四川省内江市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份四川省内江市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 下列说法正确的是
A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形 D. 共点的三条直线确定一个平面
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可
【详解】对于 A，由公理 3 知，不共线的三点确定一个平面，故 A 不正确；
对于 B，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故 B 不正确；
对于 C，再同一个平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故 C 正确；
对于 D，当三条直线交于一点时，三条直线有可能不共面，故 D 不正确
故选 C.
【点睛】本题主要考查的是平面的基本公理和推论，属于基础题.
2. 圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ，则圆锥的表面积是底面积的（ ）倍.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为 ,底面半径为 ,根据圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ,可得 ,
然后,可计算侧面积,底面积,得表面积,可求得比值为 5.
【详解】设圆锥的母线长为 ,底面半径为 ,
依题意可得: ,所以 ,
所以圆锥的侧面积为 ,
圆锥 底面积为 ,
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所以 .
故选:D
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图,考查了圆锥的侧面积,表面积,考查了弧长公式,属于基础题.
3. 如图，一个水平放置的面积是 的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中 ，则等腰
梯形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则得出原水平放置的平面图，利用梯形的面积公式表示出直观图的面积：
，即可求解.
【详解】根据斜二测画法的规则得原水平放置的平面图：
上底为 ，下底为 ，高为 的直角梯形，
所以水平放置的平面图形的面积为：
则
.
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故选：A
【点睛】本题考查了斜二测画法的规则，考查了基本运算能力，属于基础题
4. 平面 平面 的一个充分条件是（ ）
A. 存在一条直线
B. 存在一条直线
C. 存在两条平行直线
D. 存在两条异面直线
【答案】D
【解析】
【分析】由面面平行的判定定理对选项逐一判定
【详解】对于 A，B，C，当平面 ， 相交时，条件仍然成立，故 A，B，C 错误，
对于 D，存在两条异面直线 ，
平移后可得，存在两条相交直线 ，
由面面平行的判定定理可知，平面 平面 ，故 D 正确，
故选：D
5. 已知三棱锥 ， ， 、 两两垂直， ， ， ，则其外接球的表面
积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可．
【详解】因 ， 、 两两垂直，故三棱锥 的外接球，即是以 ， ，
为棱长的长方体的外接球，
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故球的半径为 ，则球的表面积为 .
故选：B
6. 三个平面把空间分成 m 部分，m 的所有可能取值组成集合 Q，则 Q 中所有元素之和为（ ）
A. 18 B. 19 C. 25 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论三个平面 位置关系，从而确定空间被分成的部分数，进而得到集合 ，继而即可求
解.
详解】当 3 个平面互相平行时：空间被分成 4 部分，即 ，
当 2 个平面互相平行时：第 3 个平面与这 2 个平面相交，
此时空间被分成 6 部分，即 ，
当 3 个平面相交于同一条直线时：空间被分成 6 部分，即 ，
当 3 个平面相交于 3 条直线时：这 3 条交线互相平行，
此时空间被分成 7 部分，即 ，
当 3 个平面相交于 1 点时：此时空间被分成 8 部分，即 ，
所以 ，
所以 Q 中所有元素之和为 .
故选： .
7. 在棱长为 的正方体 中，E，F 分别是棱 的中点，点 在上底面
内运动，若 ，则点 P 的轨迹的长度为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
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【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设 ，设平面 的法向量为
，利用 可得 ，继而即可求解.
【详解】
以 为原点，以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，则 ，
因为 平面 ，
所以 ，所以 ，
所以点 P 的轨迹长度为 .
故选： .
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8. 在底面直径为 ，高为 6 的圆锥中放一个可以任意转动的正方体，则正方体的最大棱长为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可先求圆锥的内切球半径，正方体任意转动，就在其内切球内部，体对角线为球的直径即可求解．
【详解】根据题意，先求圆锥的内切球半径，其截面图如下，
底面直径 ，高 ，截面内切圆圆心为 ，
则 ， ，
，
则 ，
为等边三角形，
则 内切圆半径 ，
即圆锥的内切球半径为 2，
设正方体边长为 ，则体对角线 ，
解得 ．
故选：C ．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 如图所示，G､H､M､N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 、 是异面直线的图
形有（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据异面直线的定义即可结合图形关系求解.
【详解】对于 A，由 G，M 均为所在棱的中点，根据三棱柱的性质易得 ，不为异面直线；
对于 B，在题图中， 三点在同一个平面内，直线 显然与 确定的平面相交，
故直线 ， 是异面直线；
对于 C，连接 ，由 N，H 均为所在棱的中点，所以 ，且 ，
易得四边形 GMNH 为梯形，则 GH 与 MN 相交，不是异面直线．
对于 D，在题图中， 三点在同一个平面内，直线 显然与 确定的平面相交，
故直线 ， 是异面直线.
故选：BD．
10. 如图， 为矩形 所在平面外一点， 是 的中点， 是线段 上的点， 平面 ，
则下列说法正确的是（ ）
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A. B. 平面
C. 平面 D. 平面
【答案】AB
【解析】
【分析】根据线面平行的性质可知 ，由此可得 A 正确；根据线面平行的判定定理可得 B 正确；对
于 C，运用反证法即可排除；对于 D，根据条件从线面有公共点即可排除.
【详解】对于 A， 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
，
四边形 为矩形， 为 中点， 为 中点，
为 中点，即 ，A 正确；
对于 B， 平面 ， 平面 ， ，
平面 ，B 正确；
对于 C，假设 平面 ，因 ，则 平面 或 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 且 与平面 不平行，
故假设错误，即 不平行于平面 ，C 错误；
对于 D，因 是 的中点， 平面 ，则点 平面 ，故 平面 不成立，故 D 错
误.
故选：AB.
11. 已知正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，则下列说
法正确的是（ ）
A. 过点 ， ， 的平面截正方体 所得截面多边形为正五边形
B. 若三棱锥 的顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为
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C. 从顶点 出发沿正方体 的表面运动到点 的最短路线长为
D. 若 P 是侧面 内（不包含边界）的动点，则三棱锥 的体积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出过点 的正方体 截面并计算判断 A；求出三棱锥 的外接
球表面积判断 B；将正方体表面部分展开求出 长判断 C；利用等体积法求出体积判断 D.
【详解】对于 A，如图①，延长 交 的延长线于点 ，易得 ，
所以 ，连接 交 于点 ，由 ，得 ，
所以 是 上靠近 的三等分点，在棱 上取点 ，使得 ，连接 ，
则 ，在棱 上取点 ，使得 ，连接 ，则 ，得 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，得 ，则 是 上靠近 的三等分点，
连接 ，则五边形 即为所求截面， ，
， ，
， ，
因此五边形 不是正五边形，A 错误；
对于 B，如图②，取棱 的中点 ，则长方体 的外接球即为三棱锥
的外接球，
直径长为 ，则球 的表面积为 ，B 正确；
对于 C：正方体部分展开图如图③所示，按不同的展开方式，分三种情况：
， ， ，则 的最小值为
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，C 正确；
对于 D，由 P 是侧面 内（不包含边界）的动点，得点 到平面 的距离为 长，
三棱锥 的体积 ，D 正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 如 图 所 示 ， △ ABC 和 △ A′B′C′的 对 应 顶 点 的 连 线 AA′， BB′， CC′交 于 同 一 点 O， 且
，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由等角定理得 ， ，可得 ∽ ，继而即可求解.
【详解】因为 ，且 ＝ ＝ ，
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所以 ，同理 ， ，
因为 ，所以 ，
同理 ，
所以 ∽ ，且 ＝ ＝ ，
所以 ．
故答案为： .
13. 一个封闭的正三棱柱容器的高为 2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，
—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点 E，F， ， 分别为所在棱的中点，则图(1)中水面
的高度为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出正三棱柱的底面积，再利用等体积法表示出图(1)中水面的高度即可.
【详解】设正三棱柱的底面积为 ，图(1)中水面的高度为 ，则水的体积 .因为 E，F， ， 分别
为所在棱的中点，所以 ， ，所以图(2)中水的体积 .又
，所以 .
故答案为：
14. 如图，底面半径为2，高为4 圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的表面积为________
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．
【答案】
【解析】
【分析】设圆柱的半径为 ，高为 ，利用相似三角形可得 ，根据圆柱的侧面积公式、表面积公
式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】
设圆柱的半径为 ，高为 ，
则 ，即 ，
所以圆柱的侧面积为 ，
当 时， ，
此时 ，
圆柱的表面积为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，以 边所在的
直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
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（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ，求蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）旋转后所得几何体为圆台，由圆台表面积公式进行计算即可；
（2）将圆台侧面沿母线展开求解即可.
【小问 1 详解】
如图所示，满足题意的直角梯形 ，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为 ，下底面半径 ，母线长 的圆台，
其表面积为 .
【小问 2 详解】
将圆台的侧面沿母线 展开，得到如图所示的一个扇环，
∵圆台上下底面半径的关系为 ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ， ，
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设 ，则 的弧长 ，∴ ，
连接 ，取线段 中点 ，连接 ，则 ，
在 中， ， ，∴ ，
∴蚂蚁从点 绕着圆台的侧面爬行一周回到点 的最短路径即为线段 ，
.
∴蚂蚁爬行的最短距离为 ．
16. 如图，在正四棱台 中， 分别为棱 ， ， ， 的中点．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）证明 ， ， 相交于一点．
【答案】（1）相交，理由见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明 ，可得以 E，F，G，H 四点共面，进而得出
为梯形，则 与 必相交；
（2）由 为梯形，则 与 必相交，证明交点在 上即可．
【小问 1 详解】
证明：连接 ， ，如图所示，
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因为 为正四棱台，所以 ，
又 E，F，G，H 分别为棱 ， ， ， 的中点，所以 ， ，
则 ，所以 E，F，G，H 四点共面，因为 ，所以 ，所以 为梯形，则
与 必相交．
【小问 2 详解】
因为 为梯形，则 与 必相交．
设 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，
所以 ，则 ， ， 交于一点．
17. 在三棱锥 中，平行于 ， 的截面 与四条棱分别交于 E，F，G，H.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， 求证：四边形 的周长为定值；
（3）若 且截面 是矩形，求截面 面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
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【分析】（1）由线面平行的性质可得 、 ，由平行的传递性得 ，同理有
，即可证结论；
（2）设 ，计算出 和 的长度，再由 的周长为 ，即
可证结论；
（3）由（2）可知， ， ，则矩形 的面积为
，根据二次函数性质求解最大值即可．
【小问 1 详解】
由 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 ，同理 ，所以 ，同理 ，
因此，截面四边形 为平行四边形.
【小问 2 详解】
由（1）知： ，设 ，
所以 ，而 ，
又 ，则 ，
故 ，
综上， ，
故平行四边形 的周长 为定值．
【小问 3 详解】
由（1）知：四边形 是平行四边形，若四边形 是矩形，则 ，
因为 ， ，所以 ，
由（2）知设 ， ，
所以 ， ，
所以矩形 的面积为 ，
由 可知，当 时，矩形 的面积有最大值为 .
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18. 如图，在正四棱锥 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，设平面 与平面
的交线为 ．
（1）求证：平面 MNQ 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若 ，求点 B 到平面 PDA 的距离．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）证明过程见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）首先得到 平面 ， 平面 ，根据面面平行的判定定理，即可证明；
（2）根据线面平行的性质得到 ，再结合线面平行的判定定理即可得证；
（3）建立适当的空间直角坐标系，求出平面 的法向量为 ，再求得 ，最后
结合公式 即可求解.
【小问 1 详解】
因为 、 、 分别为 、 、 的中点，底面 为平行四边形，
所以 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
同理 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
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【小问 2 详解】
因为底面 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 3 详解】
因为四棱锥 是正四棱锥，
所以底面 是正方形， 在底面上的投影是底面的中心 ，所以 平面 ，
又因为 ；平面 ，所以 ，
又因为 ，
所以 两两互相垂直，
所以以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得 ，
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故可取 ，
故所求为 .
19. 如图，在正方体 中，其棱长为 2；
（1）求三棱锥 外接球的体积；
（2）M，N 分别是 的中点，过 BD 的平面 平面 ，求平面 截正方体所得截面的面积；
（3）若 是线段 上的一点，若 平面 ，试判断点 在线段 上的位置，
并说明理由
【答案】（1）
（2）
（3）点 是线段 上靠近 B 的三等分点
【解析】
【分析】（1）将锥体的外接球问题转化为正方体的外接球问题，求出球的半径，代入球的体积公式即可求
解；
（2）先作出平面 截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积即可；
（3）建立空间直角坐标系，设 得 ，求出平面 的法向量，
进而利用 求出 ，即可判断点的位置.
【小问 1 详解】
因为三棱锥 的顶点也是正方体的顶点，所以正方体的外接球就是所求的外接球，
设球半径为 ，由题意，正方体 的棱长为 2，则 ，所以三棱
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锥 外接球的体积为 .
【小问 2 详解】
根据题意，取 的中点 E， 的中点 F，连接 ，
则 ，所以 ，且 ，
故 在同一平面内，
连接 ，因为 分别为 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
即平面 截该正方体所得截面为梯形 ；
又由梯形 中， ，
即平面 截该正方体所得截面为等腰梯形，又 ，
所以等腰梯形的高为 ，
所以等腰梯形的面积为 ，
即平面 截正方体所得截面的面积为 .
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【小问 3 详解】
如图，建立空间直角坐标系，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
若 平面 ，则 ，
化简得 ，解得 ，所以 ，
所以点 是线段 上靠近 B 的三等分点时，满足 平面 .
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