2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题20 二次函数中的动点与线段周长问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题20 二次函数中的动点与线段周长问题（讲义）（解析版），共36页。学案主要包含了典例讲解等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．
(3)如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【答案】(1)y＝﹣x2+x+3
(2)EF+BF的最小值为
(3)t的取值范围为3≤t＜
【解析】
【分析】
（1）先令，，根据OC＝OA，即可求得的坐标，进而求得抛物线解析式；
（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，则，求得对称轴为直线x＝2，根据对称性求得，根据平行线分线段成比例，进而求得，从而求得点的横坐标为4，代入二次函数解析式求得点的坐标，由（1）可知：OC＝3，OB＝6，解直角三角形Rt△BOC，Rt△BFQ，求得FQ＝BF，将EF+BF转化为（EF+BF），则EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，进而根据EH＝|yE|＝3，即可求得答案；
（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，根据顶点M的坐标和C的坐标，求得CM的解析式为y＝x+3，进而求得的解析式为y＝﹣2x+8，，CQ解析式为y＝﹣x+3，根据平移的性质可得Q1（4，t），求得C2Q2解析式为y＝﹣x+3+t，联立抛物线解析式与C2Q2解析式，根据判别式Δ＝0，求得点的值，进而求得t的取值范围．
(1)
在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴OA＝2，
∵OC＝OA，
∴OC＝3，即C（0，3），
将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
(2)
过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：
∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，∴P横坐标为2，即ON＝2，
∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，
∵AP＝2PE，
∴AN＝2NH，
∴NH＝2，
∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，
∴E（4，3），
由（1）可知：OC＝3，OB＝6，
Rt△BOC中，BC＝＝3，
∴sin∠CBO＝＝＝，
∵EH⊥x轴，
∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，
∴FQ＝BF，
而EF+BF＝（EF+BF），
∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，
∵EH＝|yE|＝3，
∴EF+BF的最小值为3，
∴EF+BF的最小值为；
(3)
将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图：
∵y＝﹣x2+x+3顶点M（2，4），
又C（0，3），
∴CM的解析式为y＝x+3，
由MQ⊥CM，设MQ解析式为y＝﹣2x+b，
将M（2，4）代入得：4＝﹣2×2+b，
∴b＝8，
∴MQ解析式为y＝﹣2x+8，
在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4，
∴Q（4，0），
而C（0，3），
∴CQ解析式为y＝﹣x+3，
将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1（4，t），
代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3，
将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣x+3+t，
由只有一个解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判别式Δ＝0，
即（）2﹣4×（﹣）•（﹣t）＝0，
解得t＝，
∴将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，胡不归问题， 与抛物线交点问题，三角函数，数形结合并掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
(3)如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
【答案】(1)y＝x2﹣3x﹣4
(2)Q（﹣2，﹣2），△QOB周长最小值4+4
(3)点Q的坐标为：Q1（，），Q2（，），Q3（4，-3）,Q4（，）
【解析】
【分析】
（1）根据直线BC：，求出点，由MN是线段OC的垂直平分线，可求出对称轴为直线x=，运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据点Q是直线MN上一动点，O、B是定点，求△QOB周长的最小值，即求OQ+BQ的最小值，连接CQ，则CQ＝OQ，当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短，由此即可求得答案；
（3）设P(m，m-4)，且0＜m＜4，则F(m，0)，G(m，)，进行分类讨论即可：①PF为菱形的边且点H在点P左侧，②PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH上方，③PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH下方，④PF为菱形的对角线．
(1)
由直线BC：，可得与x轴交点为B(4，0)，与y轴交点为C(0，-4），
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴ 轴，
∴M、N关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为A(-1，0)，
设抛物线解析式为，将C(0，-4)代入，
得：-4a=-4，
解得：a=1，
∴，
故该抛物线解析式为．
(2)
如图，连接CQ，
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴CQ=OQ，
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ=CQ+BQ=BC最短，
当时，解得：x=-2，
∴Q(-2，-2)，
∵OB=OC=4，∴，
∴△QOB周长最小值=OQ+BQ+OB=BC+OB=；
(3)
设P(m，m-4)，且0＜m＜4，
则F(m，0)，G(m，)，
∵PF=PG，
∴，
解得：（舍），
∴F(1，0)，P(1，-3)，
∴FP=3．
①如图，PF为菱形的边且点H在点P左侧，
延长HQ交x轴于点N，
∵
∴
∴，
∴，
∵Q点在第三象限，
∴Q1(， )；
②如图，PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH上方时
设QH交x轴于点E，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴Q2(，)，
③如图，PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH下方时
∵轴，
∴菱形为正方形．
∵，∴H点和B点重合．
∴，即Q3 (4，-3)；
④如图，PF为菱形的对角线，连接QH交PF于点E，
∵PQFH是菱形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∴Q、E、H的纵坐标都等于，
∴，
解得：，
∴H(，)，
∵E(1，)，EQ=EH，
∴Q４(,)．
综上所述，点Q的坐标为：Q1(， )，Q2(，)，Q3 (4，-3)，Q４(,)．
【点睛】
本题为二次函数与几何的综合．涉及的知识点主要有线段垂直平分线的性质、利用待定系数法求函数解析式、勾股定理、菱形的性质等．为压轴题，困难题型．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键．3．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当 时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+ E'B的最小值．
【答案】（1）抛物线y＝﹣ x2+ x+3，直线AB解析式为y＝﹣x+3；（2）P（2，）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出，以此列出方程求解即可解决问题；
（3）根据题意在y轴上 取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），
则有，解得，
∴抛物线，
令y＝0，得到＝0，解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x+3．
（2）如图1中，设P（m，），则E（m，0），
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，，
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝，
∴PN＝﹣（m+3）＝m2+3m，∴，
解得m＝2或4（舍弃），
∴m＝2，
∴P（2，）．
（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴＝，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是AE′+BE′的最小值，属于中考压轴题．
4．如图，已知抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）连接BC，P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥BC于点H，当PH长度最大时，在△APB内部有一点M，连接AM、BM、PM，求AM+BM+PM的最小值．
（2）若点D是OC的中点，将抛物线y＝x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位得到新抛物线y′，C′是抛物线y′上与C对应的点，抛物线y'的对称轴上有一动点N，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使得C′、N、B、S为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AM+BM+PM＝；（2）存在，点S的坐标为：S1 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，S3(，)，S4(，)．
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求直线BC解析式，设点P横坐标为m，用含m的代数式表示PQ，再根据PH与PQ的关系得到PH最大时，m的值，将△PMB绕点B顺时针旋转120°得△P′M′B，连接MM′，过点P′作P′R⊥x轴于点R，线段AP′即为AM+BM+PM的最小值；
（2）C′、N、B、S为顶点的四边形是矩形可以根据C′B分别作为矩形对角线或边分类进行讨论：①当C′B为矩形对角线；②当C′B为矩形的边，C′B⊥C′N时；③当C′B为矩形的边，C′B⊥BN时．先求出点N坐标后再根据平移规律求S坐标．
【详解】
（1）在抛物线y＝﹣x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴C(0，﹣4)．
令y＝0，得＝﹣x2+x﹣4＝0，解得：x1＝，x2＝4，
∴A(，0)，B(4，0)，∴BC＝＝8．
如图1，
过点P作PQ⊥x轴于点E交BC于点Q，则PQ∥y轴，
∴∠PQH＝∠BCO，
∵PH⊥BC，
∴∠PHQ＝∠BOC＝90°，
∴△PQH∽△BCO，
∴＝＝＝，∴PH＝PQ，
设直线BC解析式为y＝kx+b，将B(4，0)，C（0，﹣4）代入得，解得
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
设P(m，+m﹣4)，Q(m，m﹣4)，则PQ＝+m，
∵＜0，0＜m＜4，
∴当m＝2时，PQ有最大值，此时PH＝PQ有最大值，
∴P(2，2)，
将△PMB绕点B顺时针旋转120°得△P′M′B，连接MM′，过点P′作P′R⊥x轴于点R，
∵tan∠PBE＝＝＝，∴∠PBE＝30°，
∴∠P′BR＝180°﹣120°﹣30°＝30°，P′B＝PB＝4，
则P′(6，2)，AP′＝＝，
∴AM+BM+PM＝AM+MM′+PM≥AP′＝；（2）存在．如图2，设N(，n)，
∵D(0，﹣2)，∴AD＝＝，
∴抛物线y＝﹣x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位实际是向左平移个单位，向下平移2个单位，
∴C′(﹣，﹣6)，新抛物线y′＝，
①当C′B为矩形对角线，点N在C′B下方时，易求直线C′B解析式为y＝x﹣，
∴矩形对角线交点坐标为(，﹣3)，
∵NS＝C′B＝，
∴N1 (，﹣3﹣)，S1 (，﹣3+)，
N2 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，
②当C′B为矩形的边，C′B⊥C′N时，由C′N2+C′B2＝BN2可得：
+(﹣6﹣n)2++(﹣6﹣0)2
＝+(0﹣n)2，
解得：n＝﹣∴N3(，﹣)，
∵C′N∥BS，
∴S3(，)；
③当C′B为矩形的边，C′B⊥BN时，由BN2+C′B2＝C′N2可得：
+(n﹣0)2++(﹣6﹣0)2
＝+(﹣6﹣n)2，
解得：n＝
∴N4(，)．∵BN∥C′S，
∴S4(，)；
综上所述，点S的坐标为：S1 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，S3(，)，S4(，)．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，应用二次函数最值求线段最大值，求线段和最小值，矩形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的知识，待定系数法求函数解析式等；涉及知识点多，综合性很强，有一定难度，第（1）题解题关键是能作出线段BM，第（2）题要注意分类讨论．
5．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，连接．点为抛物线的顶点，点为．
（1）点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴交抛物线于点，作轴于点，作轴于点，点在点右边．点是直线上一个动点，点是直线上一个动点，当四边形的周长最大时，求的最小值；
（2）如图2，将原抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得新的抛物线，点，的对应点分别记为，，把抛物线沿直线平移，，的对应点分别记为，是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）的最小值为；（2）存在，或或．
【解析】
【分析】
(1) 设，则．然后再确定抛物线的对称轴以及开口方向,即可确定最值；
（2）由题意知，抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得抛物线，点的对应与点重合．设，，然后利用勾股定理得到；然后就和分别解答即可．
【详解】
解：（1），，，．
设，则．
抛物线的对称轴为，
．
矩形的周长
．
此函数的图象为抛物线，其对称轴为，且．，
当时，矩形的周长最大，此时点的坐标为．
作点关于的对称点，
，
作于交于，此时最小，的最小值．
延长交于，可求得，，
的最小值．
（2）由题意知，抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得抛物线，点的对应与点重合．
设，，
则，
，
①当时，
即
．
化简后解得．
②当时，，
即．
化简后解得．综上所述，或或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了矩形的性质、二次函数图像的性质、勾股定理等知识，掌握二次函数图像的性质和根据勾股定理列方程是解答本题的关键．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax＋3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为(－1,0)，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）填空：a＝ ，点B的坐标是 ；
（2）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是y轴上一动点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP＋PC的最小值；
（3）在（2）中，当△MNF的周长取得最大值时，FP＋PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQ′＝OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），(3,0)；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令y＝0可求出点B的坐标；
（2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的表达式，设点，，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使△MNF的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，可得(FP＋PC )min＝FG，连接FC，FK，FK交y轴与点J，利用的面积计算求出FG；
（3）由（2）求出点Q的坐标，取AQ的中点G，△AOQ在旋转过程中，只需使AQ的中点G在坐标轴上即可满足GQ′＝OG，分四种情况进行求解．
【详解】
解：（1）将点A(－1,0) 代入y＝ax2－2ax＋3中得，，
解得，，即y＝－x2＋2x＋3，
当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，
解得，，，
∴点B的坐标是(3,0)，故答案为：－1，(3,0)；
（2）∵，
∴点D(1,4)，点C(0,3)，
设直线BD的表达式为，且经过点B(3,0)，点D(1,4)，
∴，
解得，，
∴，
设点，，
由图形可知，，
∵，，
∴，
∴，
，
，
，
∴当m＝2时，C△MNF最大，此时F(2,2)，HF＝2，
在x轴上取点，则∠OCK＝30°，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，此时，
∴(FP＋PC )min＝(FP＋PG)min＝FG，
连接FC，FK，FK交y轴与点J，
由点，点F(2,2)可求直线FK的表达式为，
∴点，，，
∴，即，解得，，
∴当△MNF的周长取得最大值时，FP＋PC的最小值为；
（3）存在，
由（2）可知，，即点，
∵将点P向下平移个单位得到点Q，
∴点Q(0,2)，
在Rt△AOQ中，，，则，
取AQ的中点G，则有，
∴△AOQ在旋转过程中，只需使AQ的中点G在坐标轴上即可满足GQ′＝OG，
如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点Q′作Q′I⊥x轴，垂足为I，
∵∠GOQ'＝∠GQ'O，
∵，
∴∠GOQ'＝∠IQ'O，
∴∠IQ'O＝∠GQ'O，
∴设，
∴，
∴，即点，
同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点，当点G在y轴负半轴上时，点，
当点G在x轴负半轴上时，点，
综上，点Q′的坐标为，，，．
【点睛】
本题是函数与几何的综合，考查待定系数法求解函数的表达式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，第（2）题构造含30°的直角三角形是解题的关键，第（3）题分类要全，不能漏解，难度较大，一般是中考压轴题．
7．已知抛物线的对称轴与轴的交点横坐标是分式方程的解，若抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点
（1）求抛物线的解析式；（2）若点坐标为，连结，若点是线段上的一个动点，求的最小值．
（3）连结过点作轴的垂线在第三象限中的抛物线上取点过点作直线的垂线交直线于点，过点作轴的平行线交于点，已知．
①求点的坐标；
②在抛物线上是否存在一点，使得成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）①点坐标为点坐标为；②点的坐标为
【解析】
【分析】
（1）通过解方程求出抛物线对称轴的横坐标，得出，再代入点坐标即可；
（2）作点关于直线的对称点过点作轴交与点、交轴与点，在图示的位置时，有最小值，即可求解；
（3）①，则，即：，求解即可；②求出HP所在的直线表达式与二次函数联立，求得交点即可．
【详解】
解：（1）抛物线对称轴与轴交点横坐标是的解，
抛物线对称轴为，
抛物线过点
，
抛物线的解析式为
（2）作点O关于直线DC的对称点O′交CD于点M，过点O′作O′G⊥y轴交DC与点H、交y轴与点G，
∵OD=2，OC=6，则∠OCD=30°，
∴GH=HC，在图示的位置时，OH+HC=GH+OH，此时为最小值，长度为GO′，
∵O′O⊥DC，∴∠OO′H=∠OCD=30°，
∴OM=OC=3=OO′，
在Rt△OO′G中，GO′=OO′cs∠OO′G=6cs30°=3，
即：OH+HC的最小值为3；
（3）设点的坐标为，
直线表达式的值为，
则直线表达式的值为，
设直线的表达式为:
将点坐标代入上式并解得:，
则点的坐标为，
点的坐标为
过点作轴的平行线交直线于点过点作轴平行线交过点作轴的平行线于点
，
，
则，
即:
，
即:，
解得:或(舍去)
故点坐标为
点坐标为；
过点作轴的平行线交直线于点、交轴于点，作于点，
则:
则，，
设:
则
则，
过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，延长交于点，过点作
则:，
即四边形为正方形，
，
设:，
，，
则
即点坐标为，
则所在的直线表达式为:，
联立并解得:或(舍去)，
故点的坐标为．
【点睛】
本题是一道二次函数的综合题目，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，理解坐标与图形性质，会利用一元二次方程解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；
（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.
【答案】（1）；（2）P（，），面积最大为；（3）CM+MB最小值为，M（，0）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S△BDC的表达式，化简成顶点式，即可求解；
（3）取G点坐标为（0，），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情况，再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
代入表达式，解得a= 1，b=-2，c=-3，
∴故该抛物线解析式为：.
（2）令，
∴x1=-1，x2=3，
即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3），
∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）= -a2+3a
S△BDC=S△PDC+S△PDB
=PD×3
=，
∴当a=时，△BDC的面积最大，且为为，此时P（，）；
（3）如图，取G点坐标为（0，），连接BG，
过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，
当C、M、B′在同一条直线上时，CM+MB最小.
可求得直线BG解析式为：，
∵B′C⊥BG
故直线B′C解析式为为，
令y=0，则x=，
∴B′C与x轴交点为（，0）
∵OG=，OB=3，
∴∠CGB=60°，
∴B′C= CGsin∠CGB==，
综上所述：CM+MB最小值为，此时M（，0）.
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
9．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.
(1)求这个二次函数关系式.
(2)当△EFR周长最大时.
①求此时点E点坐标及△EFR周长.
②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(，)，周长为+；②HQ的最大值大为：+.
【解析】
【分析】
(1)用交点式函数表达式，即可求解；
(2)①证明△ERF为等腰直角三角形，当△EFR周长最大时，EF最长，EF＝﹣m2+3m，即可求解；
②HQ＝OP，利用OP≤OM+PM＝，即可求解.
【详解】
(1)用交点式函数表达式得：y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3；
(2) ①由（1）知C（0,3），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵∠CBO＝∠FER，∴△ERF∽△BOC，
∴△ERF为等腰直角三角形.
当△EFR周长最大时，EF最长，
设E(m，﹣m2+2m+3)，F(m，﹣m+3)，
∴EF＝﹣m2+3m，∴当m＝时，EF最长，EF＝，
∴E(，)，
则Rt△EFR中，ER＝FR＝，
∴△EFR周长为+；
②如图，连接OP，点H(，0)为OB的中点，
∵Q是PB的中点，∴HQ∥OP，且HQ＝OP，
∵EF＝，FH＝，
∴点M(，)，
∴OM＝BM＝,
∵OP≤OM+PM＝，
∴HQ≤，
即HQ的最大值大为：+.
【点睛】
此题是二次函数与圆的综合题，（1）用交点式求抛物线的解析式；（2）先证得三角形是等腰直角三角形，故周长最大时即斜边最长，由此转化为求线段的最大值；（3）中两个点H、Q均为中点，所以两点连线即为三角形的中位线，根据中位线的性质，求与其平行的三角形的第三边的长度的最大值即为中位线的最大值，依此思路解题即可.
10．综合与研究如图，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E.
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；
（3）在点D运动的过程中，探究下列问题：
①是否存在一点D，使得PQ＋PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；
②连接CQ，当线段PE＝CQ时，直接写出m的值.
【答案】(1)点 A （－3，0） ，点 B （1，0）.点 C （0，3）；（2）；（3）①m=-2，②或.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数解析式即可求出交点坐标.
（2）根据D是OA的中点求出D点坐标，进而求出Q点坐标，利用直线AC求出P点坐标即可求解.
（3）①由直线AC和抛物线可知，当D为（m，0）时，点P坐标为,点Q坐标为，即可求出，，从而得到关于m的二次函数解析式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
②PE=QC有两种情况，i.当四边形QOEC为平行四边形时，ii.当四边形QOEC为等腰梯形时，依据图形性质分别用m表示出P、E、B坐标，根据点P、E、B三点在一条直线上，即可求解.
【详解】解：（1）在抛物线 y＝ x2  2x  3 中，
令 y＝0，解得 x1＝1，x2＝－3，
∴点 A 坐标为（－3，0） ，点 B 坐标为（1，0）.
令 x＝0，解得 y＝3，
∴点 C 的坐标为（0，3）.
（2）∵点D是OA的中点，
∴，
∴点 D 的坐标为 ，
设的解析式为 ，将点，代入得：
，解得： .
∴设直线AC的解析式为，当时，，
∴点 P 的坐标为，
在抛物线中，当时，，
∴点 Q的坐标为，
∴.
（3）①∵D（m，0），
∴点P坐标为,点Q坐标为，
∴,
由∵，
∴，
∴=，
∴当m=-2时，有最大值为4.，
②∵QO∥EC，当PE=QC时，有两种情况
i.当四边形QOEC为平行四边形时，则QP=CE，如图：
∵D（m，0），点 C为（0，3）
∴点P坐标为,点Q坐标为，E点坐标为
因为点P、E、B三点在一条直线上，
∴设直线PB的解析式为 ，将点P、E、B代入得：
，解得m=0（舍去），m=-1;
ii.当四边形QOEC为等腰梯形时，则点C、E关于PQ垂直平分线的对称，即PQ、CE的中点纵坐标相同，如图：
∵D（m，0），点 C为（0，3）
∴点P坐标为,点Q坐标为，E点坐标为
因为点P、E、B三点在一条直线上，
∴设直线PB的解析式为 ，将点P、E、B代入得： ，解得m=0（不合题意，舍去），m=（不合题意，舍去） m=-;
综上所述：当m=-1或m=-时，PE=QC.
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，求二次函数最值，平行四边形性质，等腰梯形的性质，解一元二次方程组．利用方程思想是求满足特点位置的点坐标的解题关键．
11．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少；
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①x＝3，1；②P（3，0）或或．
【解析】
【分析】
（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．
（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．
②分三种情况进行讨论：
当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；
当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；
当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴，
解得：，
∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．
（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式是y=kx+h．
则有，
解得：．
∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2．
∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，
∴PQ=yQ﹣yP=（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）
=﹣x2+x
=﹣（x﹣3）2+1
∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．
②解：当∠OAQ′=90°时，点P与点A重合，
∴P（3，0）
当∠Q′OA=90°时，点P与点C重合，
∴x=0（不合题意）
当∠OQ′A=90°时，
设PQ′与x轴交于点D．
∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°，∠Q′AD+∠AQ′D=90°，
∴∠OQ′D=∠Q′AD．
又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°，
∴△ODQ′∽△Q′DA．∴，即DQ′2=OD•DA．
∴（﹣x+2）2=x（3﹣x），
10x2﹣39x+36=0，
∴x1=，x2=，
∴y1=×（）2﹣+2=；
y2=×（）2﹣+2=；
∴或．
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或或．
【点睛】
本题考查二次函数综合及相似三角形的判定与性质．