四川省内江市2025_2026学年高二数学上学期入学考试试题含解析

这是一份四川省内江市2025_2026学年高二数学上学期入学考试试题含解析，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式及诱导公式化简求值可得结果.
详解】
.
故选：B.
2. 已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.
【详解】由题意知 ，则 .
故选：A
3. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解.
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【详解】由 得： ，设其倾斜角为 ， ，
所以斜率 ， 故倾斜角为 ，
故选：C
4. 已知向量 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量的模长公式代入计算，即可得到 ，再根据数量积的定义，即可得
到结果.
【详解】因为 ，则 ，且 ，则 ，
即 ，所以 ，设 与 的夹角为 ，则 ，
即 ，所以 ，因为 ，则 .
故选：D
5. 如图， 是水平放置的 的直观图，则 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜二测画法得到三角形 为直角三角形， ，边长 ，
，然后即可求三角形的周长．
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【详解】
根据斜二测画法得到三角形 为直角三角形， ，
底边长 ，高 ，
所以 ，
直角三角形 的周长为 ．
故选：A．
6. 在 中， ， 的角平分线 AD 交 BC 边于点 D， 的面积是 的面
积的 2 倍，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的性质，结合等面积法可得 ，即可由正弦定理求解 ，由三角
恒等变换即可求解.
【详解】 ， 的角平分线 AD 交 BC 边于点 D，故 ，
故 ，
由正弦定理可得 ，故 ，故 ，
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故 ，故 ，
故选：C.
7. 菱形十二面体是由 12 个全等的菱形构成的，其有 24 条棱，14 个顶点，它每个面的两条对角线之比为
，已知一个菱形十二面体的棱长为 ，体积为 16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形十二面体的性质，结合其内切球的性质，将菱形十二面体分割为十二个四棱锥，结合其
几何性质，求其高，可得球的半径，可得体积.
【详解】由题意，设菱形十二面体内切球的球心为 ，其中一个面为菱形 ，
过 作平面 的垂线，以 为垂心，连接 ，
可得四棱锥 ，如下图所示：
由棱形十二面体的性质，可知 为菱形 的中心，即 ，
易知棱形十二面体体积等于十二个四棱锥 的体积，
故四棱锥 的体积 ，
由题意，可得 ， ，在菱形 中，易知 ，
，由 ，且 ，则 ， ，
故菱形 的面积 ，
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在四棱锥 中， ，
由内切球的性质，可得其半径为 ，
其体积 .
故选：C.
8. 函数 的部分图象如图所示，若将 图象上的所有点向
右平移 个单位得到函数 的图象，则关于函数 有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的一条对称轴为直线
C. 函数 的一个对称中心坐标为
D. 再向左平移 个单位得到的函数为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象求得 的解析式，根据三角函数图象变换求得 ，根据 的最小正周期、对
称轴、对称中心、图象变换等知识确定正确答案.
【详解】对于 ，
由图可知 ， ，
， ，
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由于 ，所以 ，所以 .
图象上的所有点向右平移 个单位得到函数
，
的最小正周期为 ，A 选项错误.
，B 选项错误.
点 的纵坐标是 ，所以 不是 的对称中心，C 选项错误.
再向左平移 个单位得到 ，
所得函数为偶函数，所以 D 选项正确.
故选：D
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对于平面 ，若 ，则
B. 对于平面 和直线 ，若 ，则
C. 对于平面 和直线 ，若 ，则
D. 对于平面 和直线 ，若 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A 选项，根据线面平行的性质定理判断即可；对于 B 选项，根据线面垂直的判定定理可判断；
对于 C，结合正方体中的线面关系可判断；对于 D 选项，利用反证法证明.
【详解】对于 A 选项，因为 ， ，
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所以 ，所以 ，由于 ， ，所以 ，故 A 正确；
对于 B 选项，由 ，可知过 的平面与 的交线与 平行，且所有的交线互相平行，
，可得 与交线垂直，但无法推出 ，B 错误；
对于 C 选项，如图，在正方体中， ， 平面 ， 平行与平面 ，
但平面 平面 ，C 错误；
对于 D 选项，如图，设 ，
假设 与平面 不平行，又 ，
所以 与平面 相交，设交点为 ，
在 内过点 作直线 ，因为 ， ，则 ，
则过点 有两条直线垂直于平面 ，矛盾，
所以假设不成立，故 ，D 正确.
故选：AD
10. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（ ）
A. 在 中，若 ，则
B. 若 ，则 是等腰三角形
C. 若 在线段 上，且 ，则 的面积为 8
D. 若 ，动点 在 所在平面内且 ，则 动点 的轨迹的长度为
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【答案】ACD
【解析】
【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断 A；化简条件得到 ，求得 或
，可判定 B；设 ，在 中，利用余弦定理求得 ，得到
，求得 和 ，结合面积公式，可判定 C；根据题意得到点 在以 为弦的一
个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定 D．
【分析】对于 A 中， ，由正弦定理可得 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B 中，由 ，
可得 ，
整理得 ，
由正弦定理得 ，可得 ，
因为 ，可得 或 ，即 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形，故 B 错误；
对于 C，由 在线段 上，且 ， ， ， ，
则 ，设 ，
在 中，利用余弦定理 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
在 中，可得 ，则 ，
所以 的面积为 ，故 C 正确；
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对于 D，在 中，因为 ， ，
则点 在以 为弦的一个圆上，
由正弦定理可得 外接圆的直径为 ，即 ，
当点 在 外部时，如图所示，
因为 ，可得 ，所以 ，
所以 的长度为 ，
同理，当点在 内部时，可得对应的弧长也是 ，
所以动点 的轨迹的长度为 ，故 D 正确．
故选：ACD.
11. 如图，等边 的边长为 ， 边上的高为 ，沿 把 折起来，则（ ）
A. 在折起的过程中始终有 平面
B. 三棱锥 的体积的最大值为
C. 当 时，点 到 的距离为
D. 当 时，点 到平面 的距离为
【答案】ABC
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【解析】
【分析】根据线线垂直可证线面垂直，可判断 A 选项，根据三棱锥体积公式可知当 时，体积最
大，即可判断 B 选项，根据等边三角形可值 ，再根据等腰三角形性质可判断 C 选项；根据线面垂直可
知 D 选项中点 到平面 的距离为 ，即可判断 D 选项.
【详解】
A 选项：因为 ， ，且 ， ， 平面 ，所以 平面
，故 A 选项正确；
B 选 项 ： 又 已 知 三 棱 锥 的 体 积
，
所以当 即 时，三棱锥 的体积最大，
最大值为 ，故 B 选项正确；
C 选项当 时， 是等边三角形，且 是以 为底的等腰三角形，
设 的中点为 ，连接 ，
则 ，即 为点 到 的距离，
，故 C 选项正确；
当 时， ， ，且 ， ， 平面 ，故 平
面 ，
则 就是点 到平面 的距离，且 ，故 D 选项错误；
故选：ABC.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知圆 C 的一条直径的两个端点为 和 ，则圆 C 的标准方程是_______
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【答案】
【解析】
【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆 C 的方程．
【详解】由题意，圆 C 的圆心为 ，
则半径为 ，
所以圆 C 的标准方程是 .
故答案为： .
13. 已知 ，则 ______
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式和诱导公式，对已知条件进行变换，进而求出结果.
【详解】根据二倍角公式，由 得
，
即 ，
根据诱导公式 ，
所以 .
故答案为：
14. 如图，在 中，斜边 ， ，在以 为直径 半圆上有一点 （不含端点），
，设 的面积 ， 的面积 .
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（1）若 ，求 ______；（2）令 则 的最大值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知用 表示出 、 ，分别由 、 并结合三角恒等变换及正弦
型函数的性质，求 或面积的最大值.
【详解】因为 中， ， ，
所以 ， ， ，
又因为 为以 为直径的半圆上一点，
所以 ，
在 中， ， ， ，
作 于点 ，则 ，
，
，
若 ，则 ，因为 ，
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所以 ，即 ，整理得 ，
所以 ， ；
由 ，则
，
因为 ，所以 ，
当 时，即 ， 有最大值 ．
故答案为： ，
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 过点 的圆 的两条切线 ，切点为 ，求：
（1）求切线 的方程；
（2）求切线段 的长度．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可；
（2）根据切线长的性质可得 ，进而结合图形求解即可.
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【小问 1 详解】
由圆 ，则圆心为 ，半径为 3，
当切线斜率不存在时，切线方程为 ，
此时圆心 到切线方程为 的距离为 3，等于半径，满足题意；
当斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
则 ，解得 ，
则切线方程为 ，即 .
综上所述，切线方程为 或 .
【小问 2 详解】
由切线的性质，得 ，
当切线为 时，此时切线与 轴垂直，
则 .
16. 在锐角 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
．
（1）求 的值；
（2）求 的周长的取值范围．．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题设结合正弦定理可得 ，再根据余弦定理求解即可；
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（2）结合正弦定理、三角恒等变换公式化简可得 ，再利用正弦函数的性
质求解即可.
【小问 1 详解】
由题意得， ，
，
由正弦定理可得 ，即 ，
，
又 ．
【小问 2 详解】
由 及正弦定理得 ，
，
由于 为锐角三角形，则 ，解得 ，
则 ，∴ ，
则 ，
即 周长的取值范围为 .
17. 如图所示，平行四边形 ABCD 中， ， ，H，M 分别是 AD，DC 的中点，F 为 BC 上一点，
且 ．
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（1）以 ， 为基底表示向量 与 ；
（2）若 ， ， 与 的夹角为 ，求 ．
（3）设线段 AM、HF 的交点为 ，在（2）的条件下，求 的余弦值．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算及向量的中点表示即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量的数量积的定义，结合向量的数量积的运算律即可求解；
（3）利用（1）（2）及向量的数量积运算律，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解.
【小问 1 详解】
平行四边形 ABCD 中， ， ，H，M 分别是 AD，DC 的中点， ．
，
.
【小问 2 详解】
由（1）知， ， ，
， ， 与 的夹角为 ，
,
.
【小问 3 详解】
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由（1）（2）知， ， ， ， ，
， ， ，
，
，
因为线段 AM、FM 的交点为 ，
所以 就是向量 与 的夹角，
所以 .
故 的余弦值为 .
18. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为 等边三角形，点 在棱 上， ，且三棱锥 的体积为 ，
求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件证得 平面 即可得解；
（2）根据三棱锥 的体积求得 ，可得 ，作辅助线作 于 ，作
于 ，连 ，利用定义法找到二面角 的平面角，再求得相关线段长，解三角形可得答案.
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【小问 1 详解】
在三棱锥 中，因为 为 的中点，
且 ，则 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因 是边长为 的等边三角形，所以 ，则 ，
因 平面 ，所以 为三棱锥 的高，设为 ，
所以 ， ，
所以 ，即有 ，所以 ，
作 于 ，作 于 ，连 ，则 ，
因为 平面 ， 所以 平面 ，
平面 ，则 ，因为 ，
平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，故 ，
则 为二面角 的平面角.
又 ，所以 ，
在 中， ， ，所以 ，
由 知 ，故 ，所以 ，即 ,
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∴ ，从而 ，
又因 在 中， ，所以 为等腰直角三角形，
所以 ，即二面角 的大小为 .
19. 已知函数 为奇函数，且 图象的相邻
两条对称轴间的距离为 .
（1）求 的解析式与单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
【答案】（1） ，
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得 的函数表达式，解方程求得 的值，利用换元思想，结合三角函数
的图象和性质分析求出即可.
【小问 1 详解】
由题意可得：
因为
图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以 的最小正周期为 ，即可得 ，
又 为奇函数，则 ，
又 ，所以 ，故 .
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令 ，得 ，
所以函数 的递减区间为 .
【小问 2 详解】
将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，
又 ，则 或 ，
即 或 .
令 ，当 时， ，
画出 的图象如图所示：
的两个根 对应的点 关于直线 对称，即 ，
有 ，
在 上有两个不同的根 ，
所以 ；
又 的根为 ，
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所以方程 在 内所有根的和为 .
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