2025年高考数学试题分类汇编 专题05 函数的概念与性质

这是一份2025年高考数学试题分类汇编 专题05 函数的概念与性质，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2025·全国一卷·）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
2．（2025·北京·高考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
【答案】A
【分析】由，根据平移法则即可解出．
【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，
故选：A.
3．（2025·天津·高考）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
二、多选题
4．（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．当且仅当D．是的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
5．（2025·北京）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：
①存在在上单调递增的函数使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足，
则，即，
故时，，故，
故即，矛盾，故①错误；
对于②，取，该函数为上的减函数且，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取，
此时，由可得有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在，使得，
令，则，但，矛盾，
故满足的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
四、解答题
6．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)且.
【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
2025年高考模拟试题分类汇编
一、单选题
1．（2025·河南三模）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】由求得，再由即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
则.
故选：C
2．（2025·广东三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由奇偶性判断方法去分析即可判断A；由指数函数图象性质即可判断B；由得函数定义域，再计算即可判断C；由正弦函数性质即可判断D；
【详解】对于A，易知的定义域为，关于原点对称，
又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故A错误；
对于B，函数是非奇非偶函数，故B错误；
对于C，，因为，
所以的定义域为关于原点对称，
又，
所以是奇函数，
又在上单调递增，为增函数，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，函数在上不为增函数，故D错误.
故选：C.
3．（2025·天津二模）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解.
【详解】的定义域为R，
则，
所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项；
又因为，故排除B选项.
故选：A．
4．（2025·山西三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由，易知其定义域为，
由
，则函数为偶函数，
，
由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
整理可得，分解因式可得，
解得.
故选：A
5．（2025·湖南三模）已知函数满足，，则（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】B
【分析】构造函数，通过其周期性，确定的周期性，即可求解.
【详解】
可得：，
即，
令，
则，
可得，
所以是以4为周期的函数，
所以也是以4为周期的函数，
所以，
令可得：，
结合，可得，
所以.
故选：B
6．（2025·广东·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解.
【详解】∵，∴.
∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
∴，，∴，
∴，.
∴.
故选：D.
7（2025·湖南三模）已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，若，均有，则（ ）
A．575B．598C．621D．624
【答案】C
【分析】由题意有，，利用，即可解得，进而得，即可求解.
【详解】由为偶函数有，又为奇函数，
所以，即，
因为，所以，
又，解得，即，
所以，又，
所以，所以，
故选：C.
9．（2025·安徽一模）已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由韦达定理可得出，，由对称性可得，分析函数的单调性，对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】因为是关于的方程的两个不等的实根，
所以，解得，且，
由，，
所以，函数的图象关于点对称，则，且，
又对任意的，都有成立，
所以在上单调递增，则该函数在上也为增函数，
从而可知，函数在R上为增函数，
由，可得，
解得，又，
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由函数的对称性得到，并结合函数单调性求解.
二、多选题
10．（2025·湖南三模）已知函数，则（ ）
A．是周期函数B．的最小值是C．的图象有对称轴D．的图象有对称中心
【答案】BC
【分析】根据周期函数的定义，判断A，根据三角函数的性质，即可判断B，根据对称函数的定义，即可判断CD.
【详解】对于选项A：若函数是周期函数，
则，
对任意都成立，
所以，
注意到，可知与有关，不是常数，
所以不是周期函数，故A错误；
对于选项B：设，
则的最小值为，故B正确；
对于选项C：因为，
所以的图象至少有一条对称轴，故C正确；
对于选项D：若是函数的对称中心，则，
即，
显然随着的变化而变化，所以函数没有对称中心，故D错误.
故选：BC.
11．（2025·河北三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可.
【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ，
又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；
对于 C，由，令，得，则，
，故C正确；
对于D，由，则，又，是周期为4的函数，
则，
而的值无法确定，故D错误.
故选：AC.