第08讲+实数及其简单运算（3知识点+9大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版+答案+习题

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第一步：学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：核心题型举一反三精准练
第二步：记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：无理数
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点2：实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
实数 实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点3：实数的性质及运算
1.性质：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
2.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0、乘方运算，而且正数及0)可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【题型1 无理数的概念】
例1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）在数，，，，中，其中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1．（25-26八年级上·四川资阳·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
变式2．（25-26七年级上·山东东营·月考）在，，，，，3.14，（每两个2之间1的个数逐次增加1）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型2 无理数的大小估算】
例3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
例4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）估计的值是（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
变式1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）下列整数中，与的值最接近的是（ ）
A．7B．8C．9D．10
变式2．（25-26九年级上·重庆·月考）若，则整数的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型3 实数概念理解】
例5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数D．无理数和有理数统称实数
例6．（25-26八年级上·上海宝山·月考）下列说法正确的是（ ）
A．无理数与无理数的和一定为无理数
B．一个数的算术平方根一定不比这个数大
C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应
D．实数可分为有理数和无理数
变式1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是16的一个平方根B．两个无理数的和一定是无理数
C．无限小数是无理数D．0没有算术平方根
变式2．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数D．无理数和有理数统称实数
【题型4 实数的分类】
例7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）把下列各数填入相应的集合内：
，，，0，，，，π，
①有理数集合{ …}
②无理数集合{ …}
③整数集合{ …}
例8．（2025八年级上·北京·专题练习）把下列各数分别填入相应的集合里：
，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1）
有理数集合：
无理数集合：
正实数集合：
负实数集合：
变式1．（25-26七年级上·山东临沂·期中）把下列各数填在相应的横线上．(填序号)
①；②；③；④0 ；⑤；⑥；⑦ (依次多一个0)．
(1)正分数：
(2)整数：
(3)无理数：
(4)实数：
变式2．（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）把下列各数填在相应的集合内．
，，，，，0，，，，3.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}．
【题型5 实数与数轴】
例9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积为7的正方形放在数轴上，以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为 ．
例10．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是）．刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“x”和“”，则x的值为 ．
变式1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点A表示的数是 ．
变式2．（25-26七年级上·浙江温州·期中）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点
（1）点C在刻度尺上对应的数为 ；
（2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为 ．
【题型6 实数的大小比较】
例11．（25-26八年级上·江西九江·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）．
例12．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）比较大小： 填“”“”或“”
变式1．（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
变式2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）比较大小
【题型7 实数的混合运算】
例13．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
例14．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算：
(1)
(2)
变式1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算：
(1)；
(2)．
变式2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）计算：
(1)；
(2)
【题型8 程序设计与实数运算】
例15．（25-26八年级上·四川达州·月考）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是 ．
例16．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ．
变式1．（25-26七年级上·山东济宁·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ．
变式2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序：
（1）当输入的值是时，输出的值是 ．
（2）分析发现，当实数取 时，该程序无法输出值．（写出所有的情况）
【题型9 新定义下的实数运算】
例17．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）现对实数，定义一种运算：．则的值为 ．
例18．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ．
变式1．（25-26八年级上·江西吉安·月考）定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为 ．
变式2．（25-26七年级上·全国·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
一、单选题
1．（25-26七年级上·山东东营·月考）在实数，，3.14，，中，有理数的个数是（ ）
A．5个B．2个C．3个D．4个
2．（25-26八年级上·全国·期末）数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25七年级下·全国·周测）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）比较大小： （填“”或“”或“”）．
7．（25-26七年级上·山东临沂·期中）若，是两个连续整数，且，则 ．
8．（24-25八年级上·四川成都·期中）若的整数部分是，的小数部分是，则 ．
9．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ．
10．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）对于实数a，b，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算：
(1)
(2)
12．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算：
(1)
(2)．
13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上
，，，，，，，，
有理数：__________________________________________________
无理数：__________________________________________________
14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为．
(1)实数的值为______；
(2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根．
15．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为．
(1) ；
(2)设的小数部分为a，求 的值；
(3)已知 其中x是整数， 且， 求的值．