2.7.1角的和与差及角的平分线-课件-数学冀教版（2024）七年级上册

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冀教（2024）版数学7年级上册第二章 几何图形的初步认识2.7.1角的和与差及角的平分线AB=BC+ACBC=AB－ACAC=AB－BC线段的和、差线段中点那么 AC=BC AC=BC= AB AB=2AC=2BC若点C是线段AB的中点复习课堂导入# 幻灯片分页内容：2.7.1 角的和与差及角的平分线## 第1页：课题导入——温故启新- 旧知回顾：已学角的定义、度量与大小比较（叠合法、度量法），知道角的大小由开口幅度决定。- 情境设问： 1. 把两个三角尺的两个角拼在一起，得到的新角与原来两个角有什么关系？ 2. 如何将一个角分成两个相等的角？- 课题明确：掌握角的和与差的定义及计算，理解角的平分线概念，学会尺规作角平分线，解决相关几何问题。## 第2页：核心定义——角的和与差### 1. 角的和- 定义：两个角的和是指将两个角的一边重合后，由另两边所组成的新角。- 图形示意：将∠1的一边与∠2的一边重合，顶点重合，另一边分别在重合边两侧，新角∠AOB = ∠1 + ∠2。- 表示：若∠1 = α，∠2 = β，则∠AOB = α + β（如30° + 45° = 75°）。### 2. 角的差- 定义：两个角的差是指从一个大角中减去一个小角后得到的剩余角。- 图形示意：将∠2的一边与∠AOB的一边重合，顶点重合，且∠2的另一边在∠AOB内部，剩余角∠1 = ∠AOB - ∠2。- 表示：若∠AOB = α，∠2 = β（α > β），则∠1 = α - β（如90° - 30° = 60°）。### 关键说明- 角的和与差本质是角度数值的运算，结果仍是一个角，单位为度（°）、分（′）、秒（″）。## 第3页：核心概念——角的平分线### 1. 定义- 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。- 符号表示：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB。### 2. 尺规作图（作∠AOB的平分线）- 第一步：以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；- 第二步：分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；- 第三步：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线（保留作图痕迹）。### 3. 验证方法- 度量法：用量角器测量∠AOC和∠COB，若度数相等，则OC是角平分线；- 叠合法：将∠AOC沿OC折叠，若与∠COB重合，则OC是角平分线。## 第4页：典例精析——基础计算### 1. 角的和差计算- 例1：已知∠1 = 35°20′，∠2 = 42°40′，求∠1 + ∠2和∠2 - ∠1。 解：∠1 + ∠2 = 35°20′ + 42°40′ = 78°； ∠2 - ∠1 = 42°40′ - 35°20′ = 7°20′。- 例2：已知∠AOB = 120°，∠BOC = 50°，且OC在∠AOB内部，求∠AOC。 解：∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120° - 50° = 70°。### 2. 角平分线相关计算- 例3：已知OC是∠AOB的平分线，∠AOB = 90°，求∠AOC的度数。 解：∵ OC平分∠AOB，∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。## 第5页：典例精析——进阶综合### 1. 多角和差与平分线结合- 例4：已知∠AOB = 150°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数。 解：① 先求∠AOC和∠COB：∵ OC平分∠AOB，∴ ∠AOC = ∠COB = $\frac{1}{2}$×150° = 75°； ② 再求∠AOD：∵ OD平分∠AOC，∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$×75° = 37°30′； ③ 最后求∠BOD：∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 150° - 37°30′ = 112°30′（或∠BOD = ∠COB + ∠COD = 75° + 37°30′ = 112°30′）。### 2. 分类讨论题（位置不确定）- 例5：已知∠AOB = 80°，∠BOC = 30°，求∠AOC的度数。 解：分两种情况： ① OC在∠AOB内部：∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 80° - 30° = 50°； ② OC在∠AOB外部：∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 80° + 30° = 110°； 综上，∠AOC = 50°或110°。## 第6页：易错点辨析——避开常见误区1. 角度换算时忽略60进制（如将35°30′误算为35.3°）； 纠正：1°=60′，30′=0.5°，正确应为35.5°。2. 角的和差计算时，未统一单位直接运算（如30°15′ + 20°25′误算为50°40′，正确）； 提醒：分与分相加、度与度相加，满60′进1°，不够减时借1°化为60′。3. 误解角平分线的定义，认为是线段（如将角平分线画成线段）； 纠正：角平分线是从顶点出发的射线，不是线段。4. 分类讨论时遗漏位置情况（如例5中忽略OC在∠AOB外部的情况）； 纠正：当题目未明确角的位置关系时，需考虑多种可能。## 第7页：课堂练习——分层巩固### 基础题（夯实概念）1. 已知∠α = 50°，∠β = 30°，则∠α + ∠β = ______，∠α - ∠β = ______（答案：80°；20°）；2. 若OC平分∠AOB，∠AOC = 40°，则∠AOB = ______（答案：80°）；3. 用尺规作∠AOB的平分线（保留作图痕迹）。### 提高题（能力提升）1. 已知∠AOB = 100°，∠BOC = 20°，OD平分∠AOC，求∠AOD的度数（答案：60°或40°）；2. 计算：180° - 25°30′18″ = ______（答案：154°29′42″）。## 第8页：课堂小结与课后作业### 课堂小结1. 角的和差：角度数值的运算（60进制），分“和”（叠加）与“差”（截取）；2. 角的平分线：将角分成两个相等角的射线，核心关系∠AOC = ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB；3. 关键技能：尺规作角平分线，分类讨论角的位置关系。### 课后作业1. 计算：32°16′×5；75°36′÷3；2. 已知∠AOB = 130°，OC是∠AOB的平分线，∠COD = 20°，求∠AOD的度数（分情况讨论）；3. 用尺规作一个角等于已知角∠α，并作出它的平分线（保留作图痕迹）。图中有几个角？它们之间有什么关系？图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；它们的关系：∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.知识点1 角的和与差 总结： 1.如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和．2.如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差.知识点1 角的和与差 例1 如图，如果∠AOC=∠DOB，那么∠AOD与∠COB相等吗？解：因为∠AOC=∠DOB，所以∠AOC+∠COD=∠DOB+∠COD，所以∠AOD=∠COB.知识点1 角的和与差(2) 如图2，若∠AOB= 60°，∠BOC=40°，则 ∠AOC= °．(1) 如图1，若∠AOC=35°，∠BOC=40°，则 ∠AOB= °． 7520 图1 图2 计算下列角的度数.知识点1 角的和与差例2 (3) 若∠AOB =60°，∠AOC =30°，则∠BOC= °． 90或30提示：无图条件下要分情况讨论.知识点1 角的和与差解：∠1+∠2 ＝ 103°24′28" ＋30°54" .(82" ＝ 1′22" )所以∠1+∠2 ＝ 133°25′22" .知识点1 角的和与差∠1 － ∠2 ＝ 103°24′28" -30°54" .(24′28"＝ 23′88")所以∠1-∠2 ＝ 73°23′34" .进行角的度数的计算时，注意角的度、分、秒是60进制的.知识点1 角的和与差 动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：∠AOC_____∠COB;∠AOB=____∠AOC.=2知识点2 角的平分线 如果从一个角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线. 几何语言OBAC因为 OC 是∠AOB 的角平分线，所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB， ∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线知识点2 角的平分线(2)折纸，使角的两边重合；(3)把纸展开，以点O为端点，沿折痕画射线OP.如图：如何利用纸作角平分线？(1)在半透明的纸上画一个角（∠AOB）；知识点2 角的平分线角平分线的判定方法 知识点2 角的平分线类似地，还有角的三等分线等. OBAC D知识点2 角的平分线 B知识点2 角的平分线O判断角的平分线的方法射线是否在角的内部是否将角平分是角的平分线是否是否不是角的平分线知识点2 角的平分线1.如图，下列各式中错误的是（　　）A.∠AOC=∠AOB+∠BOC B.∠AOC=∠AOD-∠CODC.∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC C2.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是 ( )A 3.如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　　) A．50° B．60° C．140° D．150°C4．如图，把一张长方形的纸条折叠后，折痕OE是∠BOB′的 ．5．如图，OC是∠AOB内的一条射线．(1)∠AOB＝∠BOC＋ ，∠AOC＝ －∠BOC.(2)若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝____．平分线∠AOC∠AOB10°（1） 120°-38°41′； （2）67°31′+48°49′. 解：（1）原式 = 119°60′-38°41′ = 81°19′ .（2）原式 = (67+48)°+(31+49)′ = 115°80′ = 116°20′ .6.计算:7.如图，OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？解：（1）因为 OB 平分∠AOC， ∠AOC=80°， (2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD 是多少度？（2）因为 OB 平分∠AOC，所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.因为 OD 平分∠COE，所以∠COD=∠DOE = 30°，所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？（3）因为 ∠COD=30°，OD 平分∠COE，所以 ∠COE=2∠COD=60°，所以 ∠AOC=∠AOE-∠COE =140°-60°= 80°.因为 OB 平分∠AOC， 知识点1 角的和与差（第1题） D  返回（第2题） B  返回（第3题） C  返回4.按图填空：（第4题）         返回知识点2 角的平分线 A  返回 C（第6题）  返回（第7题） A  返回    返回知识点3 角度的加减运算    返回 D  返回 C  返回（第12题） A  返回（第13题） A A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对、Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ、不对 返回      返回        返回角的和与差角的和与差如果一个角的度数是另两个角的度数的和,那么这个角就叫作另两个角的和．如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差．如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线.角的平分线角的计算谢谢观看！