2.7.2余角和补角-课件-数学冀教版（2024）七年级上册

这是一份2.7.2余角和补角-课件-数学冀教版（2024）七年级上册
冀教（2024）版数学7年级上册第二章 几何图形的初步认识2.7.2余角和补角 要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量?你能帮他解决这个问题吗？课堂导入# 幻灯片分页内容：2.7.2 余角和补角## 第1页：课题导入——情境设问引概念- 生活情境： 1. 三角尺中，30°角与60°角拼在一起是90°直角，45°角与45°角拼在一起也是90°直角； 2. 黑板上画一个120°的角，再画一个60°的角，它们拼在一起是180°平角。- 旧知衔接：已学角的和差计算，两个角的和为90°或180°时，有特殊名称和性质，今天重点学习。- 课题明确：理解余角和补角的定义，掌握其性质（同角/等角的余角相等、同角/等角的补角相等），能解决相关计算和推理问题。## 第2页：核心定义——余角和补角### 1. 余角（互余）- 定义：如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。- 符号表示：若∠α + ∠β = 90°，则∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角。- 示例：35°与55°互余（35°+55°=90°）；40°20′的余角是49°40′（90°-40°20′=49°40′）。- 注意：互余的两个角一定都是锐角（小于90°），直角和钝角没有余角。### 2. 补角（互补）- 定义：如果两个角的和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。- 符号表示：若∠α + ∠β = 180°，则∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。- 示例：110°与70°互补（110°+70°=180°）；135°30′的补角是44°30′（180°-135°30′=44°30′）。- 注意：锐角的补角是钝角，直角的补角是直角（90°+90°=180°），钝角的补角是锐角。## 第3页：核心性质——余角和补角的性质### 1. 余角的性质- 文字表述：同角的余角相等；等角的余角相等。- 符号表示： - 同角的余角相等：若∠α + ∠β = 90°，∠α + ∠γ = 90°，则∠β = ∠γ； - 等角的余角相等：若∠α + ∠β = 90°，∠γ + ∠δ = 90°，且∠α = ∠γ，则∠β = ∠δ。- 示例：若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3。### 2. 补角的性质- 文字表述：同角的补角相等；等角的补角相等。- 符号表示： - 同角的补角相等：若∠α + ∠β = 180°，∠α + ∠γ = 180°，则∠β = ∠γ； - 等角的补角相等：若∠α + ∠β = 180°，∠γ + ∠δ = 180°，且∠α = ∠γ，则∠β = ∠δ。- 示例：若∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠C = 180°，则∠B = ∠C。## 第4页：典例精析——基础计算### 1. 求一个角的余角或补角- 例1：已知∠α = 38°，求它的余角和补角。 解：余角 = 90° - 38° = 52°；补角 = 180° - 38° = 142°。- 例2：已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数。 解：设这个角为x°，则补角为(180 - x)°，余角为(90 - x)°； 由题意得：180 - x = 4(90 - x)； 解方程：180 - x = 360 - 4x → 3x = 180 → x = 60； 答：这个角的度数是60°。### 2. 利用性质进行推理- 例3：如图，∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，求证∠1 = ∠3。 证明：∵ ∠1与∠2互余，∴ ∠1 + ∠2 = 90°； ∵ ∠3与∠2互余，∴ ∠3 + ∠2 = 90°； ∴ ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2（同角的余角相等）； ∴ ∠1 = ∠3。## 第5页：典例精析——进阶综合### 1. 余角、补角与角平分线结合- 例4：已知∠AOB = 180°，OC平分∠AOB，∠DOE = 90°，求∠AOD与∠COE的关系。 解：∵ OC平分∠AOB，∠AOB = 180°，∴ ∠AOC = ∠COB = 90°； ∵ ∠AOC = 90°，∴ ∠AOD + ∠DOC = 90°； 又∵ ∠DOE = 90°，∴ ∠DOC + ∠COE = 90°； ∴ ∠AOD = ∠COE（同角的余角相等）。### 2. 分类讨论题（角的位置不确定）- 例5：已知∠A = 50°，∠B与∠A互补，∠C与∠A互余，求∠B - ∠C的度数。 解：∵ ∠B与∠A互补，∴ ∠B = 180° - 50° = 130°； ∵ ∠C与∠A互余，∴ ∠C = 90° - 50° = 40°； ∴ ∠B - ∠C = 130° - 40° = 90°。 （注：本题∠A为锐角，位置唯一，无需多分类；若∠A为钝角，补角为锐角，余角不存在，需提醒）## 第6页：易错点辨析——避开常见误区1. 混淆“互余”“互补”的度数条件（如将互余当成和为180°）； 纠正：牢记互余和为90°，互补和为180°，可简记“余90补180”。2. 认为“一个角的余角/补角只有一个”； 纠正：一个角的余角/补角有无数个，但它们的度数都相等（依据余角/补角性质）。3. 计算时忽略角度的60进制（如求30°15′的余角，误算为90° - 30°15′ = 59°45′，正确）； 提醒：不够减时借1°化为60′，如求10°30′的补角：180° - 10°30′ = 169°30′。4. 忽略“互余的两个角必须是锐角”（如认为100°角有余角）； 纠正：钝角大于90°，无法与另一个角的和为90°，故无余角。## 第7页：课堂练习——分层巩固### 基础题（夯实概念）1. 已知∠α = 55°，则它的余角是______，补角是______（答案：35°；125°）；2. 若∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°，则∠1与∠3的关系是______（答案：相等）；3. 一个角的补角是它本身的2倍，求这个角的度数（答案：60°）。### 提高题（能力提升）1. 已知∠A与∠B互补，∠A - ∠B = 30°，求∠A和∠B的度数（答案：∠A=105°，∠B=75°）；2. 如图，∠AOB = 90°，∠COD = 90°，求证∠AOC = ∠BOD（提示：利用同角的余角相等）。## 第8页：课堂小结与课后作业### 课堂小结1. 两个定义：互余（和为90°）、互补（和为180°）；2. 两条性质：同角/等角的余角相等，同角/等角的补角相等；3. 核心技能：求余角/补角的计算、利用性质推理相等关系。### 课后作业1. 计算：48°30′的余角是______，120°15′的补角是______；2. 已知∠α的余角是∠β的补角的$\frac{1}{3}$，且∠α = 60°，求∠β的度数；3. 证明：等角的补角相等（写出已知、求证、证明过程）。两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余.如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.1几何语言：因为∠1＋∠2＝90°,所以∠1与∠2互余.反过来，如果∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=90°.几何语言：所以∠1＋∠2＝90°.因为∠1与∠2互余,知识点1 余角与余角的性质例1 图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o知识点1 余角与余角的性质 例2 画出∠COB的余角.知识点1 余角与余角的性质（2）量一量: 用量角器量一下这两个角的度数； 根据图形回答下列问题:（1）猜一猜: ∠1 与∠2相等吗？ 问题1 ∠1与∠COB互余，∠ 2与∠COB互余.（3）议一议：把结论归纳一下.（4）试一试：你还能用什么方法来说明这个结论？相等同角的余角相等12知识点1 余角与余角的性质解： ∠1与∠2相等.理由如下： 因为 ∠1+∠BOC = 90°， ∠2+∠BOC = 90°， 所以 ∠1= 90°-∠BOC， ∠2= 90°-∠BOC ， 所以 ∠1 =∠2.如图，∠1与∠COB互余， ∠ 2与∠COB互余，则∠1与∠2相等吗？AOBDC12 同角的余角相等知识点1 余角与余角的性质 问题2 如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？解： ∠2与∠4相等.理由如下： 因为∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90°， 所以∠2 = 90°-∠1，∠4 = 90°-∠3. 因为∠1 =∠3, 所以∠2 =∠4. 等角的余角相等知识点1 余角与余角的性质 两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补.如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.几何语言：因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1与∠2互补.知识点2 补角与补角的性质反过来，如果∠1与∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°.几何语言：因为∠1与∠2互补,所以∠1＋∠2＝180°.例3 图中给出的各角，哪些互为补角？知识点2 补角与补角的性质问题3 如图，∠1是∠BOC 的补角， ∠2是∠BOC 的补角.∠1与∠2相等吗?解： ∠1与∠2相等.理由如下： 因为∠1+ ∠BOC = 180°， ∠2+ ∠BOC = 180°， 所以∠1=180°- ∠BOC ， ∠2=180°- ∠BOC， 所以∠1=∠2.AOBDC12 同角的补角相等知识点2 补角与补角的性质问题4 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：∠2与∠4相等.理由如下： 因为 ∠1﹢∠2 = 180°，∠3﹢∠4 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1， ∠4 = 180°-∠3. 因为 ∠1 =∠3， 所以 ∠2 =∠4.等角的补角相等1243知识点2 补角与补角的性质例4 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线上， 所以 ∠AOC 和∠BOC互为补角.所以∠COD和∠COE互为余角.同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.知识点2 补角与补角的性质例5 如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．分析：已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角(或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角的补角，便可确定与∠2相等的角．知识点2 补角与补角的性质解：如图，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°， ∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.知识点2 补角与补角的性质例5 如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）A．30° B．45° C．60° D．75°A2.下列说法正确的是（　　）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角D3. 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是(　　)A．同角的余角相等 B．等角的余角相等C．同角的补角相等 D．等角的补角相等C4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= .62°28°5. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角；∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补角．6.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是______________，∠COD的余角是_______________;（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．∠COE、∠BOE∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC.理由如下：因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°,∠COD+∠COE=90°，所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE.因为OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠COD，所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．解：因为∠AOC＝∠BOD＝90°，所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠AOB，∠COD都是∠BOC的余角，所以∠AOB＝∠COD.因为∠AOB＝40°，所以∠COD＝40°. 知识点1 余角和补角的定义 A  返回 A  返回3.［2025邯郸期末］依据下列各角所标数据，其中没有余角的是( )DA. B. C. D. 返回 CA.相等 B.互余 C.互补 D.以上都不对 返回 A  返回   返回 135 返回   返回知识点2 余角和补角的性质 CA.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定 返回 DA.同角的余角相等 B.等角的余角相等C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 返回  AA.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对，Ⅱ对 D.Ⅰ对，Ⅱ不对 返回       返回 C  返回 CA. B. C. D. 返回（第15题） D  返回（第16题） 47 返回        返回            返回同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等谢谢观看！