第02讲 解题技巧专题：巧用幂的运算法则（3知识点+4大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版+答案

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第一步：学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：核心题型举一反三精准练
第二步：记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
幂的运算法则解题技巧：
1.统一底数：将不同底数（如8、27）化为相同底数（2³、3³），为应用法则创造条件。
2.灵活排序：遵循运算顺序，先处理括号和乘方，再进行乘除。
3.逆向思维：见到am+n要想到拆为am·an；见到am·bm要想到合并为(ab)m。
4.整体代换：将复杂幂表达式设为新变量，简化计算过程。
5.注意易错点：严格区分“(am)n”与“am·an”；注意负指数与分数指数的互化规则（a-n=1an）。
【题型1 逆用幂的相关公式求值】
例1．（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）计算：
(1)已知求的值；
(2)已知，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用．
（1）逆用同底数幂的除法法则计算即可；
（2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可．
【详解】（1）解：∵
∴
；
（2）解：∵，
∴
．
例2．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题：
(1)已知，，求的值；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查同底数幂的除法；
（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：，，
∴，，
，
，
∴，
∴，
∴．
变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）(1)若，求a的值．
(2)已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）64
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法与除法，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法和同底数幂的除法将其转化为同底数幂，从而得到关于的方程；
（2）根据同底数幂的除法法则，可以求得的值，再将转化为，整体代入即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得．
（2），，
，
即，
，
．
变式2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示）
(2)已知，求x的值．
【答案】(1)
(2)
5
【分析】本题考查了幂的运算的逆用（同底数幂的乘除、幂的乘方），解题的关键是将所求式子转化为已知底数的幂的形式，利用幂的运算法则逆用计算．
（1） 将转化为，代入、求解；
（2） 把、16化为以2为底的幂，利用同底数幂乘法法则合并，根据指数相等列方程求．
【详解】（1）解：
（2）解：
解得．
【题型2先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】
例3．（24-25七年级下·四川达州·期中）计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)81
(2)36
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘除法逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法法则，转化成，再整体代入，即可求出．
（2）利用同底数幂的乘除法逆运算化简，然后整体代入即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
；
（2）解：∵，
∴
．
例4．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）按要求计算下面各题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘除法的性质，熟练掌握运算法则逆用是解题的关键．
（1）把都改为底数为3的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由整体代入即可．
（2）先根据幂的乘方的法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的乘除法法则求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴
变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)若，，求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则，，再代入即可；
（）把原式化为为底数的幂，再利用同底数幂的乘法，最后根据幂相等且底数相等，则指数相等，即可求解；
【详解】（1）解：，，
；
（2），
，即，
解得：．
变式2．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
（1）将代入，计算幂的乘方即可得；
（2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得；
（3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得．
【详解】（1）解：，
，
解得；
（2）解：，
，
，
解得；
（3）解：，
，
，
，
．
【题型3 利用幂的逆运算简便运算】
例5．（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了积的乘方逆用、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得；
（2）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
例6．（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)8
(2)
【分析】本题考查积的乘方的逆用，掌握掌握积的乘方运算法则是解题关键．
（1）根据积的乘方运算法则进行简便计算；
（2）根据积的乘方运算法则进行简便计算．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，
（1）根据积的乘方的逆运算及有理数的乘方运算法则计算即可；
（2）将原式转化为，再利用有理数的乘方运算法则计算即可；
掌握相应的运算法则、运算律及运算顺序是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
变式2．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算、含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
（1）先利用乘法运算律，再利用积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算将原算式转化为求的值，进而根据有理数的乘方和乘法运算法则求解即可；
（2）根据积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算将原算式转化为求的值，进而根据有理数的乘方和乘法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【题型4 利用幂的运算比较大小】
例7．（24-25七年级下·江西鹰潭·月考）逆向运用幂的运算可以得到等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)若，求的值；
(2)比较大小：若，则的大小关系是什么？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算；
（2）把、、换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较．
【详解】（1）解： ∵，
，
∴
，
；
（2）解：依题意，
∵
∴
．
例8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即．
(1)比较，的大小；
(2)比较，，的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键．
（1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可；
（2）转化为同指数，，，然后比较底数即可．
【详解】（1）解：，，
，
．
（2）解：，，，
，
，
．
变式1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)求的值．
(2)若，求m的值．
(3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是逆运用计算法则．
（1）逆用同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，进行运算，即可解答；
（2）转化为底数为３的幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同的幂，再根据正指数相同的正数底数幂，底数大的幂大，底数小的幂小，比较大小，即可解答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：，
∵
，
∴，
∴，
解得．
（3）解：∵，，，
∴，
，
，
，
∵，
∴．
故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究：
探究一：比较与的大小．
解：因为，，
又因为，所以，所以．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
探究二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
(1)比较，的大小；
(2)比较，，，的大小；
(3)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案；
（2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，，
，据此可得答案；
（3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
，且，
∴，
∴；
（3）解：，，
又∵，
∴．
【题型5与幂的运算有关的新定义型问题】
例9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如．
(1)填空：当时，______；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算．
（1）先得到新定义运算的式子，再计算即可；
（2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵
∴，，
∴，
∴
∴．
例10．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）对于整数、定义运算： （其中、为常数），如．
(1)填空：当时， ___________；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据定义的运算解答即可；
（2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴．
变式1．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴；
(1) ； __________；
(2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想．
(3)根据（2）的探究，直接写出__________．
【答案】(1)5，5
(2)
(3)
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．
（1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论；
（2）根据所得结论进行推导可得结论；
（3）根据之前的探究，可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
，
，
故答案为：5，5；
（2）解：，
验证：设，
则，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：根据之前的探究，可得．
验证：设，
则，
，
，
，
故答案为：．
变式2．（25-26七年级上·北京·期中）【概念学习】
定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”．
(1)直接写出计算结果：______，
______．
(2)【深入探究】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：
类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果）
(3)【结论应用】
已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
例如：．
请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值．
【答案】(1)，．
(2)．
(3)．
【分析】本题考查了除方的定义、除方与乘方的转化以及同底数幂乘法公式的应用，解题关键是理解除方的定义，掌握除方转化为乘方的方法，并能结合同底数幂乘法公式进行运算．
（1）根据除方定义直接计算：，．
（2）将除方转化为乘法，推导得．
（3）先将按结论转化，再结合同底数幂乘法公式，提取公因式计算．
【详解】（1）解：．
．
（2）解：．
（3）解：
．
一、单选题
1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）若，，则的值是（ ）
A．7B．8C．12D．18
【答案】C
【分析】本题考查幂运算：利用指数运算法则，将拆分为，再代入已知值计算．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
2．（25-26八年级上·全国·月考）计算的结果为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键．
根据幂的乘方与积的乘方的逆运算进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：B．
3．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系．
【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14
∴ ，即
∵ 底数均为3，指数，
∴ ，即，
∴
故选：.
4．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）已知，则x的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】此题考查同底数幂乘除法的逆用，将等式左边各数的底数化为2，利用同底数幂乘除法法则逆用得到，列得，求出x的值即可．
【详解】解：∵
，
∴，
解得，
故选：D．
5．（24-25七年级下·广东茂名·期末）我们定义：，若，则的值为（ ）
A．4B．16C．64D．256
【答案】C
【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出．
由定义可得，，．
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以
故选：C．
二、填空题
6．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）计算： ．
【答案】/0.25
【分析】通过观察指数相同，将 和 利用积的乘方逆运算简化，再与 运算解答即可．
本题考查了积的乘方的逆应用，同底数幂的乘法，熟练掌握运算是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为 ．
7．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，，则的值是 ．
【答案】
【分析】利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知条件计算．
本题考查了指数运算的逆向应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：由已知，，
故，，
又，
故，
故答案为：．
8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来： ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方公式逆用，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将，然后比较即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
9．（25-26八年级上·四川眉山·期中）①若，则 ；②若，，则 ；③ ．
【答案】 2
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、求代数式的值，熟练掌握运算法则，整体代入计算即可得解．
①将4和8表示为2的幂，利用同底数幂的乘法法则，比较指数求解；
②利用指数运算法则，将所求表达式转化为已知量的幂的商；
③将小数转化为分数，利用指数运算法则和积的乘方进行简化．
【详解】解：①由，，得，，
所以，
由，得，
解得，
故答案为：2；
②，代入，，得，
故答案为：；
③
，
故答案为：．
10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种幂的新运算：，例如，求的值为 ．
【答案】32
【分析】本题考查了新定义运算及同底数幂的除法运算，解题的关键是理解新运算“”的规则，将对应数值代入运算式计算．
根据新运算，将、代入式子，利用同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：由新运算定义，
当，时，
故答案为：32．
三、解答题
11．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，求①；②的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）①12；②；（2）16
【分析】本题主要考查了同底数幂除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）分别根据同底数幂乘法和同底数幂除法的逆运算求解即可；
（2）先根据幂的乘方得到原式，再根据同底数幂除法的法则求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
①；
②；
（2）∵，
∴，
∴
．
12．（25-26八年级上·河南周口·月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题：
(1)______．
(2)已知，，，请比较，，的大小，并用“＜”连接起来．
(3)若，，求的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)18
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，逆用法则是解题的关键．
（1）逆用积的乘方即可求解；
（2）先把a、b化为指数为3的幂，在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，即可比较幂的大小；
（3）逆用同底数幂的乘法与幂的乘方，即可求解．
【详解】（1）解：原式；
故答案为：1；
（2）解：，
∵，
∴，
即；
（3）解：
．
13．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简．根据要求完成下列计算：
(1)若，，，求：
①求的值；
②求的值；
(2)若，，，探索，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①；②10；
(2)，见解析．
【分析】本题考查幂的运算法则的逆运用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则和积的乘方法则并能灵活逆用．
（1）①利用同底数幂的除法法则逆运算求解；②利用积的乘方法则逆运算求解；
（2）利用积的乘方法则逆运算探索数量关系．
【详解】（1）①解：；
②解：；
（2）解：关系：
因为，所以
14．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．
例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即．
(1)根据上述规定，填空： ； ； ．
(2)计算 ，并说明理由．
(3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立．
【答案】(1)4，0，
(2)2，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数．
（1）由于，，根据“雅对”的定义可得；
（2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到
（3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立．
【详解】（1）解：∵ ，
∴；
∵，
∴；
∵ ，
∴
故答案为：4；0；；
（2）解：
理由如下：
设，则，
∴，
∴
（3）证明：设，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即对于任意自然数n都成立．
15．（25-26八年级上·全国·单元测试）幂的运算综合应用：
(1)已知 ，，求 和 的值；
(2)若 ，，求 的值；
(3)已知 ，，，试比较 a、b、c 的大小（提示：转化为指数相同的形式比较）．
【答案】(1)20；
(2)
(3)
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，同底数幂除法的逆用，解题关键是掌握上述法则．
（1）用逆用同底数幂乘法法则求，用逆用幂的乘方法则与逆用同底数幂除法法则求；
（2）用逆用幂的乘方法则与逆用同底数幂除法法则求解；
（3）先逆用幂的乘方将三个数的指数化为相同，再比较底数的大小，然后得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
．
（2）∵，，
∴，
∴．
（3）∵，，，
，
∴，
即．