第04讲 乘法公式（平方差公式、完全平方公式）（3知识点+13大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版+答案

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第一步：学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：核心题型举一反三精准练
第二步：记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：平方差公式
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
知识点2：完全平方公式
完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.
即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍
（2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。
知识点3：平方差和完全平方差区别
平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b²
平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍
【题型1 判断是否可用平方差公式运算】
例1．（25-26八年级上·全国·期末）下列乘法运算中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2025七年级上·上海·专题练习）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 运用平方差公式进行运算】
例3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3 利用平方差公式进行简便运算】
例5．（25-26八年级上·广东珠海·月考）计算：
例6．（25-26七年级下·全国·课后作业）用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用整式乘法公式计算：
(1)；
(2)．
变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）简便运算：
(1)；
(2)．
【题型4 与平方差公式有关的化简求值】
例7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值，其中．
例8．（25-26八年级上·云南昆明·期中）先化简，再求值：，其中．
变式1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值．
变式2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）化简求值：求代数式值，其中．
【题型5 平方差公式在几何图形中的应用】
例9．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）。
(1)上述操作能验证的等式是_______；
(2)若，，求的值；
(3)计算：．
例10．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．
(1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则______，______；
(2)根据简拼过程易得，从而得到关于a、b的等式为__________
(3)利用（2）中的结论，求的值．
变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______．
(2)请应用这个公式完成下列各题：
①已知，，求的值；
②计算：
变式2．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______．
(2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
【题型6 判断是否完全平方公式运算】
例11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）下列关系正确的是（ ）
A．B．
C． D．
例12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型7 运用完全平方公式进行运算】
例13．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：．
例14．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式：
(1)；
(2)．
【题型8 利用完全平方公式进行简便运算】
例15．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)．
例16．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
变式1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)．
变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型9 与乘法公式有关的化简求值问题】
例17．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，．
例18．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，．
变式1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，．
变式2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【题型10 通过对完全平方公式变形求值】
例19．（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值：
(1)；
(2).
例20．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求：
(1)的值；
(2)的值．
变式1．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)
变式2．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【题型11 求完全平方式中的字母系数】
例21．已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ．
例22．若是一个完全平方式，则 ．
变式1．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ．
变式2．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ．
【题型12 利用完全平方式求代数式的最值问题】
例23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，，
得．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
(3)求代数式的最小值，并求出此时的的值．
例24．（24-25八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
，．
当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出：的最小值为___________；
(2)求出代数式的最小值；
(3)若，求的最小值．
变式1．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）同学们，你们好！下面我们一起分析这样一个例题．
在认真分析例题后，解答下列问题：
(1)求多项式的最小值；
(2)求多项式的最大值；
(3)直接写出多项式的最小值．
变式2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
①，
；
；
代数式有最小值；
②，
；
；
代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______；
(2)求代数式的最小值；
(3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值．
【题型13 利用完全平方式求代数式的最值问题】
例25．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ．
(2)若，，求的值为： ．
(3)若，求的值为： ．
例26．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．
(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____；
拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
(2)若，且，求的值；
(3)若，求的值；
(4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．
变式1．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如： 若，，求 的值．
解：，，
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值．
(2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积．
变式2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索：
若x满足，求的值．
解：设，
则，
∴．
请仿照上面的方法求解问题：
(1)若x满足，求的值．
(2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
一、单选题
1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26八年级上·江西赣州·月考）下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（ ）
A．4B．8C．17D．34
二、填空题
6．（25-26八年级上·广东汕头·月考）计算： ； ．
7．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ．
8．（25-26七年级上·上海·期中）已知，那么 ．
9．（25-26八年级上·山西忻州·月考）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为 ．
10．（25-26七年级上·上海·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时， ．（用含的代数式表示）
三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·期末）计算：
(1)
(2)
12．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算：
(1)；
(2)．
13．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）先化简，再求值：，其中．
14．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中．
15．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，
(1)求的值
(2)求
16．（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
探索发现：
（1）如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： ．
解决问题：
（2）若满足，求的值．
（3）如图②，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ．
例题：求多项式的最小值．
解：
，
，
，
的最小值为2，
的最小值为2．