四川省内江市2023_2024学年高一数学上学期开学考试试题含解析

这是一份四川省内江市2023_2024学年高一数学上学期开学考试试题含解析，共18页。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.
1. 古希腊数学家希帕克斯使用相似三角形定理估算地球半径为3944.3英里（约合6348千米），与用现代技术测量结果仅少了17英里.可将6348千米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示规则即可得出结果.
【详解】易知6348千米米，
所以用科学记数法可以表示为米.
故选：B
2. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体．从上面看到的这个几何体的形状图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的三视图的定义即可求解.
【详解】从俯视图定义可知：从上往下看到大几何体形状为
.
故选：C
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由多项式的运算法则以及完全平方公式、平方差公式即可判断得出结论.
【详解】合并同类项可得，即A错误；
由平方差公式可得，即B错误；
由可知，因此，即C错误；
由完全平方公式可得，即D正确.
故选：D
4. 下面各时刻是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由轴对称图形的概念直接得答案.
【详解】观察各时刻，只有选项A中的时刻沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，故选项A是轴对称图形，
故选：A.
5. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“物品价格个人每人出8元多余的3元）个人每人出7元差的4元”可列方程．
【详解】设共有x个人，则可列方程为：，
故选：B.
6. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案．
详解】如图，

由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果，
所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为，
故选：C．
7. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：

当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是： ，则5288用算筹可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的定义，用算筹直接表示出5288即可.
【详解】依题意，5在千位，用横式；2在百位，用纵式；十位8用横式；个位8用纵式，
所以5288用算筹可表示为 .
故选：B
8. 如图，已知，点在边上，以为直径的圆与边相切于点，若，，则线段的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆半径为，连接，过点作于点，在中，用勾股定理可得，进而可得，在中，可求得，从而得，最后在中，利用勾股定理求解即可.
【详解】连接，过点作于点，如图所示：
因为圆与边相切于点，
所以，，
设圆的半径为，则圆，圆，
在中，，
解得，即，
所以,
所以，
在中，，
所以，
在中，.
故选：D.
9. 若实数，分别满足，，则下列等式正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意实数，为方程的两个根，故，，进而即判断.
【详解】因为实数，分别满足，，
故实数，为方程的两个根，又
故，，
故，，
，
故选：
C
10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，给出下列说法：
①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点坐标为；
③，两点之间的距离为5；④当时，值随值的增大而减小
其中正确说法的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把点坐标带入二次函数的解析式，可求的值，解方程可求点坐标，再根据解析式分析二次函数的性质即可.
【详解】因为二次函数与轴的一个交点，
所以.
所以二次函数的解析式为：.
由或.
所以，所以.
因为抛物线开口向上，且对称轴为：，
且，
所以抛物线的顶点坐标为，且当时，值随值的增大而减小.
所以①错误，②③④正确.
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
11. 写出一个使得关于的一元二次方程有实数根的的取值_________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】借助一元二次方程定义与根与系数的关系计算即可得.
【详解】由题意可得，解得且.
故答案为：.（答案不唯一）
12. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，则________，且该直线与反比例函数图象的另一个交点的坐标为________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】由题意，先求出a的值，再求出k的值，联立直线与反比例函数的方程，解之即可求解.
【详解】将代入方程中，得，解得，
即，代入方程，得，解得，
所以.
由，解得或，
即该直线与反比例函数图象的另一个交点的坐标为.
故答案为：1；
13. 若两个不相等的实数，满足，则_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，用表示，再代入计算即得.
【详解】由，得，而，则，
所以.
故答案为：
14. 如图，是边长为的等边三角形，、为线段上两动点，且，过点、分别作、的平行线相交于点，分别交、于点、．现有以下结论：①；②当点与点重合时，；③；④当时，四边形为菱形，其中正确结论的序号为__________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①：过点作于，进而可求得，可求可判断；对于②：当点与点重合时，三点重合，可得是的平分线，进而可得是等边三角形，进而可求可判断；对于③：将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于，利用全等与勾股定理可得可判断；对于④：由已知可得是等边三角形，进而可得可判断.
【详解】对于①：过点作于，如图，
因为是边长为的等边三角形，所以，
所以，所以，
所以，故①正确；
对于②：当点与点重合时，三点重合，如图所示，
因为，所以，所以是的平分线，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以是等边三角形，所以，
所以，故②正确；
对于③：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，
过点作，交的延长线于，
所以，
因为，所以，
所以，又因为，
所以，所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，故③错误；
对于④：因为是等边三角形，所以，
又因为，
所以是平行四边形，，
所以是等边三角形，
所以，因为，所以，
所以，所以四边形为菱形，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】方法点睛：通过旋转三角形，构造全等三角形得边角关系是一种重要的方法..
三、解答题：共64分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）利用根式运算、特殊角的正弦值及绝对值的概念化简求值；
（2）化简不等式组，解一元一次不等式组即可.
【详解】（1）原式；
（2）原不等式组，
则原不等式组的解为.
16. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．内江市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明市提名城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【答案】（1）（1）300，统计图见解析
（2）
（3）360
【解析】
【分析】(1)根据清洁卫生的人数和所占的比例即可求解；
(2)根据敬老服务所占的百分比再乘以即可求解；
(3)求出参加志愿者服务的人数再乘以文明宣传所占的比例即可求解.
【小问1详解】
由题意得：本次调查的师生共有人，
则“文明宣传”的人数为（人）
补全统计图，如图所示，
【小问2详解】
在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为.
【小问3详解】
估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）．
17. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会在成都圆满举行，中国代表队获得了103金，40银，35铜，总奖牌178枚，取得了优异成绩．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店在大运会开始前计划购买A，两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克种食材共需280元．
（1）求A，两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于种食材千克数的2倍，当A，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）A单价为38元，B单价为30元；
（2）A种24千克，种12千克，最少费用1272元
【解析】
分析】（1）设出未知数，得到方程组，求出答案；
（2）设A种食材购买千克，得到不等式，求出，再表达出总费用关于的函数关系，根据随的增大而增大，求出当时，总费用最少，求出最少值.
【小问1详解】
设A种食材的单价为元，种食材的单价为元，
根据题意得，解得：，
故A种食材的单价为元，种食材的单价为元.
【小问2详解】
设A种食材购买千克，则种食材购买千克，
根据题意，，解得：，
设总费用为元，根据题意，，
由于，随的增大而增大，
则当时，最小，
故最少总费用为（元）
18. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，若居民休憩区域设在文化活动室墙外距墙米的区域内，当太阳光线与地面的夹角为时，避阳篷能否使得休憩区完全避免阳光直射？说明理由.（参考数据：，，）

【答案】避阳篷能使得休憩区完全避免阳光直射，理由见解析
【解析】
【分析】过点作于点，于点，在中，求出，进而求出，然后求出即可求解.
【详解】如图所示，过点作于点，于点，
则四边形是矩形，

依题意，，（米），
在中，（米），
（米），则（米），
又（米），则（米），
且，则（米），
故（米）（米），
即避阳篷能使得休憩区完全避免阳光直射.
19. 某学习小组根据老师的一个例题再进行了自主探究，发现了一些新问题：已知：如图1所示，在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点，

（1）组员小明用量角器度量后猜想，请你先判断小明的猜想是否正确，再用所学知识说明理由；
（2）组员小亮又作了的平分线交于点，如图2，小亮感觉到线段和的长度一样，通过度量后长度后发现是一样的，小亮提出了问题：这是必然还是巧合？小组成员进行了讨论，请你也思考思考，并说明理由；
（3）组员小刚在小亮的基础上，连接，如图3，又发现了一组全等三角形（其中一个三角形是以DE为边），请写出这组全等三角形，并给出证明．
【答案】（1）正确，理由见解析
（2）必然，理由见解析
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合图形由角的关系推导即可；
（2）由图证明和全等即可；
（3）由图分别找到，，，即可证明；
【小问1详解】
猜想正确，理由如下，
在中，，，
则，
【小问2详解】
如图2中，因为平分，，
所以，
又，则，
所以 ，
在和中，，，
所以
故．
【小问3详解】
证明：因为是的中线，
所以，
因为平分， ，
所以，
因为，
所以，
所以，
在和中，，，，
所以 .
20. 如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与轴交于、两点（在的左侧），，，点为线段上的动点，过作交于点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是直线上一动点，点是抛物线上一动点，当点坐标为，且四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）求面积的最大值，并求此时点坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）面积的最大值为2，此时P点坐标为．
【解析】
【分析】（1）求出的坐标后，将、两点坐标代入抛物线解析式计算即可得；
（2）由抛物线解析式可得顶点坐标，则可求出直线的解析式，从而可设出点坐标，再表示点坐标，结合平行四边形的性质计算即可得解；
（3）过过作轴于，过作轴于，设，求出，利用三角形相似求出，进而可得出面积关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最大值及对应的的值，即可得出对应的点的坐标.
【小问1详解】
由于抛物线与轴交于，两点，，，
且在的左侧，则的坐标为，
将，代入，得，
解得：，故抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由抛物线解析式为，
故点的坐标为，
又，则，
设直线的解析式为，
则，即，
故直线的解析式为，
又四边形是平行四边形，
则，，
设点的坐标为，则点的坐标为，
故，
即，解得：，
故点的坐标为或；
【小问3详解】
如图，过作轴于，过作轴于，
设，则，
∵点C的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时有最大值2，
∴面积的最大值为2，此时P点坐标为．