，2）．
将y＝2代入y=8x得，x＝4，
所以点D的坐标为（4，2），
所以CD＝4−（−2）＝6，
所以S△ACD=12×6×(4−2)=6．
青海省
19．【2024·青海】如图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝−x+b和反比例函数y=9x的图象相交于点A（1，m），B（n，1）．
（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式−x+b＞9x的解集．
解：（1）把点A（1，m）代入y=9x，得 m=91=9，
∴点A的坐标为（1，9）.
把点B（n，1）代入 y=9x，得 n=91=9，
∴点B的坐标为（9，1）.
把x＝1，y＝9代入y＝−x+b，
得−1+b＝9，b＝10，
∴一次函数的解析式为y＝−x+10．
（2）根据一次函数和反比例函数图象，可得：
−x+b＞9x 的解集为x＜0或1＜x＜9.
x
−72
a
1
2x+b
a
1

kx


7
x
−72
−2
1
2x+b
−2
1
7
kx
−2
−72
7