2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题15 构造圆和隐形圆模型与最值问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题15 构造圆和隐形圆模型与最值问题（讲义）（解析版），共12页。学案主要包含了模型说明，模型引入，模型讲解等内容，欢迎下载使用。
轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。老师在教学中发现，很多学生不能很好地解决这类问题或者说拿到此类题目，感觉无从下手。课本中没有将轨迹问题单列章节来讲，本知识点属于延伸知识。学生对这部分知识没有进行系统性的学习，导致学生对轨迹问题概念模糊、认识不足。但是中考数学压轴题连续考查了此类问题，这就对我们提出了更高的要求，来深入研究怎样让学生更好的掌握轨迹思想来解决问题的能力和方法。
【模型引入】
一、直线与圆相交
如图，AB为○O的一条定弦，点C为AB一侧弧上的一动点，分两种情况讨论
1.如图①，当点C在弦AB所对的优弧上运动时；
∵OC+OF≥CM
当C、O、F三点共线时，取等号
即CM最大=CO+OF
总结：当点C在优弧AB上，当CM⊥AB且CM过圆心O时，线段CM即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大；
2.如图②，当点C在弦AB所对的劣弧上时，
过点O作l∥AB，过点O作OH⊥AB交AB于点F交○O于点H，过点N作NQ⊥l交AB于点M，连接QN,QN=HO≥NQ
OF=QM，则易得FH≥NM
当点N于点H重合时，取等号。
此时HM最大当点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大
二、直线与圆相离
1.点M到定直线的最短距离：
过点O作OF⊥L，过点M作MG⊥L交L于点F、G
有OM+MG≥OF=OQ+QF
MG≥QF
当O、M、G三点共线时，取等号
2.点M到定直线的最远距离：
过点O作OQ⊥l并延长QO交○O于点F,过点M作MG⊥L交L于点G有OQ+OM=OQ+OF=FG≥MG
当点M与点F重合时，取等号
如图③，○O与直线l相离，点M是○O上的一个动点，设圆心O到直线L的距离为d，○O的半径为r，则点M到直线l的最小距离是d-r,点M到直线l的最大距离为d+r。
三、定角定高问题如图，已知直线l外一点P，点P到直线AB的距离为定值h(定高），∠APB的度数为定值（定角），则AB有最小值。又因为像探照灯一样，所以又称为探照灯模型。
解题策略
已知直线l外一点P，点P到直线AB的距离为定值h(定高），∠APB的度数为定值（定角），怎样求线段AB的最小值呢？怎样求△APB面积的最小值呢？
作△APB的外接圆○O，∵∠APB是定值，PD=h是定值（定高），点P的运动轨迹是距直线l距离为h，且平行于l的直线。
当点P运动时，△APB的外接圆（○O）的大小也随之变化，即外接圆的半径随点P的运动而发生变化。从而弦AB的长度也发生变化，它会有一个最小值，由于它的高PD是定值，因此三角形APB的面积就有一个最小值。
猜想：∵PD过圆心时，这个外接圆是最小的，也就是，AB的长最小，从而△APB面积也最小。
理由：
连接OA、OB、OP,过点O作OM⊥AB交AB于点M，
显然，PD≤OP+OM,
当且仅当P、O、M三点共线时，取等号“=”
∵∠APB的角度是定值，而且它是○O的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数也是定值。∴OM与圆的半径有一个固定的关系.
设○O的半径为R，
则OM=Rcs∠AOM=Rcs∠APB，
∵PD≤OM+OP
∴h≤Rcs∠APB+R
即Rcs∠APB+R=h,此时R取最小值R=h/cs∠APB+1
此时AB最小值为2Rsin∠APB
四、隐形圆系列之点圆最值
平面内一定的D和○O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，○O的半径为r）点D在○O外时，d＞r，如图：
当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;
②当点D在○O上时，d=r，如图：
当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）
③当点D在○O内时，d＜r，如图
当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;
点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题；
【模型讲解】
1、如图，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值为________
解析：
这是一道线圆最值问题；
问题是以直角三角形为载体，点F是定点，点E是BC上一个动点（主动点），点P是由点C关于动线FE翻折得到（点P为从动点），可知点P随点E的运动而运动。动点P是由点C关于FE翻折得到，由翻折性质可知FC=FP=2(定长），点F为定点，由圆定义可知，点P在以点F为圆心，2长为半径的圆上，但很明显点P的轨迹并不是整个圆，我们可以考虑点E运动的始点与终点，当点E与点B重合时点P与点H重合，所以符合条件的点P在弧CH上。
由上可知，点P在定弧HC上运动，求点P到AB的最小问题问题转化为弧CH上点到AB的最小值。“点距线垂线段最短”！
过点F作FN⊥AB交AB于点N，交○F于点H，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接FP，
则有PF+PM≥FN
当F、P、M三点共线时，取等号。此时FN最小。即点P距AB距离最小
易得△AFN∽△ABC
AF:AB=FN:BC,
4/10=FN/8,∴FN=16/5
则PM最小=3.2-2=1.2
2、如图在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，以D为圆心，3为半径作○D,E为○D上一动点，连接AE，以AE为直角边作RT△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=1/3，则四边形AFCD面积最大为____,最小值是________。
点E在半径为3的○D上运动，点E是主动点；
在RT△AEF中，因为tan∠AEF=1/3，即AF:AE=1：3（定比），
且∠FAE=90°，两个动点E、F"捆绑”，点F是随着点E的运动而运动；
点F是从动点（被动点），点A是定点，如何寻找点F的运动轨迹呢？
因为∠FAE=90°，且AF：AE=1：3(定比）
可以理解为AE绕点A按顺时针旋转90°，并同时缩小1/3得到；
连接ED，点D为定点，AD=9定长，将AD绕点A按顺时针旋转90°，并同时缩小1/3，的AH,AH落在AB边上且AH=3，则点H为AB中点，点H为定点，
∠HAD=90°，易得∠HAF=∠DAE
则△HAF∽△DAE，则HF:ED=1：3，所以HF=1(定长）
由圆的定义可知，点F在以点H为圆心，1为半径的圆上运动;
过点H作HQ⊥AC交AC于点Q，并延长QH交○H于点G，过点F作FP⊥AC交AC于点P。
连接AC，在RT△ADC中，AD=9,DC=6,∴AC=313
S四边形AFCD=S△ADC+S△AFC
∵AD=9,DC=6,∴S△ADC=27，
所以△ADC面积为定值，四边形AFCD的面积最值就由△AFC面积最值决定。
又因为，S△AFC=0.5×AC×FP=313/2×FP
∴要求四边形AFCD面积的最值只需求FP最值即可；
∵点F在定○H上运动，FP⊥AC，则转化问题为线圆问题。
∵HQ⊥AC，易得△AHQ∽△ACB
HQ:BC=AH:AC
可得，HQ=913/13
由HQ+HF=HG+HQ≥FP
当点F与点G重合时，FP最大=1+913/13
S四边形AFCD最大=（27+313）/2+27=（81+313）/2
当点F与点K重合时，FP最小=913/13-1
S四边形AFCD最小=（81-313）/2
3、如图，某地有四边形ABCD，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠BCD=75°，BC=20√2m，CD=20m，为了方便钓鱼爱好者，以BC为边向鱼塘内搭建一个如图三角形的钓鱼台BPC，再过点P，向鱼塘边AD搭建一个通道PE，为了节约成本，要求∠BPC=135°，且PE最短，试求通道PE的最小值（通道的宽度忽若不计）
解析：这是一道“定角定边+线圆最值”问题
题目中明确给出∠BPC=135°（定角），BC=20√2（定边）
则符合条件的点P在弦BC所对的劣弧BC上运动；
点E在AD上运动，同时要求甬道PE最短，
点P在定圆○O的劣弧弧BC上，问点P到AD的最小问题即线圆最值问题。过点O作OH⊥AD交AD于点H，过点P作PE⊥AD交AD于点E，连接OP有OP+PE≥OH
当点E、P、O三点共线时，即点E于点H重合，时OH最小，此时PE最小
连接OB，OC，OD∵∠BPC=135°，则∠BMC=45°，∴∠BOC=90°，
又OB=OC，BC=20√2，△BOC是等腰直角三角形
易得OC=OB=20，
∠BCO=45°，∠DCB=75°，∴可得∠OCD=120°
DC=OC,∴∠CDO=∠COD=30°
∴DC:OC:DO=1：1：√3
∴DO=20√3
∠ADC=90°，∠CDO=30°所以∠ODE=60°
在RT△OED中，EO=20√3×sin60°=30∴PE最小=30-20=10
4、如图在平行四边形ABCD中，∠A=45°，M是AD边上的中点，N是AB边上一个动点，且AD=2√2，CD=3，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长的最小值为________。
解析：这是一道点圆最值问题；
分析点A'的运动轨迹：
问题是以一个平行四边形为载体，点M是定点，点N是AB上一个动点（主动点），点A'是由点A关于MN翻折得到（从动点），点A'是随点N的运动而运动。
动点A'是定点A沿动直线翻折得到，所以MA'=MA=√2（定值，始终不变），
点M为定点，动点A'与点M的距离始终是√2，由圆的定义可知（定点+定长→圆），点A'在以点M为圆心，√2为半径的圆上，点A'运动的轨迹并不是整个圆，而是圆的一部分。
由上面的分析可知，点A'在○M上运动，点A'与点C的最短距离就转化为○M上点与点C的距离的最小值；
由MA'+A'C≥MC，即当M、A'、C三点共线时，取等号
求A'C的最小值：
过点M作MQ⊥CD交CD延长线于点Q，易得QM=QD=1则QC=4，在RT△MAC中，MC=√17
∴A'C最小=√17-√2
5、如图，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值。
解析：由题目可知，∠BAC=60°（定角），AB=3,（定高）这是一道很基础的定角定高问题。
作△ABC的外接圆○O，连接OA、OB、OC，
过点O作OM⊥BC交BC于点M，则∠BOC=2∠BAC，
OA=OB=OC,
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，∠OBM=∠OCM=30°，
设OA=OB=OC=r，则OM=0.5r，
BM=32r，BC=2BM=3r
∵AD≤AO+OE, AD=3;
∴r+0.5r≥3,
解得 r≥2,
∴BC=3r≥23
所以S△ABC=12×BC×AD≥12×23×3=33
当且仅当点A、O、E三点共线时，面积最小
△ABC面积的最小值为33.
6、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形内部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是_______．
【答案】﹣4．
【分析】连接OC与圆O交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆O上，再利用勾股定理求出OC即可.
解：
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，
∴OC=，
∴PC=OC﹣OP=﹣4．
∴PC最小值为﹣4．
故答案为﹣4．
【点拨】本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点到圆的最大距离和最小距离是解题的关键.折叠问题很多都是用到圆的知识解答，注意定点定长，找到合适的圆，就可以很简单的进行知识转化，化动为静。
7、如图，已知A、B两点的坐标分别为(-8，0)、(0，8)，点C、F分别是直线x=5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD=______．
【答案】
【分析】如图，设直线x=5交x轴与K，由题意KD=CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与K相切时，的面积最小，作EH⊥AB于H，求出EH，AH即可解决问题.
如图，设直线x=5交x轴与K，由题意KD=CF=5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与K相切时，的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝5+8＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝，即，
∴OE＝，
∴AE=，
作EH⊥AB于H，
∵，
∴EH=，
AH=，
∴，
故答案为：.
【点拨】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积，三角函数关系式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空的压轴题型.
总之，动态问题中，一定要找到点的运动轨迹，可以结合圆的性质，比如到定点的距离等于定长的点的集合，同弦所对的圆周角相等或互补，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补等，把这些性质逆用，就可以找到隐形圆。比如四边形对角互补，那我们就要立刻反应出这四点共圆，找到圆后，就用圆的性质解题。