2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题10 相似三角形中的双垂直型（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题10 相似三角形中的双垂直型（讲义）（解析版），共3页。学案主要包含了专题说明，模型引入，模型讲解等内容，欢迎下载使用。
相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型．
【模型引入】
【模型】“子母(双垂直)”型
模型展示：
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
基本模型：
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

【模型讲解】
1、已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】∵C是线段BD的中点，BD＝4，∴BC＝CD＝2，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠A+∠ACB＝90°，
∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴△ABC∽△CDE，
∴ABCD=BCDE，∴AB2=21，∴AB＝4，故选：C．
2、如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB.证明：△AEF∽△ABE.
证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠DAB，
∠ABE＝eq \f(1,2)∠ABC.
∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°.
∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°.
又∵∠BAE＝∠EAF，∴△AEF∽△ABE.
3、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.
(1)求证：△ABE∽△ECD
(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
【解析】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD.
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.∵△ABE∽△ECD，∴eq \f(AB,EC)＝eq \f(BE,CD)，∴eq \f(4,2)＝eq \f(3,CD)，∴CD＝eq \f(3,2).4、如图，∠A=∠B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 个．
【解析】设AP＝，则有PB＝AB－AP＝7－，当△PDA∽△CPB时，，即，
解得：或，当△PDA∽△PCB时，，即，
解得：，则这样的的点P共有3个．
5、如图，在正方形中，点在上，交于点．
（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）点E为AD的中点．理由见解析
【解析】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．
在△ABE和△DEF中，∴△ABE∽△DEF ；
（2）∵△ABE∽△DEF，∴，
∵△ABE∽△EBF，∴，∴，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．