四川省绵阳市2025_2026学年高一数学上学期开学分班检测试卷含解析

这是一份四川省绵阳市2025_2026学年高一数学上学期开学分班检测试卷含解析，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数－ ，0， ， ， ， 中，无理数的个数是（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】利用无理数的定义，即可知所给实数中无理数的个数.
【详解】由无理数的定义知， 、 ， 是无理数，其它的是有理数，
∴一共有 3 个无理数.
故选：C
2. 有以下 20 个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，
88，它们的和是（ ）
A. 1789 B. 1799 C. 1879 D. 1899
【答案】B
【解析】
【分析】直接计算即可.
【详解】解：由题意知本题是一个求和问题，
.
故选：B．
3. 如图， 为 的两条弦，连接 ，点 为 的延长线上一点，若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】计算弦 对应的圆周角为 ，再由 得 ，然后根据弦 对
应的圆心角为圆周角的 2 倍计算即可.
【详解】由题意，因为 ,
所以 ,
如图所示，连接 ,
所以弦 对应的圆周角为 ，
且 ，
所以 ，
所以弦 对应的圆心角为 .
故选：C.
4. 一组数据按从小到大的顺序排列为 ，若该组数据的第 60 百分位数是众数的 倍，则该组
数据的方差是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数与众数 计算求解可得 ，再计算方差即可.
【详解】由题意该组数据共 7 个数， ，故第 60 百分位数为从小到大第 5 个数 ，又众数为 4，
故 ，
故该组数据的平均数为 ，
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故该组数据的方差是
.
故选：B
5. 在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为 ，又在新盐水中加入与前述“一
杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为 ，那么原来盐水的浓度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据溶液 浓度 溶质，可得到两个方程，解方程组即可．
【详解】解：设原盐水溶液为 克，其中含纯盐 克，后加入“一杯水”为 克，
依题意得： ，
解得 ，
故原盐水的浓度为 ，
故选：B．
6. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，先测得 ,则点 到
的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】过点 作 ，垂足为 ，在直角 中，即可求解.
【详解】如图所示，过点 作 ，垂足为 ，
在直角 中， ，可得 ，
即 到 的距离为 .
故选：A.
7. 用 表示 a，b 两数中的最小数，若函数 ，则 y 的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 由 于 ， 又 由 于 表 示 a， b 两 数 中 的 最 小 数 ， 则
表示 与 中的最小数；根据解析式即可画出函数图象．
【详解】 表示 与 中的最小数，
∵ ，
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∴当 时，即 或 时， ；
当 时，即 时， ；
可知，当 时， ，当 时， ，
则函数图象与 x 轴的交点坐标为 ， ，
与 y 轴的交点坐标为 ，结合选项，只有 A 选项图象符合题意．
故选：A．
二、多选题
8. 下列各组数轴上的点中，点 C 位于点 D 的右侧的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，结合数轴的性质，对选项逐一分析点的位置，即可求解.
【详解】对于 A 中，根据数轴的性质，可得 在 右侧，符合题意；
对于 B 中，根据数轴的性质，可得 在 左侧，不符合题意；
对于 C 中，根据数轴的性质，可得 在 右侧，不符合题意；
对于 D 中，根据数轴的性质，可得 在 左侧，不符合题意.
故选：AC
三、填空题
9. 计算 的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】直接计算得到答案.
【详解】 .
故答案为： .
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10. 已知定义在 上的偶函数 ，当 时， ，则 的值为
__________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据定义域关于原点对称可得 ，进而根据偶函数的性质即可代入求解.
【详解】 是定义在 上的偶函数， ，得 .
又当 时， .
又 是偶函数，
所以 .
故答案 ：8
11. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度 （ ）与
温度 （ ）部分对应数值如下表：研究发现 ， 满足公式 （ ， 为常数，且 ）.当温度
为 时，声音传播的速度 为______
温度 （ ） 0 10 30
声音传播的速度 （ ） 324 330 336 348
【答案】342
【解析】
【分析】先根据表格数据求出 的值，进而得出 的表达式，然后将 代入计算即可.
【详解】由题意，当 时， ，
则 ，①
当 时， ，
则 ，②
联立 ①②解得 ，
所以 ，
将 代入，则 （ ），
故答案为：342.
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12. 由一次函数 ， 和 轴围成的三角形与圆心在 、半径为 1 的圆构成的图形覆盖
的面积等于______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出图形，进而求面积.
【详解】构成的图形为三角形和一个半圆，如图所示：
所以图形覆盖的面积为 .
故答案为： .
13. 在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知 点坐标为 ，过点 作 轴交
抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点
作 交抛物线于点 ……，依次进行下去，则点 的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数性质可得出点 的坐标，求得直线 为 ，联立方程求得 的坐标，即
可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点
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的坐标．
【详解】解：∵ 点坐标为 ，
∴直线 为 ， ，
∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，
∴
…，
∴ ，
故答案为：
14. 若直角三角形中有两边的边长为 x、y，这两边长都是质数，且使得代数式 及 的值都是正
整数，则此直角三角形的第三边的长是_______________.
【答案】12 或
【解析】
【分析】令 ， 且 都为正整数，整理得 ， 为质数，讨
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论质数 确定 的值，进而确定直角三角形第三边长.
【详解】令 ， 且 都为正整数，则 ，
所以 ，整理得 ， 为质数，
当 时， ，则 ， ，此时 不符，
当 时， ，则不存在正整数 使等式成立，
当 时， ，则 ， ，此时 符合，
当 时， ，则不存在正整数 使等式成立，
当质数 时， 均不存在正整数 使等式成立，
综上， ， ，
若 为直角边时，第三边长为 ，若 为斜边， 为直角边时，第三边长为 ，
所以第三边长为 12 或 .
故答案为：12 或
15. 定义：如果函数 在 上行仕 ，满足
，则称函数 是 上的“双中值函数"，已知函数
是 上“双中值函数"，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可知 在 内有两个不同的根，结合二次函数根的分布，即
可求解.
【详解】根据题意，得 ，
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根据“双中值函数”的定义可知， 在 内有两个不同的根，
即 在 内有两个不同的根，
结合二次函数根的分布可知， ，解得 .
故答案为： .
16. 几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关
于五角星结构的问题.如图，一个边长为 1 的正五边形 有 5 条对角线，这些对角线分别相交于 ，
， ， ， 五点，它们组成了另一个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部
分的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正五边形的性质，可求得各个角度，进而可得 相似于 ，计算可得 的长，
则所求落在阴影部分概率，即为阴影面积与正五边形 面积之比，即可得答案.
【详解】因为正五边形 ，
所以每个内角度数为 ，
即 ，
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所以在 中， ，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
因为 ， ，
所以 相似于 ，
所以 ，即 ，解得 （负值舍去），
所以 ，
则这个点取在阴影部分的概率 .
故答案为：
17. 如图，矩形 的对角线交于点 ，将 沿着 翻折到 ， 与 交于点 .设
， 的面积为 ，则 ______.（用 和 表示）
【答案】
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【解析】
【分析】设 ，利用平面几何知识和题设条件求得 ，根据三角形面积相等求得
，在 中，利用三角函数求出 ，从而得到 ，将
代入化简即得结果.
【详解】设 ，由题意， ，
在 中， ，则 ，
因矩形 ， ，则 ，
又 ，联立解得 (*)，
因 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
故 ，
将(*)代入，可得 .
故答案为： .
18. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对 这 个自然数中，任取两数之和不大于 的取法种数
进行了探究.发现：当 时，只有 一种取法，即 ；当 时，有 和 两种取法，即
；当 时，可得 ；……若 时，则 的值为______；若 ，则 的值为______.
【答案】 ①. 16 ②. 2550
【解析】
【分析】根据探究总结发现规律，分别求出 时， 的值即可.
【详解】由题意知：当 时，
设在 这 8 个数中任取两数分别为 ，则满足 取法有：
当 时， 可以取 共 7 种，
当 时， 可以取 共 5 种，
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当 时， 可以取 共 3 种，
当 时， 可以取 共 1 种，
所以此时 ，
由题意知：当 时，
设在 这 101 个数中任取两数分别为 ，则满足 取法有：
当 时， 可以取 共 100 种，
当 时， 可以取 共 98 种，
当 时， 可以取 共 96 种，
当 时， 可以取 共 94 种，
当 时， 可以取 共 4 种，
当 时， 可以取 共 2 种，
当 时， 没有满足条件的值，
所以当 时，
，
故答案为：16；2550.
四、解答题
19. （1）计算： .
（2）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先算开方，绝对值，零次幂和乘方，最后算加减法即可；
（2）先化简原式，再把 代入求解即可.
【详解】（1）
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；
（2）原式 ，
把 代入得原式 .
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及化简求值问题.属于较易题.
20. 2010 年我国进行了第六次人口普查，2011 年 4 月国家统计局发布了此次普查的主要数据.国家统计局的
公告中有下面两张图.
（1）图 1 是我们学习的图表中的哪一种？此图反映怎样的信息？
（2）根据这两张图，给出你的分析结论.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由图可得我国的人数越来越多；
（2）由图可得人口流动越来越大.
【小问 1 详解】
这是个条形统计图，纵坐标对应人数，说明我国的人数越来越多.
【小问 2 详解】
由图可得我国的人数越来越多，且离开户口登记地所在的乡镇街道半年以上人口占比越来越大，说明人口
流动越来越大.
21. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象分别交于点 和点 ，与
坐标轴分别交于点 和点 ．
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（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在 轴上是否存在点 ，使 与 相似，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1） ； ；
（2）存在， 或 ．
【解析】
【分析】（1）将点 代入解析式 ，求出 ，将 代入 求得 ，将 ，
代入 ，求出 即得答案；
（2）分 与 两种情况，分别求解即得答案.
【小问 1 详解】
把点 代入 ，解 得
反比例函数的表达式为
点 在 图象上， ，即
把 ， 两点代入 ，可得 ，
解得 ，
所以一次函数的表达式为 ．
【小问 2 详解】
由（1）已得 ，
当 时， ， ，即 ．
当 时， ， ，即 ，
由勾股定理， ，
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， ，
设 ，由题意，点 在点 左侧，则 ，显然
①如图，当 时，
， ，
解得 ，故点 坐标为 ；
②如图，当 时，
， ，
解得 ，即点 的坐标为 .
因此，点 的坐标为 或 时， 与 相似．
22. 过点 任作直线 交曲线 于 两点，过 作斜率为 的直线 交曲线 于
另一点 ．求证：直线 与直线 的交点为定点（ 为坐标原点），并求出该定点．
【答案】证明见解析，
【解析】
【分析】做变换 ，将椭圆还原为圆，设 与圆交于 ．弧 对应圆心角为 ，设弧
对应圆心角为 ,连接 ，由几何知识可得 ，从而可得
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，据此可得答案.
【详解】如图，做变换 ，由 ，即将椭圆还原成圆，
则点 ， 斜率为 ， 斜率为 1，
所以 ，由垂径定理， 关于直线 对称，
设 与圆交于 ．弧 对应圆心角为 ，设弧 对应圆心角为 .
则弧 对应圆心角为 .
连接 ,则 与 交点为 .
由外角和定理可得 ，
，又 ，
则 ，从而 ，又 ，
则 ， ，
又直线 方程为 ，结合图形，可得 ，所以直线 与直线 的交点为定点 ．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，且对称轴为直线 ，直线
与抛物线交于 两点，与 轴交于点 .
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（1）求抛物线 解析式；
（2） 时，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于 若抛物线 与线段 有公
共点，求 的取值范围；
（3）过点 与 垂直的直线交抛物线于 两点， 分别是 的中点.试探究：当 变化时，
抛物线的对称轴上是否存在定点 ，使得 总是平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，坐标为
【解析】
【分析】（1）根据抛物线 过点 和对称轴公式列方程组求出 即可；
（2）根据题意解出直线 方程，讨论 左右平移时与线段的交点即可求解；
（3）解法一：先求出 点坐标，进而求出直线 的解析式，联立抛物线与直线 ，根据根与系数的关
系结合中点坐标公式求出 点坐标，同理求出 点坐标，作 根据 平分
，得到 ，设 ，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可；解法二：分别
将直线 与抛物线联立，利用韦达定理求出 点坐标，由 轴可知 平分 时
，代入斜率公式求解即可.
【小问 1 详解】
因为抛物线 过点 ，且对称轴为直线 ，
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所以 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为 .
【小问 2 详解】
当 时，直线 为 ，
令 解得 ，令 解得 ，所以 ， ，
所以 ，将 代入 解得 ，所以直线 方程为 ，
因为抛物线 可由 平移得到，
当点 在抛物线 上，由 解得 或 ，
结合图象可知 至多向右平移 个单位，
当 的图象向左平移至与 有一个交点时，
联立 得 ，
令 解得 ，
此时由 解得 ，即交点坐标为 ，在线段 上，
结合图象可知 至多向左平移 个单位，
综上 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
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解法一：因为直线 ，所以当 时， ，即 ，
（根据对称性在这里不妨只考虑 的情况）
因为所以抛物线的对称轴为直线 ，所以点 在抛物线的对称轴上，
因为 过点 ，且与直线 垂直，所以 ，
设直线 的解析式为 ，将 代入得 ，故 ，
在直线 上取点 ， ,在 上取点 ，使 ，作 轴， 轴，
则 ， ，
， ,所以
所以 ，
所以 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的解析式为 ，即： ，
联立 整理，得 ，
所以 ， ，
由 为 的中点，得 ，
联立 ，同理可得 ，
假设存在点 ，设 ，使得 总是平分 ，
如图，作 ，
因为 平分 ，所以 ，故 ，
所以 ，则 ，
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由于 要在 的同一侧，故 同正或者同负，解得
所以抛物线的对称轴上存在 ，使得 总是平分 ．
解法二：对于直线 令 解得 ，所以 ，则 在抛物线对称轴上，
联立 得 ，设 ， ，
由韦达定理可得 ，
因为 是 中点，所以 点横坐标 ，则 ，即 ，
因为 ，且 ，所以 ，
又直线 过点 ，所以直线 方程为 ，
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联立 得 ，设 ， ，
由韦达定理可得 ，
因为 是 中点，所以 点横坐标 ，则 ，即
，
因为 轴，所以 平分 时, ，
设 ，则 ，
所以 对任意 恒成立时 ，解得 ，
所以存在定点 使得 总是平分 ，其坐标为 .
24. 已知 是关于 一元二次方程 的两实数根．
（1）若 ，求 的值；
（2）已知等腰 的一边长为 7，若 恰好是 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可；
（2）分 7 为底边长，7 为腰长两种情况讨论，先通过一元二次方程解的个数或者根为 7 确定 的值，再根
据三角形任意两边之和大于第三边判定 的取值是否能使三角形存在，即可求解
【小问 1 详解】
因为 是关于 的一元二次方程 的两实数根．
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所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，不符合题意，故舍去，
所以 ，经验证满足；
【小问 2 详解】
①当 7 为底边长时，方程 有两个相等的实数根，
所以 ，解得 ，
所以方程为 ，解得 ，
又因为 ，所以不能构成三角形；
②当 7 为腰长时，设 ，代入方程得 ，
解得 或 ，
当 时，方程为 ，解得 ，
又 ，所以不能构成三角形；
当 时，方程为 ，解得 ，
此时能构成三角形， 的周长为 .
综上， 的周长为 .
25. 如图，四边形 ABCD 为矩形，C 点在 轴上，A 点在 轴上， ，矩形 ABCD 沿直线 EF
折叠，点 B 落在 AD 边上的 G 处，E、F 分别在 BC、AB 边上且 ．
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（1）求 G 点坐标
（2）求直线 EF 解析式
（3）点 N 在坐标轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，直接写出 M 点坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2） （3）答案详解解析.
【解析】
【分析】（1）由 ，结合图形折叠的性质得到 ，再在直角三角形中利用勾股定
理求解即得.
（2）先在 中，由 ，得出 ，再由折叠的性质得出
，解 ，求出 得 .设直线 EF 的表达式为
，将 的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线 EF 的解析.
（3）因为 M、N 均为动点，只有 F、G 已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照 FG 为一边，N 点在 x
轴上；FG 为一边，N 点在 y 轴上；FG 为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边
形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得 M 点的坐标.
【小问 1 详解】
由 ，得 AF=1，BF=2，由折叠的性质得：GF=BF=2，
在 中，由勾股定理得， ，
而 ，则 OA=4，即 ，
所以 .
【小问 2 详解】
在 中，由 ， ，
由折叠的性质得知： ，在 中， ，
则 ， ，设直线 EF 的表达式为 ，
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因此 ，解得 ，
所以直线 EF 解析式是 .
【小问 3 详解】
若以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况：
①FG 为平行四边形的一边，N 点在 x 轴上，GFMN 为平行四边形，如图 1，
过点 G 作 EF 的平行线，交 x 轴于点 ，再过点 作 GF 的平行线，交 EF 于点 M，得 ，
由 ，直线 EF 的解析式为 ，
得直线 解析式为 ，当 y=0 时， ，
由 ，且 ， ， ，则 ；
②FG 为平行四边形的一边，N 点在 x 轴上，GFNM 为平行四边形，如图 2,
由 为平行四边形，得 与 互相平分，而 ， 点纵坐标为 0，
则 中点的纵坐标为 ，设其横坐标为 ，又 中点与 中点重合，
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则 ，解得 ，则 点的坐标为 ，
由 ，且 ， ， ，于是 .
③FG 为平行四边形的一边，N 点在 y 轴上，GFNM 为平行四边形，如图 3，
由 为平行四边形，得 与 互相平分，而 ， 点横坐标为 0，
则 中点的横坐标为 0，F 与 的横坐标互为相反数，即 的横坐标为 ，
当 时， ，因此 .
④FG 为平行四边形的对角线，GMFN 为平行四边形，如图 4，
过点 G 作 EF 的平行线，交 x 轴于点 ，连结 与 GF 的中点并延长，交 EF 于点 ，得
由 ， ，得 FG 中点坐标为 ，
而 的中点与 FG 的中点重合，且 的纵坐标为 0，则 的纵坐标为 ，
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设 的横坐标为 ，则 ，解得 ，因此 .
所以直线 EF 上存在点 M，使以 M，N，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，
此时 M 点坐标为： .
26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕
这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片 和 中，
.
（1）【初步感知】
如图 1，连接 ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值.
（2）【深入探究】
如图 2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长 交
于点 ，求 的长.
（3）【拓展延伸】
在纸片 绕点 A 旋转过程中，试探究 三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形
的面积；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）能，4 或 16 或 12 或
【解析】
【分析】（1）证明 ,求出 ,可得 ,故 ,又
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,可得 ,从而 ;
（2）连接 ,延长 交 于点 ,连接 交 于 ，延长 交 于 ，由 ,
得 ,求出 ,证明 ，即可得 ，
,从 而 四 边 形 矩 形 ,有 , ,得
,可得 是 的中位线, ,设 ,证明 ，
得 ,故 , ，由 得 ，可
得 的长.
（3）分四种情况分别画出图形解答即可.
【小问 1 详解】
，
,即 ，
,
【小问 2 详解】
连接 ，延长 交 于点 ,连接 交 于 ,延长 交 于 ，如图：
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根据（1）得 ，
是中线，
，即
，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 矩形，
，
，设 ，则 ，
,
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解得
，
，
，解得 .
【小问 3 详解】
如图，当 与 重合时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 在 的延长线上时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，过点 作 于点 ，
，
四边形 是矩形， ，
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，故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，过点 作 于点 ，交 于点 ，
，
，
，
，
，
解得 ；故 .
综上所述，直角三角形 的面积为 4 或 16 或 12 或 .
【点睛】思路点精：纸片 绕点 A 旋转过程中，若 三点能构成直角三角形，则有以下情况：当
与 重合时，此时 ，此时 是直角三角形，
当 在 的延长线上时，此时 ，此时 是直角三角形，
当 时，此时 是直角三角形，
当 时，此时 是直角三角形，
在了解每种情况之后，一般都需要通过辅助线寻找三角形相似，进而求解边长和面积.
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