第05讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用（2知识点+6大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版+答案

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第一步：学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：核心题型举一反三精准练
第二步：记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：平方差公式
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
知识点2：完全平方公式
完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.
即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍
（2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。
【题型1 平方差公式中项的位置变换】
例1．计算 ．
例2．计算： ．
变式1．计算：
变式2．计算：．
【题型2 平方差公式中连续相乘应用】
例3．计算的结果是 ．
例4．计算： ．
变式1．计算：．
变式2．（1）计算： ； ；
（2）利用平方差公式进行计算：
（3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ；
（4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分）
①计算：
②计算：
【题型3 乘法公式中简便运算变换】
例5．简便运算
(1)；
(2)．
例6．简便计算：
(1)
(2)
变式1．简便运算
(1)；
(2)．
变式2．用简便算法计算．
(1)；
(2)．
【题型4 乘法公式中项数的变换】
例7．计算：．
例8．计算：．
变式1．计算：．
变式2．计算：
【题型5 乘法公式中整体代换应用】
例9．已知：，，试求：
(1)的值；
(2)的值．
例10．同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题：
【基础公式】请写出完全平方公式______；
【公式变形】公式可以变形为______；
【应用】
（1）已知：求的值；
（2）已知：求的值．
变式1．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：，，是的三种不同形式的配方．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)将按三种不同的形式配方；
(2)将配方至少两种形式；
(3)已知，求的值．
变式2．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②直接写出三个代数式、、之间的等量关系______；
(2)请运用（1）中的关系式计算：若，，求的值；
(3)若，求的值．
【题型6 乘法公式中几何图形的应用】
例11．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．

例12．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．
(1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ；
(2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）；
(3)利用（2）中的结论，求的值．
变式1．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形．
(1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示）
(2)运用以上等式计算：
(3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留）
变式2．【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．
【结论探究】
图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．
（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______．
（2）若，，求的值．
【类比迁移】
（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．

一、单选题
1．（25-26八年级上·云南昭通·月考）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．B． C．D．
2．（25-26八年级上·广东广州·期中）利用乘法公式计算，下列方法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（25-26八年级上·四川内江·期中）计算得（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ．
7．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： ．
8．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：的值为 ．
9．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ．
10．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36时，直接写出阴影部分的面积为 （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
三、解答题
11．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求：
(1)；
(2)．
12．（25-26八年级上·天津·月考）计算：
(1)
(2)
(3)
13．（25-26八年级上·山东日照·月考）用乘法公式计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
14．（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题：
(1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________．
(2)请利用你得到的等式解决下面的问题：
①计算：；
②求的结果的个位数字．
15．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形．
(1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）；
【解决问题】
(2)①若，求的值；
②当时，求的值；
【拓展提升】
(3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：．