四川省内江市2024_2025学年高一数学下学期期中测试试题含解析

这是一份四川省内江市2024_2025学年高一数学下学期期中测试试题含解析，共18页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用 0， 若 是方程 的两个根，则， 下列式子化简后等于 的是等内容，欢迎下载使用。
数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共 58 分)
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）．
1. 已知向量 ， .若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的充要条件，利用数量积的坐标运算列式求解即可.
【详解】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，解得 .
故选：C
2. 向量 ，化简后等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式.
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【详解】 .
故选：D.
3. 已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据弦切互化可得 ，即可利用二倍角公式求解.
【详解】由 可得 ，故 ，
所以 ，
故选：A
4. 如图，在 中， 为 的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
【详解】由题意知
.
故选：C.
5. 若 是方程 的两个根，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦达定理可得 ，结合两角和与差的正、余弦公式以及切弦互化计算即可
求解.
【详解】因为 是方程 的两个实根，
所以 ，
则 .
故选：B
6. 如图，摩天轮的半径为 40m，摩天轮的中心点 距地面的高度为 50m，摩天轮做匀速转动，每 36min 转
一圈，摩天轮上点 的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点 距离地面超过70m的时长为（
）
A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min
【答案】B
【解析】
【分析】如图，以点 在地面的投影 点为坐标原点， 所在直线为 轴，与 垂直的向右的方向为
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轴建立坐标系，设 时点 距离底面的高度为 ，由题意得 ，
，周期 ，求出函数解析式，令 ，解不等式继而可求解
.
【详解】
如图，以点 在地面的投影 点为坐标原点， 所在直线为 轴，
与 垂直的向右的方向为 轴建立坐标系，
设 时点 距离底面的高度为 ，
由题意得 ， ，周期 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
可得 ，令 ，则 ，
所以 ，
令 ，即 ，
所以 ，解得 ，
令 ，则 ，
所以在摩天轮转动的一圈内，点 距离地面超过 70m 的时长为 .
故选： .
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7. 已知函数 满足 ，将函数 图象向左平移 个单
位后其图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据 ，求得 ，再根据 ，确定函数的解析式，并求得平移后
的解析式 ，最后根据函数的对称性，确定 的最小值.
【详解】因为 ，所以 ，即 ， ，
又因为 ，所以当 时， ，所以 ，将其图象向左平移 个单位后，
所得函数 ，
因为函数 的图象关于 y 轴对称，
所以 ， ，即 ， ，
当 时， ，所以 的最小值为 .
故选:A.
8. 在平行四边形 中， 为 的中点， ， 与 交于点 ，过点 的直线分别与
射线 ， 交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，将 用 和 表示，再利用 ， ， 三点共线，求得
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，再利用基本不等式求得最值.
【详解】由 ， ， 共线，可设 ，
由 , , 三点共线，故可设 ，
则有 ，解得： ，
故 ，
由题意， ， ， 三点共线，
故可设 ，
则 ，整理得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，则 的最小值为 ；
故选：C
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）．
9. 下列式子化简后等于 的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于 A：根据两家和差公式分析判断；对于 BD：根据倍角公式分析判断；对于 C：切化弦结合倍
角公式分析判断.
【详解】对于选项 A：因为 ，故 A 正确；
对于选项 B：因 ，故 B 正确；
对于选项 C：因为 ，故 C 正确；
对于选项 D：因为 ，故 D 错误；
故选：ABC.
10. 是边长为 3 的等边三角形， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在 上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量线性运算、向量的模的计算、向量数量积、向量投影等知识对选项分别进行分析，由此
确定正确选项.
【详解】如图：
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对于 A， ．故 A 不正确；
对于 B，
所以 ，故 B 正确；
对于 C，
，故 C 正确；
对于 D， 在 上的投影向量是 ．故 D 正确．
故选：BCD.
11. 如图是某地一天从 6 点到 14 点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数： ，
其中： .则下列说法正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数解析式为
C. 函数在区间 上单调递增
D.
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【答案】BC
【解析】
【分析】根据图象计算最小正周期可得选项 A 错误；根据函数图象逐步计算 的值可得选项 B 正
确；利用函数的周期性可知函数在区间 上的单调性与函数在区间 上的单调性相同，结合
图象可得选项 C 正确；利用函数中心对称的性质可得选项 D 错误.
【详解】A.由函数图象得，函数的最小正周期为 ，A 错误.
B. 由题意得， ，解得 .
设函数 最小正周期为 ，则 ，故 ，
由 得， ，
∴ ，
由 得， ，故 ，选项 B 正确
C.∵ ，
∴函数在区间 上的单调性与函数在区间 上的单调性相同，
由图象可得，函数在区间 上单调递增，C 正确.
D. 等价于 ，
由图可知，函数 的图象不关于点 中心对称，D 错误.
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大共 3 小题 ，每小题 5 分，满分 15 分）．
12 __________.
【答案】
【解析】
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【分析】由诱导公式计算即可．
【详解】 ．
故答案为： ．
13. 已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用 且 与 不共线求解.
【详解】 ， ，则 ，
因 与 的夹角为锐角，则 ，得 ，
当 时， ，得 ，此时 与 同向，
则实数 的取值范围是 .
故答案为：
14. 将余弦函数 的图象向左平移 个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的
得到函数 的图象，若 在区间 上恰有 1 个最小值和 3 个零点，则 的取值范围
为___.
【答案】
【解析】
【分析】根据图像变换可得 ，再以 为整体，结合余弦函数性质列式求解即可
.
【详解】余弦函数 的图象向左平移 个单位，可得 ，
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再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的 ，可得 ，
因为 ，且 ，则 ，
由题意可得： ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题（本题共计 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15. 已知 ， ， 与 的夹角 .
（1）求 ；
（2）若 与 共线，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等式 及向量的运算律求解即可；
（2）根据共线向量定理列等式求解即可.
【小问 1 详解】
，
【小问 2 详解】
与 共线，
∴存在唯一实数 ，使得
即 ，
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又 与 不共线，∴ ，
解得
16. 已知锐角 ，且满足 .
（1）求 ；
（2）求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，利用两角和的余弦公式及三角函数的特殊值对应的特
殊角即可求解.
【小问 1 详解】
因为 为锐角， ，
所以 .
因为 ， 是锐角，即 ， ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 .
.
【小问 2 详解】
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由（1）知， ，
因为 是锐角， ，
所以 ，
由 ， ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 .
17. 已知函数 的部分图像如图所示.
（1）求 的解析式及对称中心；
（2）若 ， 求 的值；
（3）若方程 在 上恰有 个不相等的实数根，求 的取值范围.
【答案】（1） ，对称中心：
（2） 或
（3） .
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【解析】
【分析】（1）由函数 的图像得到 和周期 ，然后求得 ，通过点坐标，得到 ，即求得函数解析
式，由余弦函数的对称中心得到函数的对称中心；
（2）由（1）得到方程，结合题目给到的区间求得对应的 的值；
（3）整体题中方程得 ，由 取值范围求得 的范围，由题意得到 最大值的
不等式，解得 的取值范围.
【小问 1 详解】
由函数 的图像，可得 ，周期 ，
则 ，∴ ．
将点 代入函数解析式可得 ，
解得 ，∵ ，∴ ，
∴ ；
令 ，解得 ，
的对称中心为
【小问 2 详解】
由（1）知： ，又 ，
∴ ， ，
∴ 或
解得： 或
又∵ ，
∴ 或 .
【小问 3 详解】
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由（1）知 ，则 ，
由函数 在 上恰有 5 个零点，
即 在 上恰有 5 个解，
即 在 上恰有 5 个解，
∵ ，∴ ，
即函数 与 在区间 有 5 个交点，
由图像知，只需 即可，解得 ，
故 .
18. 如图，在梯形 中， ， ， ，E、F 分别为 、 的中点，
且 ，P 是线段 上的一个动点．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的长；
（3）求 的取值范围．
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；
（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；
（3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.
【小问 1 详解】
由 分别为 的中点，则 ， ，
由图可得 ，则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 ， ，
由 ，则 ，
，
可得 ，解得 .
【小问 3 详解】
由图可得 ，
，
，
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由 ，则 .
19. 已知向量 ， ，其中 ，函数 ，且
的图象上两条相邻对称轴的距离为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的单调递增区间；
（3）若对 ，关于 的不等式 成立，求实数 的取值
范围．
【答案】（1）
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将其化成正弦型函数，依题求出 即得；
（2）先求出函数 在 R 上的单调递增区间，再与给定区间求交即得；
（3）将所给不等式等价转化，将其化成 在 恒成立问题，通过设元
，将函数化成 ， ，判断其单调性即得 ，从而求得参数 范围
.
【小问 1 详解】
依题，
由题知 ， ， .
【小问 2 详解】
由 可得 ， ，
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时， 的单调递增区间为 ， ．
【小问 3 详解】
因 在 恒成立，
则
化简得 ，
即 在 恒成立
记 ，
， ， ，
又
设 ，则根据对勾函数性质知 在 上单调递增，
，
，即 .
故 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于难题.解决此类题的关键是，根据解析式
特点进行三角恒等变换，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象解决问题；对于恒成立问题，常常寻
求参变分离法，将不等式恒成立问题转化为求对应函数的值域.
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