2025年高考数学试题分类汇编 专题02 平面向量与复数

这是一份2025年高考数学试题分类汇编 专题02 平面向量与复数，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2025·全国一卷）的虚部为（ ）
A．B．0C．1D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
2．（2025·全国二卷）已知，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
3．（2025·北京·高考）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】B
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
4．（2025·全国一卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
A．轻风B．微风C．和风D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
5．（2025·北京高考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
二、填空题
6．（2025天津高考）已知i是虚数单位，则 ．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得，所以.
故答案为：
7．（2025全国二卷）已知平面向量若，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
8．（2025天津高考）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案为：；.
9．（2025上海高考）已知复数z满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
【详解】设，
由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，
设，则，由图象可知，
所以.
故答案为：
10．（2025上海高考）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
2025年高考模拟试题分类汇编
一、单选题
1．（2025河南三模）设复数的共轭复数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，再根据复数的乘法计算即可.
【详解】由可得，则.
故选：.
2．（2025河南三模）若复数z满足 ，则复数z的共轭复数 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过复数的运算得出，然后根据共轭复数的概念求解.
【详解】根据题意，，
所以.
故选：D
3．（2025河南三模）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求出复数，再由在复平面内对应的点的对称性求得即可.
【详解】由，所以．
故选：C.
4．（2025·湖南二模）已知平面向量满足，则（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示、数量积的运算律求解.
【详解】由，得，所以．
故选：C
5．（2025·江西·三模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出的值，然后利用复数的除法计算出复数.
【详解】因为，所以.
所以.
故选：A.
6．（2025·辽宁·二模）若的虚部为，则（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算先求复数，根据复数的虚部为即可求解.
【详解】因为的虚部为，
所以，解得．
故选：A．
7．（2025·河北二模）若非零复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由结合条件即可求解.
【详解】由题意，因为，所以.
故选：C.
8．（2025·湖南三模）若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数四则运算求z，再由复数的几何意义可得.
【详解】因为
所以.
所以.
所以对应的点位于第一象限.
故选：A
9．（2025·河南三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（ ）
A．从点O出发，朝北偏西方向移动
B．从点O出发，朝北偏西方向移动
C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
【答案】C
【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可.
【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得，
设，因为，所以四边形OACB为菱形，
则，则为正三角形，所以，
故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km.
故选：C
10．（2025·山东三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值.
【详解】已知是实系数方程的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为.
对于方程，由韦达定理可得两根之和，其中，，则，即，解得.
由韦达定理可知两根之积，则.
可得：，即.
的值为，的值为.
故选：A.
11．（2025·湖南三模）若向量满足，且，则的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可得出结果.
【详解】∵，.
∴，，，∴，
且，则，
故选：B.
12．（2025·江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（ ）
A．-3B．0C．1D．4
【答案】A
【分析】设点，得到的坐标，由，可得，将其代入即可得解.
【详解】设点，则，
，所以，
因为，所以，
整理可得，
所以
故选：A
13．（2025·湖南三模）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B直线上，结合计算即可求解.
【详解】由，得，
即，又，
整理得.
设，则，
设，则，
所以，即点C在直线上；
设，由，得，即点B直线上，
而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离，
所以，
即的最小值为.
故选：D
15．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使得B．存在唯一的实数对，使得
C．存在唯一的实数对，使得D．存在唯一的实数对，使得
【答案】C
【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D.
【详解】因为向量，，则，，
对于A，当且仅当，即，
即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误；
对于B，当且仅当，
即，即，
当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得，
当时，此时，由此可知存在实数对，使得，
当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误；
对于C，当且仅当，解得，故C正确；
对于D，，
即，进而可得
故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误.
故选：C.
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风