2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题08 相似三角形中的A字模型（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题08 相似三角形中的A字模型（讲义）（解析版），共4页。学案主要包含了专题说明，模型引入，模型讲解等内容，欢迎下载使用。
相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型．
【模型引入】
【模型】“A”字型及其变形
模型展示：
【模型】一、平行A字型
如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
图1
【模型】二、非平行A字型（也称反A字型）
如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC).
图2
【模型】三、非平行A字型（也称母子型）
共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(CD,BC). 图3
【模型】四、双（多）A字模型
如图一 如图二
【模型】五、双（多）X字模型

如图一 如图二
【模型讲解】
1、如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10eq \r(2).四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在△ABC的边上)．则此正方形的面积是 .
【答案】25
【解析】在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2.∵AB＝BC，AC＝10eq \r(2)，∴2AB2＝200，
∴AB＝BC＝10.设EF＝x，AF＝10－x.∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(AF,AB)，即eq \f(x,10)＝eq \f(10－x,10)，∴x＝5，∴EF＝5，∴此正方形的面积为5×5＝25.
2、如图，已知BE，CD是△ABC的两条高，连接DE，求证：△ADE∽△ACB.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°.
∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD.∴eq \f(AD,AE)＝eq \f(AC,AB).∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB).
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：eq \f(1,AB)＋eq \f(1,CD)＝eq \f(1,EF).
证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(DF,DB).
又∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD.∴eq \f(EF,CD)＝eq \f(BF,BD).
∴eq \f(EF,AB)＋eq \f(EF,CD)＝eq \f(DF,DB)＋eq \f(BF,BD)＝eq \f(BD,BD)＝1.∴eq \f(1,AB)＋eq \f(1,CD)＝eq \f(1,EF).
4、如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．
5、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．
【答案】1:4
【解析】∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴
∵DE//AC，∴，∴，
∴的比是1：4.
6、如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，求正方形MNPQ的边长．
【答案】4
【解析】设正方形MNPQ的边长为x，则PQ＝QM＝x，
∵四边形MNPQ为正方形，∴PQ∥MN，QM⊥BC，
∵AD⊥BC，∴四边形QMDE为矩形，
∴ED＝QM＝x，∴AE＝AD﹣DE＝6﹣x，∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴AEAD=QPBC，即6−x6=x12，解得x＝4，即正方形MNPQ的边长为4．