第08讲 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题（寒假预习讲义）七年级数学新北师大版（原卷版+解析版）

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第一步：学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：核心题型举一反三精准练
第二步：记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
含参数及新定义问题的整式混合运算，其核心知识可归纳为以下三点：
1.基础法则为本：熟练掌握幂的运算法则、整式乘除及乘法公式是根本。所有复杂变换均建立在此之上，必须确保运算准确无误。
2.定义与条件先行：解题的首要步骤是精确解读“新定义”的运算规则，并明确参数的所有隐含条件（如底数不为零以保证零指数、负指数幂有意义）。
3.化简与逆向分析：严格遵循运算顺序，将表达式化简为最简形式。然后利用化简结果与题目给定的最终等式进行匹配，通过对比系数、建立方程或分类讨论来确定参数的值或关系。
【题型1 幂的逆用含参数问题求字母或代数式的值】
例1．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务：
闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得．
变式1．（24-25七年级下·河南郑州·月考）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)若，，求的值；
(2)若，求的值．
变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)计算：的结果．
【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
例3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与 的积为，则的值为（ ）
A．12B．9C．6D．3
例4．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（ ）
A．1B．C．3D．
变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（ ）
A．11B．5C．1D．
变式2．（24-25七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ．
【题型3 利用单项式乘多项式求字母的值】
例5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（ ）
A．3B．2C．1D．0
例6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
变式1．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17B．C．D．-17
变式2．若对任意都成立，则 ．
【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ．
例8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ．
变式1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若的积中不含项和项．求：
(1)p、q的值；
(2)代数式的值．
变式2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项．
(1)求，的值；
(2)求代数式的值．
【题型5 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】
例9．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为．
(1)图3可以解释的等式为 ；
(2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张；
(3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由．
例10．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．

(1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）；
(2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释．
变式1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．

(1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含的代数式表示）；
(2)分别计算阴影的周长（用含的代数式表示），并说明阴影与阴影的周长差与的取值无关；
(3)当时，比较阴影面积的大小
变式2．【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；
【能力提升】
(2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【题型6 完全平方式中的字母参数问题】
例11．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ．
例12．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ．
变式1．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如果是一个完全平方式，那么的值是 ．
变式2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ．
【题型7 整式的运算中的新定义型问题】
例13．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”．
(1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由；
(2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数．
①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____；
②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值．
例14．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)求展开所得多项式中的一次项系数；
(2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值．
变式1．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)化简：；
(3)若，，判断与的大小关系，并说明理由．
变式2．定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为.
(1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值；
(2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值．
一、单选题
1．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）若多项式，则，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（ ）
A．4B．C．4或D．或2
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（ ）
A．B．C．3D．5
5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ．
7．（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么 ．
8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）定义运算：．若，其中为含的多项式，为含的多项式，写出一组符合条件的和： ．
9．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ．
10．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ．
已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·吉林松原·期中）下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程．
(1)如果，求m的值；
(2)已知的结果中不含项，求m的值．
12．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
13．（25-26八年级上·福建泉州·期中）对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：．
(1)若是一个完全平方式，求常数的值；
(2)若，且，求的值．
14．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式.规则为：将二次多项式的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式的一次项系数，二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项，二次多项式的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式．
【理解应用】：
(1)若，经过小魔方后的多项式__________．
(2)若，经过小魔方后的多项式记为，若的结果中不含一次项，求常数的值；
15．（25-26八年级上·河南周口·月考）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得．
【理解应用】
（1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________；
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值；
【能力提升】
（3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值．
16．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”．
(1)[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________．
(2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？
(3)[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值．
趣味闯关
关卡一：已知，，，求的值；
关卡二：已知，，求的值．