第01讲 幂的乘除（寒假预习讲义）七年级数学新北师大版（原卷版+解析版）

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第一步：学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：核心题型举一反三精准练
第二步：记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：同底数幂的乘法性质与逆用公式
1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）.
知识点2：幂的乘方法则与逆用公式
1.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：公式的推广： (，均为正整数)
2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，
从而解决问题.
知识点3：积的乘方法则与逆用公式
1.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：公式的推广： (为正整数).
2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，
计算更简便.如：
知识点4：同底数幂的除法
(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）逆用公式：即（都是正整数）.
知识点5：零指数幂与负整数指数幂
我们规定：.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。
我们规定：.这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.
知识点6：科学记数法
我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，；
类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，.
【题型1 同底数幂相乘】
例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（是正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【详解】（1）解：∵
（2）
（3）
（4）
例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，是解题的关键．
（1）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可；
（3）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题，结果用幂的形式表示．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键.
（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：
（1）根据同底数幂的乘法法则直接计算即可；
（2）先将底数化为相同，再利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）先计算乘方，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可；
（4）先利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【题型2 同底数幂乘法的逆用】
例3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出.
【详解】解：∵，，
∴
.
又∵，
∴，
∴.
故答案为：.
例4．（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知 ，，则= ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，逆用同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据逆用同底数幂乘法，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
变式1．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）若，，则 ；
【答案】10
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用．
逆用同底数幂的乘法计算即可．
【详解】解：．
故答案为：10．
变式2．（25-26八年级上·青海西宁·期中）已知，，则的值是 ．
【答案】
12
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的应用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算可得解.
【详解】解：，，
故答案为：.
【题型3 新定义有关同底数幂的运算】
例5．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）规定新运算“”：，如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)8；
(2)．
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答；
（2）根据定义的新运算可得，从而可得，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由可得
．
（2）解：由可得．
因为，
所以,
解得．
例6．（25-26七年级下·全国·假期作业）规定．
(1)求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)243
(2)1
【知识点】同底数幂相乘、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答．
（2）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以，则，
解得．
变式1．（2025七年级上·上海·专题练习）规定：．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)判断，与是否相等，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【知识点】有理数的乘方运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、同底数幂相乘
【分析】本题考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，解一元一次方程，解答本题的关键理解新定义，代入数据，求出相应式子的值．
（1）根据规定和同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据规定和同底数幂的乘法得到一个关于的一元一次方程，然后解方程即可求得的值；
（3）根据规定和同底数幂的乘法计算即可．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：，
，
，
．
（3）解：，
理由：，
，
．
变式2．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
①__，__；
②若，则______．
(2)若，，，试说明下列等式成立的理由：．
【答案】(1)①3，5；②2；
(2)见解析．
【知识点】同底数幂相乘、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解题题目所给新定义，明确运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数乘方的运算方法，以及同底数幂的运算法则．
（1）根据题目所给您新定义进行解答即可；
（2）根据题意可得，，，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3，5；
②根据题意可得：
，
∴，
解得：，
故答案为：2．
（2）解：∵，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
【题型4 幂的乘方运算】
例7．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：．
【答案】
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘法则，合并同类项，先根据幂的乘方，同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项即可．
【详解】解：
．
例8．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方及同底数幂的乘法是解题的关键；
（1）根据幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解；
（2）根据幂的乘方及合并同类项可进行求解
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
变式1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）（2）
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则，是解题的关键：
（1）先进行同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再合并同类项即可；
（2）先进行幂的乘方的运算，再进行同底数幂的乘法运算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
变式2．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【题型5 幂的乘方的逆用】
例9．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.
（2）利用同底数乘法的逆运算解答．
此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】（1）解：，
（2）解：∵，
∴．
∴．
例10．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算：
(1)若，，求的值．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)18
(2)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用
【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可；
（2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案；
熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵．
∴，
解得
变式1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)若，，求的值．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)72
(2)3
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算：
（1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解；
（2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
解得．
【题型6 利用幂的乘方比较大小】
例11．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）．
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据，，由，，得出，根据，即可得出结论．
【详解】解：，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
例12．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．）
解：，，且，
，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较的大小；
(3)比较与的大小；
(4)已知，，．求之间的等量关系．
【答案】(1)C
(2)
(3)
(4)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算：
（1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可；
（2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案；
（3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案；
（4）根据得到，进而得到，则．
【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则，
故答案为：C；
（2）解：∵，，，且，
∴；
（3）解：∵，，且，
∴．
（4）解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
变式1．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题．
材料一：比较和的大小．
解：因为，
所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较和的大小．
解：因为，
所以，即．
小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
(1)比较的大小；
(2)比较的大小；
(3)已知，比较的大小（均为大于1的数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键．
（1）根据材料一的方法求解即可；
（2）根据材料二的方法求解即可；
（3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴．
【题型7 积的乘方运算】
例13．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项
【分析】该题主要考查了幂的乘方和积的乘方以及合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可；
（2）根据幂的乘方和积的乘方先算乘方，然后合并即可；
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式．
例14．（24-24七年级下·山东滨州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】整式的加减运算、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指数的变化，不能出错．
（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果；
（2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式1．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
变式2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)0
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、整式的加减运算
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．
（1）先计算积和幂的乘方，再合并同类项即可；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【题型8 积的乘方的逆用】
例15．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值．
（2）已知，求x的值．
（3）计算．
【答案】（1）；（2）x=6；（3）
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用
【分析】（1）由可得，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解即可．
（3）先整理原式等于，再运算括号内，即可作答．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方的逆运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴解得x=6．
（3）
．
例16．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，……
(1)发现规律：______，______．
(2)应用规律：
①填空：______，______；
②计算：．
【答案】(1)，
(2)①1，1；②
【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算：
（1）根据题意计算求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算求解即可；
②把原式变形为，进而求解即可．
【详解】（1）根据题意得，，；
（2）①，
；
②
．
变式1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：．
解：原式．
(1)计算：
①；
②；
(2)若，请求出n的值．
【答案】(1)①1；②；
(2)4
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键．
（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果；
（2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值．
【详解】（1）解：①；
②
（2）解：∵
∴，
∴
∴，
∴，
解得：．
【题型9 同底数幂的除法】
例17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】本题主要查了同底数幂相除．根据同底数幂除法法则计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
例18．（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】（1）根据同底数幂的除法运算即可求解；
（2）根据同底数幂的除法运算即可求解；
（3）根据同底数幂的除法运算即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
变式1．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】（1）把当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可；
（2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算；
（3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
变式2．（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】（1）利用同底数幂的除法法则计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可；
（3）利用积的乘方和同底数幂的除法法则计算即可；
（4）先把，底数作为一个整体，利用同底数幂的乘法和除法计算即可；
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
【题型10 同底数幂除法的逆用】
例19．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）求值
(1)已知，求的值；（用含、的代数式表示）
(2)已知．求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同体数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）逆运用同底数幂的乘法解答即可；
（2）逆运用同底数幂的除法，幂的乘方解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
例20．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用．
（1）首先根据同底数幂的乘法法则求出m的值，然后利用同底数幂的乘除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方对整理为，然后求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∴
∴
∴
∴
；
（2）
∴
∴
∴．
变式1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
（1）根据，代入计算即可；
（2）根据，结合代入计算即可；
（3）根据，结合变形即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴．
（3）解：∵，
又，
∴，
∴．
变式2．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，
运算法则如下：．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
(1)填空：___________，___________；
(2)如果，求出的值；
(3)如果，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)3
(3)或或
【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂的除法运算
【分析】（1）直接利用例题的方法计算；
（2）利用例题方法得出，解方程即可；
（3）分类讨论，指数相等时，时，时，分别计算即可．
【详解】（1）解：；
；
故答案为；；
（2）解：，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：，
当时，；
当时， ；
当时，．
或或．
【题型11 幂的混合运算】
例21．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、幂的混合运算
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
例22．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【知识点】零指数幂、幂的混合运算
【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：
把代入，
得
变式2．（24-25七年级下·江苏·周测）先化简，再求值：
(1)，其中
(2)，其中
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】幂的混合运算
【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解；
（2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解．
【详解】（1）解：
当时，原式；
（2）解：
当时，原式．
【题型12 零指数幂、负整数指数幂】
例23．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）计算： ．
【答案】1
【知识点】零指数幂
【分析】本题考查了零指数幂．熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据零指数幂求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
例24．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）计算：
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ．
【答案】或或
【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂
【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于．
直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴当且时，
解得：；
当时，
解得：；
当且为偶数时，
解得：；
∴的值为或或．
故答案为：或或．
变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ．
【答案】4
【知识点】负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值．
【详解】解：∵无意义，
∴，
∴，
∴．
故答案为4．
变式3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列）
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得、、根据指数幂运算法则可得，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为： ．
【题型13 零指数幂、负整数指数幂综合计算】
例25．（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：．
【答案】9
【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂
【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减．
【详解】解：
．
例26．（24-25八年级下·全国·期末）计算：．
【答案】．
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂运算法则进行计算即可，解题的关键是熟知相关运算法则．
【详解】解：原式
．
变式1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关键．根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
变式2．（2025·云南昆明·一模）计算：
【答案】
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，再计算可得答案．
【详解】解：原式
．
【题型14 用科学计数法表示绝对值小于1的数】
例27．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：；
故答案为：．
例28．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键；
根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可．
【详解】解：；
故答案为：．
变式1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）．
【详解】解：，
故答案为：．
变式2．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此即可解答．
【详解】解：，
故答案为∶ ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·山西·月考）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．依据同底数幂的乘法法则计算，得出结果后匹配选项．
【详解】解：．
故选：A．
2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，A选项错误；
∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∴ ，B选项错误；
∵ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
∴ ，C选项正确；
∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴ ，D选项错误.
故选：C.
3．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在微米左右，微米等于米，数字用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】解：，
故选：C．
4．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）在数，，，中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，计算各数的值并比较大小即可．
【详解】∵ ．
．
．
．
又
∴ 最小的是．
故选： C．
5．（25-26八年级上·广东惠州·月考）已知，则的值为（ ）
A．9B．8C．6D．5
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可．
本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：A．
二、填空题
6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）计算： ； ； ；
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
第一个表达式，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
第二个表达式，根据幂的乘方，指数相乘，并注意负数的偶次幂为正；
第三个表达式，先用积的乘方计算，再用幂的乘方计算．
【详解】解：；
；
．
故答案为：；；．
7．（25-26八年级上·全国·期末）华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
8．（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，求出的值，根据计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ．
【答案】 2 4
【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键．
通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可．
【详解】解：
∵ ，
∴ ， ．
解得 ，．
故答案为：，．
10．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）若，则x的值为 ．
【答案】或1或0
【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键．
根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况．
【详解】解：根据，可分为以下三种情况，
①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求；
②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求；
③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求；
综上所述，的值为或或．
故答案为：或或．
三、解答题
11．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键．
先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
12．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算．
（1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项；
（2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项．
【详解】（1）解：
，
，
．
（2）解：
，
，
．
13．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键．
（1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解；
（2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解；
（3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
14．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（1）已知，，求代数式的值；
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则．
（1）利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算计算；
（2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算计算．
【详解】解：（1）∵，
．
（2）∵，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，
，
，
．
15．（25-26八年级上·江西上饶·月考）（1）已知，，求
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法是解决此题的关键．
（1）根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可；
（2）先将式子化为同底数幂相乘，然后代入求值即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴
（2）∵
∴
∴．
16．（25-26八年级上·全国·课后作业），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：．
(1)计算： ； ；
(2)如果，那么 ；如果，那么 ；
(3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值．
【答案】(1)，
(2)3，
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据计算求解即可；
（2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可；
（3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，；
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，为整数，
当时，；
当时，；
当时，
17．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ．
请你根据上面两个定义，解答下列问题：
(1)填空：=__________
(2)填空：= ．
(3)若，求的值．
【答案】(1)16
(2)48
(3)18
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算．
（1）根据①中所给公式直接进行求解即可；
（2）根据②中所给公式直接进行求解即可；
（3）根据题中所给公式直接代值求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
；
故答案为16；
（2）解：由题意得：
；
故答案为48；
（3）解：由题意得：，
∴，
∴．
18．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题．
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即．
一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即．
(1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________．
(2)【性质发现】
①观察、、之间满足的关系式是__________．
②归纳：__________（，且，，）．
③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论．
(3)【拓展延伸】
①当且，，时，__________．
②计算：__________．
【答案】(1)
(2)①；②；③见详解
(3)①；②2
【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答．
（2）①结合，得；
②根据①进行总结归纳，得（，且，，）．
③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即；
（3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答．
②结合，进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴；
（2）解：①由（1）得，，，
∵，
∴；
②由①得，且
∴（，且，，）．
③设，，（m，n是正整数）
则根据对数定义，,
利用同底数幂的乘法性质：，
∴,
即；
（3）解：①当且，，时，
设，，
则根据对数定义，，
利用同底数幂的除法性质：，
∴，
即，
，
②，
∵，
∴，
∴．