2021-2022学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共24页。试卷主要包含了求AC的长．，1，参考数据，【答案】A，【答案】C，【答案】D，【答案】x≠2等内容，欢迎下载使用。

如果3x=5y，则下列比例式成立的是( )
A. xy=35B. xy=53C. x3=y5D. 3x=5y
如图，在△ABC中，DE//BC，ADBD=2，若AE=6，则EC的值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 9
抛物线y=2x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线解析式为( )
A. y=2(x−1)2−3B. y=2(x+1)2−3
C. y=2(x−1)2+3D. y=2(x+1)2+3
如图，角α在边长为1的正方形网格中，则tanα的值是( )
A. 23
B. 31313
C. 21313
D. 32
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 3
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，作∠CAD=30∘，CD⊥AD于D，若△ADC的面积为1，则△ABC的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
为了解不等式“1mA. m>1B. m<−1
C. m<−1或01或−1用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为( )
A. 正比例函数关系B. 反比例函数关系C. 一次函数关系D. 二次函数关系
函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是______.
如图：在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70∘，那么∠C的度数为______.
如图，若点P在反比例函数y=−3x(x<0)的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为______.
在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果csA=13，AC=2，那么AB的长为______.
如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m.若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为______.(单位：m)
若二次函数y=x2−2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______ .
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点.若∠P=50∘，则∠AOB=______ .
某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1−8月份这种药材售价(元)与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价(元)与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断__________月份出售这种药材获利最大．
计算：|−3|+(12)−1−12+2cs30∘.
如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠ABC.
(1)求证：△ACD∽△ABC；
(2)若AD=2，AB=5.求AC的长．
已知二次函数y=x2+2x−3.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标；
(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
(3)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=x2+2x−3的图象；
(4)结合函数图象，直接写出当y<0时，x的取值范围．
如图，A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线．
(1)①连接OA并延长，使AB=OA；
②作线段OB的垂直平分线；
使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l(保留作图痕迹)；
(2)直线l即为所求作的切线，完成如下证明．
证明：在⊙O中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且______，
∴直线l是⊙O的切线(______)(填推理的依据).
如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,3)，B(2,3)，C(−1,0)则
(1)该抛物线的对称轴为______；
(2)该抛物线与x轴的另一个交点为______；
(3)求该抛物线的表达式．
因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70∘方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．(精确到0.1，参考数据：sin70∘≈0.94，cs70∘≈0.34)
在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(x>0)的图象与直线y=12x+1交于点A(2,a).
(1)求a、k的值；
(2)已知点P(n,0)(n>0)，过点P作垂直于x轴的直线，与反比例函数图象交于点B，与直线交于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段AC，BC围成的区域(不含边界)为W.
①当n=5时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD//弦BC，
(1)求证：弧AD=弧CD；
(2)连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF的长．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，过点C作CE//AB，过点A作AE//CD，两线相交于点E，连接DE.
(1)求证：四边形AECD是矩形；
(2)若BD=45，sin∠ACE=255，求DE的长．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+a−2(a>0)的对称轴是直线x=1.
(1)用含a的式子表示b；
(2)若当−2≤x≤3时，y的最大值是7，求a的值；
(3)若点A(−2,m)B(3,n)为抛物线上两点，且mn<0，求a的取值范围．
如图，∠MAN=45∘，B是射线AN上一点，过B作BC⊥AM于点C，点D是BC上一点，作射线AD，过B作BE⊥AD于点E，连接CE.
(1)依题意补全图形；
(2)求证：∠CAE=∠DBE；
(3)用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明．
在平面直角坐标系xOy中，点A(0,−1)，以O为圆心，OA长为半径画圆，P为平面上一点，若存在⊙O上一点B，使得点P关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点P是⊙O的以A为中心的“关联点”．
(1)如图，点P1(−1,0)，P2(12,12)，P3(0,65)中，⊙O的以点A为中心的“关联点”是______；
(2)已知点P(m,0)为x轴上一点，.若点P是⊙O的以A为中心的“关联点”，直接写出m的取值范围；
(3)C为坐标轴上一点，以OC为一边作等边△OCD，若CD边上至少有一个点是⊙O的以点A为中心的“关联点”，求CD长的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.因为xy=35，所以5x=3y，故A不符合题意；
B.因为xy=53，所以3x=5y，故B符合题意；
C.因为x3=y5，所以5x=3y，故C不符合题意；
D.因为3x=5y，所以5x=3y，故D不符合题意；
故选：B.
根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式判断即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵DE//BC，ADBD=2，
∴AEEC=ADBD=2，
∵AE=6，
∴6EC=2，
∴EC=3.
故选：A.
根据平行线分线段成比例定理即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据性质得到对应线段成比例是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【解答】
解：抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0)，
先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1,−3)，
所以，所得抛物线解析式为y=2(x−1)2−3.
故选：A.
4.【答案】A
【解析】解：如图：
在Rt△ABC中，tanα=BCAB=23，
故选：A.
把α放在直角三角形中进行计算即可．
本题考查了解直角三角形，把α放在适当的直角三角形中进行计算是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=12CD=4，
在Rt△OCE中，OE=OC2−CE2=52−42=3，
∴AE=OA−OE=5−3=2.
故选：B.
连接OC，如图，先利用垂径定理得到CE=DE=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OA−OE.
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
6.【答案】C
【解析】解：∵CD⊥AD，∠CAD=30∘，
∴AC=2CD，
设CD=a，则AC=2a，
∴AD=AC2−CD2=3a，
∵S△ADC=12CD⋅AD=1，
∴12a⋅3a=1
解得a2=233，
Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，
∴AB=2AC=4a，
∴BC=3AC=23a，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12×23a×2a=23a2=23×233=4，
故选：C.
由含30∘角的直角三角形的性质可得AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，根据勾股定理可求解AD，AC，利用△ADC的面积可求解a2，再利用含30∘角的直角三角形的性质可得BC=23a，利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查含30∘角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，灵活运用含30∘角的直角三角形的性质求解线段之间的关系是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：观察图象，当x>1或−1∴不等式“1m1或−1故选：D.
根据图象即可求得．
本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，解答本题的关键是进行数形结合，此题比较简单．
8.【答案】D
【解析】解：∵矩形的周长为2米，一边长为x米，
∴另一边的长为(1−x)米，
∴S=x(1−x)=−x2+x，
∴S与x的函数关系为二次函数关系．
故选：D.
根据矩形的面积公式可得S与x的函数关系式．
本题考查二次函数的实际应用，根据矩形的面积公式得到S与x的关系式是解题关键．
9.【答案】x≠2
【解析】解：要使分式有意义，即：x−2≠0，
解得：x≠2.
故答案为：x≠2.
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0.
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0.
10.【答案】35∘
【解析】解：∵AB所对的圆心角是∠AOB，AB所对的圆周角是∠ACB，
∴∠ACB=12∠AOB，
∵∠AOB=70∘，
∴∠ACB=12×70∘=35∘，
故答案为：35∘.
根据圆周角定理解答即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：设PN=a，PM=b，
∵P点在第二象限，
∴P(−a,b)，代入y=−3x中，得
k=−ab=−3，
∴矩形PMON的面积=PN⋅PM=ab=3，
故答案为：3.
根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.”是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，
∴csA=ACAB=13，
∵AC=2，
∴AB=3AC=6，
故答案为：6.
根据余弦函数的定义即可直接求解．
本题考查了解直角三角形，掌握余弦函数的定义csA=∠A的邻边与斜边的比是解题的关键．
13.【答案】9
【解析】解：如图，
BC=2m，CE=12m，AB=1.5m，
由题意得∠ACB=∠DCE，
∵∠ABC=∠DEC，∠ABC=∠DEC=90∘，
∴△ACB∽△DCE，
∴ABDE=BCCE，即1.52=DE12，
∴DE=9.
即旗杆的高度为9m.
故答案为：9.
如图，BC=2m，CE=12m，AB=1.5m，利用题意得∠ACB=∠DCE，∠ABC=∠DEC=90∘，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．
本题考查了相似三角形的应用，解题关键是找出相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
14.【答案】m<1
【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴(−2)²−4×1×m>0，
∴m<1.
故答案为：m<1.
根据△>0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是记住△=0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△>0⇔抛物线与x轴有两个交点，△<0⇔抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．
15.【答案】130∘
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90∘，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P=360∘，∠P=50∘，
∴∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘.
故答案为：130∘.
先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90∘，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
16.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的应用，关键是根据图象利用待定系数法求函数解析式．
根据两幅图分别求出售价、成本与月份的函数关系式，再根据利润=售价-成本得出利润关于月份的函数关系式，再根据函数的性质求出x即可．
【解答】
解：设这种药材售价(元)与月份的一次函数关系式为y=kx+b，
把(3,8)，(6,6)代入得，3k+b=86k+b=6，
∴k=−23b=10，
∴这种药材售价(元)与月份所示的一次函数关系式为y=−23x+10，
设每千克的成本价(元)与月份的之间的抛物线的解析式为m=a(x−6)2+1，
把(1,9)代入得，9=a(1−6)2+1，
∴a=825，
∴每千克的成本价(元)与月份的之间的抛物线的解析式为m=825(x−6)2+1，
设这种药材利润为w元，
则w=y−m=−23x+10−825(x−6)2−1=−23x−825x2+9625x−28825+9
=−825x2+23875x−6325=−825(x−11924)2+38572，
∵−825<0，对称轴为直线x=11924=42324，
∵x为正整数，
∴当x=5时，w最大．
故答案为：5.
17.【答案】解：|−3|+(12)−1−12+2cs30∘
=3+2−23+2×32
=3+2−23+3
=2.
【解析】先化简各数，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；
(2)解：∵△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∴AC2=AD⋅AB，
∵AD=2，AB=5，
∴AC2=10，
∵AC>0，
∴AC=10.
【解析】(1)根据两角相等的两个三角形相似证明即可；
(2)利用(1)的结论可得相似三角形的对应边成比例即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两角相等的两个三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：(1)y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(−1,−4)；
(2)令x=0，则y=−3，
∴该二次函数图象与y轴的交点为(0,−3)；
令y=0，则x2+2x−3=0，
解得：x1=−3，x2=1，
∴该二次函数图象与x轴的交点为(−3,0)和(1,0)；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴抛物线经过(−2,−3)，
由五点法画函数简图，如图所示：
(4)由函数图象可得：y<0时，x的取值范围−3【解析】(1)用配方法即可求解；
(2)当y=0时，即−x2−2x+3=0，解得x1=−3，x2=1，x=0时求得y=−3即可求解；
(3)由(1)(2)利用五点法画二次函数简图；
(4)观察函数图象即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
20.【答案】解：(1)如图，直线l即为所求；
(2)OA⊥直线l；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线
【解析】解：(1)见答案；
(2)在⊙O中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且OA⊥直线l，
∴直线l是⊙O的切线(经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线).
故答案为：OA⊥直线l，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
(1)利用尺规作线段OB的垂直平分线l即可解决问题；
(2)根据切线的判定定理证明即可．
本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)直线x=1
(2)(3,0)
(3)由抛物线经过点A(3,0)，B(−1,0)
设y=a(x+1)(x−3)，
将点A(0,3)代入得，−3a=3，
解得：a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3.
【解析】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,3)，B(2,3)，
∴抛物线的对称轴为直线x=0+22=1，
故答案为：直线x=1.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1，且经过点C(−1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，
故答案为：(3,0).
(3)见答案.
(1)通过点A和点B的坐标得到对称轴；
(2)通过对称轴和点C的坐标求得另一个与x轴的交点；
(3)通过与x轴的两个交点的坐标设交点式，然后代入点A的坐标求得抛物线的表达式．
本题考查了二次函数的对称性、二次函数与x轴的交点坐标、二次函数的解析式，解题的关键是会选择合适的表达式求二次函数的解析式．
22.【答案】解：过B作BD⊥AC于D，
∴∠BDC=∠BDA=90∘，
∵∠ABD=70∘，AB=10千米，
∴BD=ABcs∠ABD≈10×0.34=3.4(千米)，AD=ABsin∠ABD≈10×0.94=9.4(千米)，
∵∠CBD=45∘，∠BDC=90∘，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=3.4千米，
∴AC=CD+AD=3.4+9.4=12.8(千米)，
答：AC之间的距离为12.8千米．
【解析】过B作BD⊥AC于D，根据垂直的定义得到∠BDC=∠BDA=90∘，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)反比例函数y=kx(x>0)的图象与直线y=12x+1交于点A(2,a)，
∴a=12×2+1=2，
∴A(2,2)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A(2,2)，
∴k=2×2=4；
(2)①区域W内有2个整数点：(3,2)，(4,2)；
②n的取值范围为：4【解析】解：(1)见答案；
(2)①当n=5时，则B为(5,45)，C(5,72)，
∴在W区域内有2个整数点：(3,2)，(4,2)；
②由图形可知，若区域W内的整点恰好为2个，则4(1)把A(3,a)代入y=2x−4求得a=2，然后根据待定系数法即可求得k的值；
(2)①当n=5时，得到B为(5,45)，C(5,72)，结合图象于是得到结论；
②根据图象即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接BD，
∵半径OD//弦BC，
∴∠D=∠DBC，
∵OB=OD，
∴∠D=∠ABD，
∴∠ABD=∠DBC，
∴弧AD=弧CD；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90∘，
∵⊙O的半径为5，
∴直径AB=10，
∵BC=6，
∴AC=AB2−BC2=102−62=8，
∵BC//OD，∠ACB=90∘，AO=BO，
∴∠AEO=∠ACB=90∘=∠DEC，AE=CE=12×8=4，
∴OE=12BC=12×6=3，
∴DE=OD−OE=5−3=2，
由勾股定理得：CD=DE2+CE2=22+42=25，
∵OD//BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DEBC=EFCF，
∵DE=2，BC=6，CE=4，
∴26=EF4−EF，
解得：EF=1，
∴CD=25，EF=1.
【解析】(1)连接BD，根据平行线的性质得出∠D=∠DBC，根据等腰三角形的性质得出∠D=∠ABD，求出∠ABD=∠DBC即可；
(2)根据圆周角定理得出∠BCA=90∘，根据勾股定理求出AC，求出∠AEO=∠ACB=90∘=∠DEC，AE=CE=4，根据三角形中位线性质得出OE=12BC=3，求出DE，根据勾股定理求出CD，根据相似三角形的判定得出△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质得出DEBC=EFCF，代入求出EF即可．
本题考查了圆周角定理，三角形的中位线性质，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，能求出AC的长是解此题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵CE//AB，AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
∴四边形AECD是矩形；
(2)解：∵四边形AECD是矩形；
∴∠DCE=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCD=∠ACE，
∵sin∠ACE=255，
∴sin∠BCD=BDBC=255，
∵BD=45，
∴BC=10，
∴CD=BC2−BD2=25，
∵四边形AECD是矩形，
∴AE=CD=25，DE=AC，
∵sin∠ACE=AEAC=255，
∴AC=5，
∴DE=5.
【解析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形AECD是平行四边形，根据垂直的定义得到∠ADC=90∘，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据矩形的性质得到∠DCE=90∘，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵y=ax2+bx+a−2，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a.
(2)∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴x=−2时，y=4a−2b+a−2=9a−2为最大值，
∴9a−2=7，
解得a=1.
(3)抛物线对称轴为直线x=1，开口向上，
∵1−(−2)>3−1，
∴m>n，
∵mn<0，
∴m>0，n<0，
把x=−2代入y=ax2−2ax+a−2得y=4a+4a+a−2=9a−2，
∴9a−2>0，
解得a>29，
把x=3代入y=ax2−2ax+a−2得y=9a−6a+a−2=4a−2，
∴4a−2<0，
解得a<12，
∴29【解析】(1)由抛物线对称轴为直线x=−b2a=1求解．
(2)由抛物线开口方向和对称轴为直线x=1可得x=−2时y取最大值，进而求解．
(3)由抛物线开口方向和对称轴为直线x=1可得m>n，由mn<0可得m>0，n<0，将x=−2和x=3分别代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27.【答案】解：(1)如图，即为补全的图形；
(2)证明：∵BC⊥AM，BE⊥AD，
∴∠ACB=∠BED=90∘，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CAE=∠DBE；
(3)AE=BE+2CE.
证明：如图，在AE上截取AF=BE，连接CF，
∵BC⊥AM，∠MAN=45∘，
∴∠CBA=45∘，
∴△CBA是等腰直角三角形，
∴CA=CB，
在△CAF和△CBE中，
CA=CB∠CAF=∠CBEAF=BE，
∴△CAF≌△CBE(SAS)，
∴CF=CE，∠ACF=∠BCE，
∴∠ACF+∠FCD=∠BCE+∠FCD，
∴∠ACD=∠FCE=90∘，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∴EF=2CE，
∴AE=AF+EF=BE+2CE.
【解析】(1)根据题意即可补全图形；
(2)根据三角形内角和定理即可证明结论；
(3)在AE上截取AF=BE，连接CF，证明△CAF≌△CBE，可得CF=CE，∠ACF=∠BCE，可以证明△FCE是等腰直角三角形，进而可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是得到△CAF≌△CBE.
28.【答案】解：(1)P1和P2
(2)−3≤m≤3
(3)如图，
以点A为圆心，2为半径画圆，
作CD与⊙A相切，交y轴于点C，且∠ACD=60∘，切点是点E，
则点E以A为中心的的“关联点”，
连接AE，，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90∘，
∴AC=AEsin60∘=2÷32=433，
∴CD=OC=1+433=3+433，
即CD长的最大值是：3+433.
【解析】解：(1)∵AP1=2<2，点P2在⊙O内，
∴P1和P2是以点A为中心的“关联点”，
∵AP3=165>2，
∴点P3不是以点A为中心的“关联点”，
故答案是：P1和P2；
(2)以点A为圆心，2为半径画圆与x轴交于M点和N，
∴OM=ON=3，
∴−3≤m≤3；
(3)见答案.
(1)“关联点”满足的条件是到A点的距离小于或等于2；
(2)同(1)相同，点P到A的距离小于或等于2即可；
(3)以A为圆心，2为半径的圆与CD相切的切点是CD最大时存在的“关联点”．
本题是以圆和轴对称为背景的阅读理解，考查了轴对称性质，圆的切线性质，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是“关联点”到点A的距离不大于直径．
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