2024年高考数学试题分类汇编 专题02 平面向量

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1．（新课标全国Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（新课标全国Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（全国甲卷数学（理））已知向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
4．（新高考北京卷）已知向量，，则“”是“或”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（新高考天津卷）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
6．（新高考上海卷）已知，且，则的值为 ．
2024高考模拟试题汇编
一、单选题
1．（2024·山东·三模）已知向量，，，若，则实数（ ）
A．-6B．-5C．5D．6
2．（2024·河北·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽·二模）已知向量，若，则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河南·三模）已知向量，向量在上的投影向量为，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
5．（2024·湖南·二模）已知向量 中， 是单位向量， 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．2B．C．D．-1
6．（2024·河北·三模）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．与有关
7．（2024·广东·三模）设向量，，当，且时，则记作；当，且时，则记作，有下面四个结论：
①若，，则；
②若且，则；
③若，则对于任意向量，都有；
④若，则对于任意向量，都有；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．①④
8．（2024·四川·三模）已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．B．1C．D．
9．（2024·河北·二模）在中，为中点，连接，设为中点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·广东·模拟预测）设，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数使得
D．的夹角的取值范围是
13．（2024·江西·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（ ）
A．面积的最大值为12B．的最大值为72
C．若，则的最小值为10D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
三、填空题
14．（2024·湖南·三模）在，已知，.则 .
15．（2024·江西·二模）在中，已知，为线段的中点，若，则 ．
16．（2024·河北·二模）已知向量的夹角的余弦值为，，且，则 ．
2024高考真题汇编
1.【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
2.故选：D.
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
3.【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
4【答案】A
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：A.
5【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
6【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，解得．
故答案为：15．
2024高考模拟试题汇编
【答案】C
【分析】利用向量的坐标运算及向量的夹角公式即可求解.
【详解】由，，
所以，
由，得，
所以，
因为，，
所以，解得.
故选：C.
【答案】A
【分析】先计算向量的模，再计算与的数量积，进而可得夹角的余弦值，可得答案.
【详解】，故．
，设与的夹角为，
则，又，故，
故选：A．
【答案】D
【分析】利用向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标关系可直接求得答案.
【详解】，
由可得，，整理得．
故选：D.
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义式，结合题意即可求得.
【详解】由向量，可得，
因向量在上的投影向量为，
由题意，，解得.
故选：A.
【答案】B
【分析】根据数量积的定义及运算律求解.
【详解】，
所以 .
故选：B
【答案】C
【分析】根据向量模长的坐标表示可得，进而可得，结合投影向量的定义分析求解.
【详解】由题意可知：，
所以在方向上的投影向量为.
故选：C.
7.【答案】C
【分析】根据题意结合向量的坐标运算逐项分析①③，举反例判断②④.
【详解】对于①：若，，则，所以，故①正确；
对于②：取，满足，
则，满足，但，故②错误；
对于③：若，则，且，
设，则，
可知，所以，故③正确；
对于④：取，可知，
但，即，故④错误；
故选：C.
8【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的几何意义及坐标运算求解投影即可.
【详解】因为向量，所以向量在向量方向上的投影是.
故选：C.
9.【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理将用表示出来，再用向量的线性运算把用表示即可.
【详解】由于，所以，
故选：D
10【答案】D
【分析】由向量垂直得，再利用向量夹角的坐标运算求解即可.
【详解】因为，
又，所以，得到，
所以，得到，
所以.
故选：D
11.【答案】C
【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.
【详解】解：由题可建立如图所示坐标系：
由图可得：，
又，
故直线的方程：，可得，
所以，
故选：C.
12.【答案】BC
【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得.
【详解】对A：若，即，即，此时不能作基底，故A错误；
对B：，
故有最小值，故B正确；
对C：若，则有
即，即，即，
解得，即当时，，故C正确；
对D：由A知，若，则，即只能同向不能反向，
故的夹角不可能为，故D错误.
故选：BC.
13【答案】ABD
【分析】设点，由条件可得点M的轨迹方程，即可判断A，由向量数量积的运算律代入计算，即可判断B，由点与圆的位置关系，即可判断C，由角平分线定理即可判断D
【详解】对于A，设点，由，得，
化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆，
所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N，，
当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误；
对于D，由，，有，当点M不在x轴上时，
由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确．
故选：ABD．
14【答案】
【分析】先由可得角，由可得，结合角的关系，解方程即可得答案.
【详解】设，，，
由得，所以.
又，因此，.
由，得；
于是，
所以，
∴，即.
∵，∴，∴，
∴或，∴或.
又∵，∴，，，则.
故答案为：
15【答案】
【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，在中，已知，则，
由于为线段的中点，
则，
又，、不共线，故，，
所以．
故答案为：．
16【答案】4
【分析】利用向量数量积的定义，由已知得，代入，求的值.
【详解】向量的夹角的余弦值为，，则，
由，解得(负值舍去)．
故答案为：4.