2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题24 二次函数中的动点与特殊四边形问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题24 二次函数中的动点与特殊四边形问题（讲义）（解析版），共41页。学案主要包含了典例讲解等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于4B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点D为抛物线的顶点，连接AD，AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上第三象限内的一个动点，过点P作PM∥x轴交AC于点M，求PM的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向右平移，使得点A刚好落在原点O，M是平移后的抛物线上一动点，Q是直线AC上一动点，直接写出使得由点C，B，M，Q组成的四边形是平行四边形的点Q的坐标；并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)最大值为2，
(3)，或，
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可得抛物线的解析式为；
（2）由，得直线解析式为，设，，可得，即得时，的值最大，最大值为2，；（3）由已知得平移后的抛物线解析式为，设，，而，，①以、为对角线，则的中点即是的中点，即，解得，或，；②以、为对角线，得，方程组无解；③以、为对角线，，解得，或，．
(1)
解：点的坐标为在抛物线，抛物线的对称轴为直线，
，解得，
抛物线的解析式为；
(2)
在中，令得或，
，
在中，令得，
，
设直线解析式为，则，
解得，
直线解析式为，
设，，
由得，
，，，
，
时，的值最大，最大值为2；
此时；
(3)
将原抛物线向右平移，使得点刚好落在原点，
平移后的抛物线解析式为，
设，，而，，
①以、为对角线，则的中点即是的中点，
，解得，
，或，；
②以、为对角线，
，方程组无解；
③以、为对角线，
，解得，
，或，；
综上所述，，或，．【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，﹣1），B（3，2）．直线AB交x轴于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线AB下方抛物线上的一个动点．连接PA、PC，当△PAC的面积取得最大值时，求点P的坐标和△PAC面积的最大值；
(3)把抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB方向平移个单位形成新的抛物线，M是新抛物线上一点，并记新抛物线的顶点为点D，N是直线AD上一点，直接写出所有使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)，
(3)或，或，
【解析】
【分析】
（1）先由抛物线过点求出的值，再由抛物线经过点求出的值即可；
（2）作轴，交直线于点，作于点，设直线的函数表达式为，由直线经过点求出直线的函数表示式，设，则，可证明，于是可以用含的代数式表示、的长，再将的面积用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出的面积的最大值及点的坐标；
（3）先由沿射线方向平移个单位相当于向右平移1个单位，再向上平移1个单位，说明抛物线沿射线方向平移个单位也相当于向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移的性质求出新抛物线的函数表达式，再按以为对角线或以为一边构成平行四边形分类讨论，求出点的坐标．
【小题1】
解：抛物线过点，
，
，
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的函数表达式为．
【小题2】
如图1，作轴，交直线于点，作于点，
则，
设直线的函数表达式为，则，
解得，
直线的函数表达式为，
当时，则，解得，
，，，
，，
轴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，，此时，，
点的坐标为，，面积的最大值为．
【小题3】
如图2，将沿射线方向平移个单位，则点的对应点与点重合，得到，
，
，，
相当于向右平移1个单位，再向上平移1个单位，抛物线沿射线方向平移个单位也相当于向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
，
平移后得到的抛物线的函数表达式为，
即，它的顶点为，
轴，
设直线与抛物线交于点，由平移得，，
，，，
为的中点，
，，
当以，，，为顶点平行四边形以为对角线时，
设抛物线交轴于点，作直线交轴于点，
当时，，
，
延长交轴于点，则，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
是以，，，为顶点平行四边形的顶点；
若点与点重合，点与点重合，也满足，，
但此时点、、、在同一条直线上，
构不成以点、、、为顶点平行四边形；
如图3，以，，，为顶点的平行四边形以为一边，
抛物线，当时，则，
解得，，
抛物线经过点，
设抛物线与轴的另一个交点为，则，
作于点，连接，则轴，
，
，
，，
，
，
点的纵坐标为1，
当时，则，
解得，，
点的坐标为，或，，
综上所述，点的坐标为或，或，．
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理、解一元二次方程等知识与方法，解题时应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，-），B（-2，0），其中点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC的平行线交BP于点N，求MN最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．
【答案】(1)y=x2-x-4；
(2)MN的最大值为；
(3)点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式；
（2）先用两点间距离公式求得PC的长，再利用相似三角形将MN用含ME的式子表示，并把MN表示成关于M点横坐标的二次函数，从而求得MN的最大值；
（3）先设出点Q的坐标，再利用三角形全等用含点Q横坐标的式子表示E、F的坐标，最后根据点E、F在抛物线对称轴上时横坐标为1求出点Q的横坐标，进而求得点Q的坐标．
(1)
解：∵点A（1，-）是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-，
由于抛物线经过点B（-2，0），
∴a（-2-1）2-=0，解得：a=，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-=x2-x-4；
(2)
解：令x=0，则y=x2-x-4=4，
∴D点坐标为（0，-4），
设直线AD的函数解析式为y=kx-4，
把点A（1，-）代入得：-=k-4，
∴k=-，
∴直线AD的函数解析式为y=-x-4，
由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：y=-x+b1，
又直线BP经过点B（-2，0），得：-×（-2）+ b1=0，
解得：b1=-1，
从而BP的解析式为y=-x-1，
解方程组，得：或，
∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，-），
令y=0，则x2-x-4=0，
解得：．
∴点C（4，0），
∴PC=，
过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，
设点M的坐标为（m，n），则点E的纵坐标为n，
∴点E的横坐标为-2n-2，
∴ME=-2n-2-m，
∵ME∥BC，MN∥PC，
∴∠E=∠PBC，∠MNE=∠BPC，
∴△MNE∽△CPB，
∴，
∴
，
∴当m=时，MN有最大值；
(3)
解：设点Q的坐标为（a，b），过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K，
∴△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF=KB=MQ=|a+2|，QN=EK=BM=|b|，
∴点F的坐标为（a-b，a+b+2），
点E的坐标为（-2-b，a+2），
当点F在抛物线的对称轴上时，a-b=1，
∴a-（a2-a-4）=1，
解得：a=2-（舍去正值），
得点Q的坐标为（2-，1-），
当点E在抛物线的对称轴上时，-2-b=1，
∴-2-（a2-a-4）=1，
解得：a=1-（舍去正值），
得点Q的坐标为（1-，-3）．
故点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及与相似三角形、正方形的综合，其中设出抛物线上一个点的坐标，根据条件表示出其它点或线段，再利用相应的知识点解决相关问题．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以C为圆心，1为半径作⊙C，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值．
【答案】(1)y＝x2+x+2
(2)存在，E（0，﹣2）
(3)DA+DB的最小值为
【解析】
【分析】
（1）直接把A、B 坐标代入解析式，求解即可；
（2）先作AE⊥AB交y轴于点E，连接CE，作BF⊥x轴于点F，再通过证明△BFC∽△AFB和△BCF≌△EAO得到对边平行且相等，结合已知条件，得到四边形ABCE是矩形即可得到结论；
（3）先作FL⊥BC于点L，连接AL、CD，再通过证明△FCL∽△BCF和△DCL∽△BCD得到各边之间的关系，当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小，计算求解即可．
(1)
把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为；
(2)
存在．如图1，
作AE⊥AB交y轴于点E，连接CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．
当y＝0时，由，得x1＝1，x2＝4，
∴C（4，0），
∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；
又∵BF＝2，
∴ ，
∵∠BFC＝∠AFB＝90°，
∴△BFC∽△AFB，
∴∠CBF＝∠BAF，
∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，
∴BC∥AE，
∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，
∴△BCF≌△EAO（ASA），
∴BC＝EA，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCE是矩形；
∵OE＝FB＝2，
∴E（0，﹣2）
(3)如图2，
作FL⊥BC于点L，连接AL、CD
由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，
∴CF＝CD，CB＝．
∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），
∴△FCL∽△BCF，
∴，
∴，
∵∠DCL＝∠BCD（公共角），
∴△DCL∽△BCD，
∴，
∴LD＝ DB；
∵DA+LD≥AL，
∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．
∵CL＝CF＝，
∴BL＝ ＝，
∴BL2＝（）2＝，
又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝ ＝ ＝ ，
DA+DB的最小值为．
【点睛】
本题属于二次函数与四边形、圆的综合题目，考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，准确的添加辅助线及熟练掌握上述知识是解题的关键．
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点，直线y＝2x＋b′经过点A，交抛物线于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在线段AD上，且满足S△BDE＝2S△ABE，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t为何值时，△FBE的面积最大？并求出最大值；
(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，若以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求出点P的坐标．
【答案】(1)y＝2x2﹣8x+6
(2)当 时，有最大值为
(3)（5，16）或 （﹣1，16）或 （3，0）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可设抛物线的解析式为，再将C (0，6)代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；
（2）根据题意可求出的值，即得出直线AD的解析式．联立两个解析式即可求出D点坐标，从而可求出的值．设点E(m，2m-2)，根据，即可求出，由此可列出关于m的等式，解出m，即得出E点坐标．从而可求出直线BE的解析式．如图，过点F作轴交直线BE于点G，设点F(t，)，则G(t，-2t+6)．即可用t表示出FG的长，再设点B的横坐标为，点E的坐标为，分类讨论①当时，利用，结合二次函数的性质即可求出结果； ②当时，利用，结合二次函数的性质即可求出结果．
（3）设Q(2，m)，P(x，)，分类讨论①以AD为对角线时；②以AP为对角线时；③以AQ为对角线时，根据平行四边形的性质结合A点和D点的坐标即可求出P点坐标．
(1)
∵抛物线的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，
∴设抛物线的解析式为，
把点C (0，6)代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为 ．
(2)
∵直线经过点A(1，0)，
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为，
联立，
解得：，，
∴点D(4，6)，
∵A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=2，
∴，
设点E(m，2m-2)，
∵，
∴，∴，
∴m＝2，
∴点E(2，2)．
设直线BE的解析式为，
则，
解得：，
∴直线BE的解析式为，
如图，过点F作轴交直线BE于点G，
∵点F(t，)，
∴G(t，-2t+6)．
∴，
设点B的横坐标为，点E的坐标为，
①如图1，当时，
∴当 时，有最大值为．
②如图2，当时，
∴当时，有最大值，最大值为，
综上所述，当时，的最大面积为．
(3)
由（2）知，A(1，0)，D(4，6)，
设Q(2，m)，P(x，)，
①以AD为对角线时，如图
∵以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴ ，即，
解得：，
∴P(3，0)；
②以AP为对角线时，如图，
∵以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得：，
∴P(5，16)；
③以AQ为对角线时，如图，
∵以A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得：，
∴P(-1，16)；
综上所述，当点 P的坐标为(3，0)或 (5，16)或 (-1，16)时，以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】
本题考查二次函数与几何的综合．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求直线BC的解析式．
(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．
①求四边形PBAC面积的最大值，并求四边形PBAC面积的最大时P点的坐标；
②如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．
【答案】(1)x2﹣x﹣4，；(2)①16；②点Q的坐标为(2，0)或(6，0)
【解析】
【分析】
（1）先根据题意确定点A、B、C的坐标，然后用待定系数法即可解答；
（2）①过P作x轴的垂线交直线BC于点N,连接PC,PB．设P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4)．再用x表示出PN的长度，然后根据二次函数性质求出PN的最大值，进而求得的最大值，最后再加上即可解答；②以BC为平行四边形的一边和以BC为平行四边形的对角线两种情况讨论，利用平移和中点公式进行求解即可．
【详解】
解：(1)由点A、B、C在抛物线yx2﹣x﹣4的函数图像上
令y=0，则x=4或﹣2，即点A、B的坐标分别为(﹣2，0)、(4，0);
令x=0时，y=-4,即C点坐标(0，-4)．
由待定系数法可得直线BC的解析式为：y=x-4．
(2)
①如图，过P作x轴的垂线交直线BC于点N,连接PC,PB．
设P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4)．∴PN=x-4-(x2﹣x﹣4)=-x2+2x=-（x-2）2-2
∴当x=2时，PN有最大值为2．此时P坐标为(2，-4)．
∴=PN·OB=×2×4=4
∴四边形PBAC面积最大值==12+4=16
② 第一种情况：当BC是平行四边形的一条边时，
如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，
设：点P(n，n2﹣n﹣4)，点Q(m，0)，
则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，
即：n+4=m，n2﹣n﹣4+4=0，
解得：m=4或6(舍去4)，
即点Q(6，0)；
第二种情况：当BC是平行四边形的对角线时，
设点P(m，n)、点Q(s，0)，其中nm2﹣m﹣4，
由中点公式可得：m+s=﹣2，n+0=4，
解得：s=2或4(舍去4)，
故点Q(2，0)；
故点Q的坐标为(2，0)或(6，0)；
【点睛】
本题属于了二次函数综合题,主要考查了确定函数解析式、二次函数的最值问题以及二次函数与几何的综合，考查知识点综合性强、难度较大，综合运用所学知识成为解答本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）过点的直线交轴于点，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点作轴交直线于点，作轴交对称轴于点，以为邻边作矩形，当矩形的周长最大时，在轴上有一动点，轴上有一动点，一动点从线段的中点出发以每秒个单位的速度沿的路径运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点处停止运动，求动点运动时间的最小值：
（2）如图， 将绕点顺时针旋转至的位置， 点的对应点分别为，且点恰好落在抛物线的对称轴上，连接．点是轴上的一个动点，连接， 将沿直线翻折为， 是否存在点， 使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（0，3-）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意设，，以及作关于轴对称，并过点作直线的垂线交于点即为所求，从而进行分析求解即可；
（2）根据题意分四种情形即①当AA''=A''B时；②当AA''=AB时；③当AA''=A''B时；④当A''B=AB时分别画出图形并进行分析求解.
【详解】
解：（1）设，，，
，开口向下，
当时，，
最少时间，
，作关于轴对称，
过点作直线的垂线交于点即为所求，
令y=0，解得
，
，
过作，
.
（2）①当AA''=A''B时，如图2中，
此时，A''在对称轴上
对称性可知∠AC′E=∠A''C′E
又∠HEC′=∠A''C′E∴∠AC′E=∠HEC′
∴HE=HC'=5 −2 ＝3 ，
∴OE=HE-HO=3 −3，
∴E(0，3−3 )，
②当AA''=AB时，如图3中，设A″C′交y轴于J．
此时AA''=AB=BC'=A''C'，
∴四边形A''ABC'为菱形，
由对称性可知，
∠AC'E=∠A''C'E=30°，
∴JE= JC′＝，
∴OE=OJ-JE=6
∴E（0，6）
③当AA''=A''B时，如图4中，设AC′交y轴于M．
此时，A''在对称轴上∠MC'E=75°
又∠AMO=∠EMC'=30°
∴∠MEC'=75°
∴ME=MC'
∴MC'=3 ，
∴OE=3+3 ，∴E（0，3+）.
④当A''B=AB时，如图5中，
此时AC'=A''C'=A''B=AB
∴四边形AC'A''B为菱形
由对称性可知，C''，E，B共线
由抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）可知，
令x=0，解得y=−3 ；令x=0，解得：x1=− ，x2=4 ；
∴A（−，0），B(4，0)，OB=4，
∴OE= OB＝12，
∴E（0，12）．
综上满足条件的点E坐标为（0，3-）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．如图所示，已知抛物线()与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点。
（1）请直接写出a，k，b的值；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）面积的最大值为，此时点P的坐标为；（3）P的坐标为或或，Q的坐标为：或或．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求得a，k，b的值；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【详解】
解：（1）把，代入中，可得：，
把，代入中，
可得，解得：，
∴，，；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．
∵，
∴，，
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为，
过点P作于D，作于E，则，，
∴，。
∴
；
∵，，，
∴当时，的值最大。
∴当时，，
，
即面积的最大值为，此时点P的坐标为：.
（3）P的坐标为或或，
Q的坐标为：或或．
存在三组符合条件的点：
当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵，，，，可得坐标如下：
①的横坐标为，代入二次函数表达式，
解得：，；
②的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：，；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：，．
故：P的坐标为或或，
Q的坐标为：或或．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
9． 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点．点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线下方的抛物线上运动时，求线段长度的最大值；（3）若点是平面内任意一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，线段的长度有最大值，为；（3）存在，的值为，，或．
【解析】
【分析】
（1）先根据直线解析式求得点A的坐标，再将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可得到答案；（2）根据PD⊥x轴知点P的横坐标为m，由点D与点P所在的位置表示两点的坐标，得到线段PD的二次函数解析式，利用顶点式解析式即可求得最大值；（3）当四边形为菱形时四条边相等，故△BCP为等腰三角形，分三种情况，根据两边相等求得m值
【详解】
解：（1）对于，
令，得，
∴ ．
将，代入，
得
解得
故抛物线的解析式为．
（2）易得，，
∴
∵ 点在直线下方的抛物线上，
∴ ．∵
∴ 当时，线段的长度有最大值，为．
（3）存在，的值为，，或．
解法提示：当以，，，为顶点的四边形为菱形时，必为等腰三角形．
由，，，
得，，
．
分以下三种情况讨论．
①当时，，
即，
解得（不合题意，舍去），．
②当时，，
即，
解得，．
③当时，，
即，
解．
综上可知，的值为，，或．
【点睛】
此题是二次函数的综合题，（2）中求线段长度的最大值时可利用两点的坐标求得线段长度的函数解析式，根据解析式求得最大值即可，（3）中是函数图像与图形的综合题，依据图形的性质解题是关键方法.
10．如图1，抛物线y＝﹣与x轴交于A、B（B在A的左侧）两点，与y轴交于点C，将直线AC沿y轴正方向平移2个单位得到直线A′C′，将抛物线的对称轴沿x轴正方向平移个单位得到直线l．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，点P为直线A′C′上方抛物线上一动点，连接PC，PA与直线AC分别交于点E、F，过点P作PP1⊥l于点P1，M是线段AC上一动点，过M作MN⊥A′C′于点N，连接P1M，当△PCA的面积最大时，求P1M+MN+NA′的最小值；
（3）如图3，连接BC，将△BOC绕点A顺时针旋转60°后得到△B1O1C1，点R是直线l上一点，在直角坐标平面内是否存在一点S，使得以点O1、C1、R、S为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）（P1M+MN+NA′）最小＝；（3）S1（），S2（，），S3（），S4（）．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式，令y=0，求出点A和点B的横坐标，令x=0，求出点C的纵坐标，再根据待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）先求出使△PCA面积最大时点P的坐标，再根据题意求出点P1的坐标，因为直线A'C'与直线AC的距离是定值，所以MN的长度不变，然后通过作对称点，平移，由两点之间线段最终最短求出结果；
（3）根据题意画出图形，由旋转求出相关点的坐标，再通过矩形的性质和平移规律求出点S的坐标．
【详解】
解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+6＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2，
∵B在A的左侧
∴A（6，0），B（﹣2，0）
令x＝0，则y＝6，即C（0，6），设直线AC解析式为y＝kx+b，把A（6，0），C（0，6）代入，
∴，解得：，
所以直线AC解析式为：．
（2）如图，过P作PH⊥x轴交AC于点H，
∴S△PCA＝PH•（xA﹣xC）＝3PH，
∴当PH取最大值时，S△PCA最大，
设P（m，- m2+m+6），H（m， m+6），
∴PH＝-m2+m，（0＜m＜6），
＝-（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，PH取最大值，
此时P（3，），
在抛物线y＝﹣x2+x+6中，
对称轴为x＝＝2，
∴由平移知直线l为：x＝，
∴P1（，），
设直线l与x轴的垂足为Q，连接P1A，
在Rt△P1AQ中，
QA＝，P1Q＝，P1A＝5，
∴tan∠P1AQ＝，
∴∠P1AQ＝60°，
作P1关于直线AC的对称点P1′，连接P1P1′，与直线AC、A’C’分别交于S、T点，
则△AP1P1′是等边三角形，
∴P1′A＝P1A＝5，P1′（，0），
∵MN⊥AC，CC'＝2，∠C'A'A＝30°，∴MN＝，
将P1′沿MN方向平移个单位得到P1′'（，），将直线A’C’绕点A’顺时针旋转45°得到直线l1，过点P1′'作P1′'G⊥l1于点G，与A’C’的交点即为N点，
易知△P1′'TN和△A'GN都为等腰直角三角形，
∴P1′'N＝P1′'T＝，A'N＝A'T﹣TN＝，
∴GN＝﹣，
∴（P1M+MN+NA′）最小＝+；
（3）连接OO1，则△OO1B为等边三角形，
∴∠O1OA＝∠OAO1＝∠OO1A＝60°，OO1＝O1A＝OA＝6，
∴O1（3，9），B1（2，12），C1（6，12），
①如图2﹣1，当四边形Q1RS1C1为矩形时，
xR﹣xO1＝﹣3＝，∵由题意知，QR与直线l的夹角为30°，
∴yQ1﹣yR＝×＝，
∴xS1＝xC1+＝，yS1＝yC1﹣＝，
∴S1（，），
同理可求出S2（，），S3（，﹣），S4（， +），
综上所述：在直角坐标平面内存在一点S，使得以点O1、C1、R、S为顶点的四边形是矩形，坐标是S1（），S2（，），S3（，），S4（，）．

【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
11．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB：y=x+相交于点A（1，0）和B（t，），直线AB交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D是x轴上的一个动点，连接BD、CD，请问△BCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+x﹣，x=﹣1；（2）5+2；（3）能为矩形，M（﹣1，4）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）的周长，其中为定值，当该三角形的周长最小时，需要的值最小，即点、、共线时，它们的值最小，所以利用轴对称的性质找到点的坐标；结合一次函数图象上点坐标求得点的坐标；
（3）需要分类讨论：①为四边形的边长；②为四边形的对角线.
①若为四边形的边长，作，交轴于点，又，构造，可得，根据直线与抛物线的交点的求法得到：直线与抛物线只有一个交点为；
②若为四边形的对角线，当四边形是平行四边形时，对角线互相平分，据此求得.
【详解】
（1）对于y=-x+，
令y=得x=﹣4，
∴B（﹣4，）．
分别把A（1，0）和B（﹣4，）代入y=x2+bx+c，得 .
解得，则该抛物线解析式为：y=x2+x﹣，
∵﹣=﹣1，
∴对称轴为直线x=﹣1；
（2）直线AB：y=-x+相交于点C（0，），
作点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，-），
连接BC′交x轴于点D，根据“两点之间线段最短”可得BD+CD的和最小，
从而△BCD的周长也最小，
∵B（﹣4，），C′（0，﹣），
∴直线BC′的解析式为y=﹣x﹣．
令y=0，可得x=﹣，
∴D（﹣，0），
∴当△BCD的周长最小时，点D的坐标为（﹣，0），
最小周长=BC+BC′=+=5+2；
（3）①
若AB为四边形的边长，
作AE⊥AB，交y轴于点E，又OA⊥CE，
∴△AOC∽△EOA，
∴OE=2OA=2，∴E（0，﹣2）.
∴直线AE为y=2x﹣2，
令2x﹣2=x2+x﹣，
解得x1=x2=1，
∴直线AE与抛物线只有一个交点为A，
∴不存在满足题意的矩形；
②
若AB为四边形的对角线，当四边形是平行四边形时，对角线互相平分，有xA+xB=xM+xN，即：1+（﹣4）=﹣1+xN，
解得xN=﹣2．
把xN=﹣2代入y=x2+x﹣，
得yN=﹣，
由yA+yB=yM+yN得：yM=4，
∴M（﹣1，4），N（﹣2，﹣），
此时MN==，AB==，
∴MN=AB，
∴平行四边形AMBN为矩形，
综上，能为矩形，M（﹣1，4）．
【点睛】
本题考查二次函数的有关知识，一次函数的有关知识，矩形的性质，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题.
12．如图，抛物线与直线AB交于点A(－1，0)，B(4，)．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，则用m的代数式表示线段DC的长；
（3）在（2）的条件下，若△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
（4）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）；
（3）；C;（4）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线过点A(－1，0)，B(4，)根据待定系数法求解即可；
（2）先求得直线AB的函数关系式，即可用含m的代数式表示出点D、C的坐标，从而得到结果；
（3）先根据三角形的面积公式表示出S关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可；
（4）根据平行四边形的性质结合图形的特征求解即可，要注意分类讨论.
【详解】
（1）抛物线与直线AB交于点，
解得
抛物线的解析式为：
（2）如图1，过点B作于点F
点，
直线AB的解析式为：
又点D的横坐标为
点C的坐标是，点D的纵坐标是
（3）由（2）得
当时，S取得最大值，此时C
（4）.
考点：二次函数的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．