四川省内江市2025_2026学年高一数学上学期开学测试试题含解析

这是一份四川省内江市2025_2026学年高一数学上学期开学测试试题含解析，共27页。试卷主要包含了 下列各对数是互为倒数的是， “白日不到处，青春恰自来， 下列计算正确的是， 某班四个小组的人数如下， 二次函数 图象如图，下列结论等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各对数是互为倒数的是（ ）
A. 1 和 B. 和
C. 和 D. 0 和 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据互为倒数的定义即可得到答案.
【详解】根据互为倒数的定义知 和 互为倒数.
故选：C.
2. “白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示
我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所
写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢荫，某孢子体的苞荫直径约为 ，将数据 用科
学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学计数法的含义即可得到答案.
【详解】根据科学计数法的含义得 用科学记数法表示为： .
故选：B.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据指数幂的运算即可判断.
【详解】对 A， ，故 A 错误；
对 B， ，故 B 错误；
对 C， ，故 C 错误；
对 D， ，故 D 正确
故选：D.
4. 如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正视图即可得到答案.
【详解】根据正视图可知其正面看得到的平面图形是：
.
故选：B.
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断.
【详解】显然 A,C 的图形不是轴对称图形，故 AC 错误；
B 中的图形不是中心对称图形，故 B 错误；
而 D 中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 D 正确.
故选：D.
6. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 ，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. ≌ D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用垂径定理逐项判断 AB；利用三角形全等证明 C；M 在 AB 上的位置不能确定即可判断 D.
【详解】因为 AB 是⊙O 的直径，弦 ，垂足为 M，所以 ， ，故选项 AB 正确；
因为 ， ，且 ，
所以 ≌ ，故选项 C 正确；
由于不能确定 M 在 AB 上的位置，故 不一定成立，故 D 错误.
故选：D
7. 函数 中自变量 x 的值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据根号下大于等于 0 得到 的范围即可得答案.
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【详解】由题意得 ，解得 ，
则自变量 x 的值可以是 3.
故选：A.
8. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则 x 的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 或 12 D. 7 或 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数与平均数定义，对 的取值进行分类讨论即可得出结果.
【详解】当 时，将数据进行排列，得到 ，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以 ，解得 ，
当 时，将数据进行排列，得到 ，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以 ，
解得 ，与范围不符，故排除
当 时，将数据进行排列，得到 ，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以 ，
解得 ，经检验， 和 均符合题意.
故选：C
9. 观察如图所示的程序，若输入 x 为 2，则输出的结果为（ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
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【分析】结合题设直接求解即可.
【详解】由题意，若输入 x 为 2，则计算 .
故选：B.
10. 二次函数 图象如图，下列结论：① ；② ；③当 时，
；④ .其中正确的有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据开口判断 ，再根据对称轴得到 ，根据图像得到 ，最后逐一分析选项即可.
【详解】 抛物线开口向下， ，
抛物线的对称轴为直线 ， ，
抛物线与 轴的交点在 轴上方， ，
，所以①错误；
， ，所以②正确；
抛物线的对称轴为 ，
当 时的函数值有最大值，
，
，所以③正确；
时， ，
，所以④错误．
其中正确的选项有：②③，共 2 个．
故选：C．
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11. 如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点 A 在 x 轴的正半轴上.顶点 B 的坐标为 ，点 C
的坐标为 ，且 ，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点 作关于 的对称点 ，利用三点共线即可得到最小值为 ，再根据勾股定理求出其长
度即可.
【详解】如图，过点 作关于 的对称点 ，连接 与 相交，
则 与 的交点，即为所求的点 ， 的最小值 ，
过点 作 于 ，
点 的坐标为 ，且 ，
， ，
顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
， ，
在 Rt 中，由勾股定理得， .
故选：C.
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12. 如图，在平面直角坐标系中，点 是平行四边形 内一点， 轴，且 ， 轴，
连接 并延长 与 交于点 ， ， 的面积为 .若反比例函数 的
图象经过点 和点 ，则 的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 12 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】延长 交 轴于点 ，作 垂直 轴， ，设 ，根据反比例函
数的性质及全等三角形的性质求得 与 的关系式，即可求解.
【详解】
如图，延长 交 轴于点 ，作 垂直 轴， ，
设 ，则 ，
则 ， ，
，即 ，
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，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 ，所以 ，
在平行四边形 中， ，
所以 ，
又因为 轴，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
二.填空题（每小题 5 分，满分 20 分）
13. 因式分解： _____________ .
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式并结合完全平方公式即可因式分解.
【详解】 .
故答案为： .
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14. 如图，边长为 10 的菱形 ABCD，对角线 ，分别以点 A，B，C，D 为圆心，5 为半径画弧，与
该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ______ .（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】先利用菱形 ABCD 性质求得 ，再求出菱形 ABCD 的面积，进而结合圆的面积公式利用面
积割补法求解即可.
【详解】如图，记对角线 AC 与 BD 交于点 O，
∵菱形 ABCD 中， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴菱形 ABCD 的面积为 ，
∵ ，
∴四个扇形的面积面积之和等于一个以 的长为半径的圆的面积，
∴图中阴影部分的面积为 .
故答案 ： .
15. 关于 x 的分式方程 的解满足不等式 ，则 a 的取值范围是
______________ .
【答案】 且
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【解析】
【分析】先求出分式方程和不等式，再进行求解即可.
【详解】由 ，则 ，
则 ，即 ，解得 ，
由 ，则 ，解得 ，
由题意得 ， ，则 且 .
故答案为： 且 .
16. 如果一个等腰三角形的顶角为 ，那么其底边与腰之比等于 .我们把这样的等腰三角形称作黄金
三角形.如图，在 中， ， ， 看作第一个黄金三角形；作 的平
分线 ，交 于点 ， 看作第二个黄金三角形；作 的平分线 ，交 于点 ，
看作第三个黄金三角形；…以此类推，第 n 个黄金三角形的腰长是 ________ .
【答案】
【解析】
【分析】依次求出黄金三角形的腰长，发现规律即可求解.
【详解】由题知，
第 1 个黄金三角形的腰长为 AB，所以第 1 个黄金三角形的腰长为 1；
第 2 个黄金三角形的腰长为 BC，且 ，
所以 ，即第 2 个黄金三角形的腰长为 ；
第 3 个黄金三角形的腰长为 CD，且 ，
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所以 ，即第 3 个黄金三角形的腰长为 ；
…，
依次类推，第 n 个黄金三角形的腰长为 .
故答案为： .
三.解答题
17. 计算： .
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的余弦值、负整数指数幂的运算、二次根式的化简计算即可.
【详解】原式 .
18. 如图，已知 E、F 分别是平行四边形 的边 BC、AD 上的点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，直接判断四边形 的形状是 .
【答案】（1）证明见解析
（2）菱形
【解析】
【分析】1）由平行四边形的性质可得 ，再由 ，可得 ，
即可利用 SAS 定理判定 ；
（2）首先证明 ，再结合 可得 ，进而结合菱形的特征即可
判断.
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【小问 1 详解】
证明：连接 AE，CF，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
【小问 2 详解】
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 AECF 是菱形，
19. 希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
调查目
了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 的
调查方
随机问卷调查 式
调查对 随机问卷调查部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在 1～3.5h 范
象 围内）
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（1）你的周家务劳动时间（单位：h）是
调查内 ①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5
容 （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）
A.家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E.陶艺
调查结
果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为
度；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有 800 人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，
求两人恰好选到同一门课程的概率.
【答案】（1）100；
（2）频数分布直方图见解析
（3）176 人 （4）
【解析】
【分析】（1）利用 可求总人数；由第④组的频率可得扇形的圆心角是 ，计算即可.
（2）求出周家条劳动时间是 2～2.5 的人数即可求解.
（3）根据频数与频率的关系即可求解.
（4）列举出所有可能的结果，找到两人恰好选到同一门课程的结果，即可求解概率.
【小问 1 详解】
参与本次问卷调查的学生人数为 （名）.
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在扇形统计图中，第④组所对应扇形 圆心角的度数为 .
故答案为：100；
【小问 2 详解】
周家条劳动时间是③2～2.5 的人数为 （人）.
补全周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示.
【小问 3 详解】
（人）.
∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数约 176 人.
【小问 4 详解】
列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有 25 种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有 5 种，
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∴两人恰好选到同一门课程的概率为 .
20. 茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，融合了雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多样的中国古建筑元素，展
现了浓郁的地方古建筑特色，是信阳市的文化与形象象征.某数学课外活动小组开展了“测量茗阳阁的高度”
的课题活动，具体方案及数据如表：
课题 测量茗阳阁的高度
活动小组在距坡底 C 处 的
E 处测得茗阳阁顶 A 的仰角为 ，
测量
在坡底 C 处测得茗阳阁顶 A 的仰
方案
角为 .B，C，F 三点在同一直线
上.
测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角 的度
测量
数
数据
仰角 的度
数
参考
CE 的坡度 ， ， ， . 数据
求茗阳阁的高度 AB.（结果精确到整数）
【答案】
【解析】
【分析】过点 E 作 于点 D，设 ，得到方程解出 值，再设 ，利用正切三角
函数定义得到 ，解出即可.
【详解】由题意得 ， .
如图，过点 E 作 于点 D，则四边形 为矩形.
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的坡度 ,
故设 ， ，则 ， ，解得 .
， .
设 ， ， .
.
由条件可知 ， .
在 中， ， ，
.
，解得 .
答：茗阳阁的高度 AB 约为 .
21. 荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便.某水果店将进价为 18 元/千克的荔枝，以 28 元/千克售出时，每
天能售出 40 千克.市场调研表明：当售价每降低 1 元/千克时，平均每天能多售出 10 千克，设降价 x 元.
（1）设销售利润为 y，请写出 y 关于 x 的函数关系式；
（2）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到 480 元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少
元/千克？
【答案】（1）
（2）24 元/千克
【解析】
【分析】（1）根据题意列出函数关系式化简即可求解；
（2）令 ，解方程即可.
【小问 1 详解】
根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝： 千克，
∴ ，整理得 .
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【小问 2 详解】
令 ，代入函数得 ，解得 或 4，
∵要尽可能地减少库存压力，∴ ，
此时荔枝定价为 （元/千克）.
四.填空题（满分 24 分，每小题 6 分）
22. 关于 x 的方程 的一个根为 ，则该方程的另一个根是 _____ .
【答案】3
【解析】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得.
【详解】由题意得，关于 x 的方程 有两个根，
∴ ，
∵方程 的一个根为 ，
∴设方程的另一个根为 m，则： ，
∴ ，
故答案为：3.
23. 如图，平行四边形 ABCD 中， ，动点 P 从点 A 出发沿折线
运动，到达点 C 停止运动.在运动过程中，过点 P 作 于点 H，设点 P 的运动路程为 ，
记为 的图象与 的图象有 1 个公共点时 m 的取值范围______ .
【答案】 或
【解析】
【分析】过点 A 作 ，利用等面积法求得 ，当点 P 在 AB 上时， ，则
；当点 P 在 CB 上时，同理可得 ，描点连线绘制图象，结合图象直接求解 m 的取值范围.
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【详解】过点 A 作 于点 M，
则 ，
则平行四边形 ABCD 的面积为 ，即 ，则 ，
当点 P 在 AB 上时，则 ，则 ；
当点 P 在 CB 上时，同理可得： ，
即 y1 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
根据上述 3 点坐标描点、连线绘制图象如下：
当图象 过 和 、 时，为符合题意的临界点，
当图象 过 时，则 ，
直线 k 的表达式为： ，即 ，
当图象 过 时，则 6 10+m，则 ，
故 或 ，
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故答案为： 或 .
24. 如图，在 中， ，角平分线 ， 交于点 M.现给出以下结论：①
；② ；③ ；④点 M 关于 AC 的对称点一定在 的外接圆上.其中正确的是
________ .（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用角平分线性质即可判断①，根据圆心角和弧关系即可判断②；利用三角形全等 即可判断③；
利用角互补和共圆关系即可判断④.
【详解】如图， ， ，
分别是 ， 的角平分线，
，
，故①正确，
， ，
， 四点共圆，
连接 ，则 ，
， ，故②正确，
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
在 和 中， ，
，因 ，
则 ，
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， ，
在 和 中， ，
， ，
，故③正确，
如图作出点 关于 AC 的对称点 ，连接 ，则 ，
，
，因 不一定为 ，故 与 不一定互补，
∴点 不一定在 的外接圆上，故④错误，
故答案为：①②③.
25. 如图，在▱ABCD 中， ，点 E 为 BC 边上一点， ，点 F 是 AB 边上
的动点，将 沿直线 EF 折叠得到 ，若点 恰好落在线段 DE 上，则 AF 的值为______ .
【答案】
【解析】
【分析】作 于 M，作 交 BC 延长线于 N，用勾股定理得 ，进而求得 ，
，再证明 ，用勾股定理得 ，分别延长 EF，DA 交于点 P，由翻折可知
，求得 ，由 得 ，即可求解.
【详解】作 于 M，作 交 BC 延长线于 N，
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∴ 、 都是直角三角形，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，即 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
分别延长 EF，DA 交于点 P，
由翻折可知， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ∽ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
五.解答题（满分 36 分，每小题 12 分）
26. 小明探究下列问题：商场将单价不同 甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖.若该商场采用下两种不同方
式混合：方式 1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式 2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合.哪种混合
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方式的什锦糖的单价更低？
（1）小明设甲、乙糖果的单价分别为 a、b，用含 a、b 的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价请
你写出他的解答过程；
（2）为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：结论 1：若 ，则 ；若
，则 ；若 ，则 ；结论 2：反比例函数 的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论 3：若 P 的坐标为 ，Q 的坐标为 ，则线段 PQ 的中点坐标为 ，.小
明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论 1 求解；
②利用结论 2、结论 3 求解.
【答案】（1）方式 1 混合的什锦糖的单价为 ，方式 2 混合的什锦糖的单价为
（2）①方式 2 将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低；
②方式 2 将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低
【解析】
【分析】（1）设甲、乙糖果的质量均为 ，利用单价的公式求得方式 1 的混合单价，设甲、乙糖果的总价均
为 ，利用单价的公式求得方式 2 的混合单价.
（2）①利用作差法比较大小即可得解；
②结合中点坐标公式，利用反比例函数图象与性质比较大小即可得解.
【小问 1 详解】
设按方式 1 混合后单价为 m，按方式 2 混合后单价为 n，
设甲、乙糖果的质量均为 ，则总质量为 ，所以 ，
设甲、乙糖果的总价均为 ，则甲、乙糖果的质量分别为 ，总质量为 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
①设按方式 1 混合后单价为 m，按方式 2 混合后单价为 n，
则 ，则 ，
因为甲，乙单价不同，所以 ，则 ，
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又 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以方式 2 将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低；
②由①知， ，则有 ，
如图：
设 是反比例函数 的图象上的两点，C 是线段 的中点，
令点 的纵坐标分别为 ，不妨设 ，过点 C 作 轴，垂足为 D，
CD 与函数图象交于点 E，由结论 2 得点 的横坐标分别为 ，
由结论 3，得点 C 的坐标为 ，因为点 C 与点 E 的横坐标相等，所以点 E 的横坐标为 ，
由结论 2 得点 E 的坐标为 ，因为点 E 是线段 上一点，且不与点 重合，
所以 ，所以 ，
所以方式 2 将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低.
27. 欧几里德，古希腊著名数学家.被称为“几何之父”.他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总
结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知
点作直线切于已知圆”.如图 1，设点 P 是已知点，圆 O 是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作
图：①连接 ，作线段 的中点 A；②以 A 为圆心，以 为半径作圆 A，与圆 O 交于两点 Q 和 R；
③连接 、 ，则 、 是圆 O 的切线.
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（1）按照上述作图步骤在图 1 中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）；
（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR 是圆 O 的切线”的过程；
（3）如图 2，连接 并延长交圆 O 于点 B，连接 BR，已知 ，圆 O 的半径 ，求 .
【答案】（1）图形见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和关系得到 ，则证明 是圆 O 的切线，同理可得另外
一条切线；
（3）首先证明 ，从而求得 ，再利用勾股定理即可得到答案.
【小问 1 详解】
如图 1，
【小问 2 详解】
连接 ，如图 2，
， ，
， ， ，
是圆 O 半径， 是圆 O 的切线，
同理可得， 是圆 O 的切线；
【小问 3 详解】
第 24页/共 27页
连接 交 于点 H，连接 ，如图 3，
、 是圆 O 的切线， ，
， 是线段 的垂直平分线，
， ，
， ， ，
， ， ，
，即 ，
在 中， ，
，
解得 （负值舍去）.
28. 如图，已知直线 与抛物线 相交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，
点 在抛物线上.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）正方形 OPDE 的顶点 O 为直角坐标系原点，顶点 P 在线段 OC 上，顶点 E 在 y 轴正半轴上，若
与 全等，求点 P 的坐标；
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（3）在条件（2）下，点 Q 是线段 CD 上的动点（点 Q 不与点 D 重合），将 沿 PQ 所在的直线翻折
得到 ，连接 ，求线段 长度的最小值.
【答案】（1）
（2） 或
（3）1
【解析】
【分析】（1）先根据直线求出点 A、点 B 的坐标，然后将点 A、点 B、点 C 的坐标代入抛物线方程求解即可；
（2）分两种情况讨论： ≌ 和 ≌ ，利用全等三角形的性质求解即可；
（3）根据点 的运动轨迹，求得当点 ，P，C 三点共线时， 有最小值，即可得解.
【小问 1 详解】
在直线 中，当 时， ，当 时， ，
∴点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，
把点 ，点 ，点 代入 ，
，解得 ，
∴抛物线 解析式为 ；
【小问 2 详解】
①当 ≌ 时， ，
又∵四边形 OPDE 为正方形，∴ ，
此时点 P 的坐标为 ，
②当 ≌ 时， ，
又∵四边形 OPDE 为正方形，∴ ，
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此时点 P 的坐标为 ，
综上，点 P 的坐标为 或 ；
【小问 3 详解】
如图，
点 在以点 P 为圆心，DP 为半径的圆上运动，
∴当点 ，点 P，点 C 三点共线时， 有最小值，
由（2）可得点 P 的坐标为 或 ，且 C 点坐标为 ，
∴ 的最小值为 1.
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