2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了1m，sin35∘≈0，【答案】B，【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】y=−x2+1等内容，欢迎下载使用。

已知∠A为锐角，且sinA=12，那么∠A等于( )
A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘
已知3a=4b(ab≠0)，则下列各式正确的是( )
A. ab=43B. ab=34C. a3=b4D. a3=4b
抛物线y=x2−2的顶点坐标为( )
A. (0,−2)B. (−2,0)C. (0,2)D. (2,0)
已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，则k的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA=50∘，则∠BAD=( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 60∘
如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为( )
A. 32
B. 322
C. 3
D. 32
关于二次函数y=−(x−2)2+3，以下说法正确的是( )
A. 当x>−2时，y随x增大而减小B. 当x>−2时，y随x增大而增大
C. 当x>2时，y随x增大而减小D. 当x>2时，y随x增大而增大
如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C(1,c)，D(2,d)，E(e,1)，P(m,n)均为AB上的点(点P不与点A，B重合)，若mA. 在BC上
B. 在CD上
C. 在DE上
D. 在EA上
写出一个开口向下，与y轴交于点(0,1)的抛物线的函数表达式：______.
已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是______.
若扇形的圆心角为60∘，半径为2，则该扇形的弧长是______(结果保留π).
点A(−1,y1)，B(4,y2)是二次函数y=(x−1)2图象上的两个点，则y1______y2(填“>”，“<”或“=”).
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长度为______.
已知反比例函数y=m−1x的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是______.
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P=50∘，则∠ACB=______∘.
点A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1⋅x2≥0)是y=ax2(a≠0)图象上的点，存在|x1−x2|=1时，|y1−y2|=1成立，写出一个满足条件a的值______.
计算：2sin60∘+tan45∘−cs30∘tan60∘.
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=4，AB=5，点D在AC上且AD=3，DE⊥AB于点E，求AE的长．
已知：二次函数y=x2−4x+3.
(1)求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；
(2)在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y<0时，自变量x的取值范围．
如图，在△ABC中，∠B=30∘，AB=4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD=12，求BC的长．
已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC.
求作：一点P，使得∠APC=∠BAC.
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P.
点P即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明：
证明：连接PC，BD.
∵AB=AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC=BD，
∴∠______=∠______.
∴∠BAC=12∠CAD.
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD=12∠CAD.(______)(填推理的依据)
∴∠APC=∠BAC.
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,2)是一次函数y=x−1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象的交点．
(1)求反比例函数y=kx(k≠0)的表达式；
(2)过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，直接写出n的取值范围．
居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉．某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD.(结果精确到0.1m，sin35∘≈0.574，cs35∘≈0.819，tan35∘≈0.700)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP=∠BCD.
(1)求证：CP是⊙O的切线；
(2)连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC.若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．
随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元．销售过程中发现，每天销售量y(袋)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数：y=−2x+80(20≤x≤40)，设每天获得的利润为w(元).
(1)求出w与x的关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在二次函数y=x2+bx的图象上．
(1)当m=−3时．
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点(−1,y1)，(a,y2)在二次函数的图象上，且y2>y1，则a的取值范围是______；
(2)当mn<0时，求b的取值范围．
已知∠POQ=120∘，点A，B分别在OP，OQ上，OA(1)补全图形；
(2)连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
(3)连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明．
在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ(1)在P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)中是线段OQ的“潜力点”是______；
(2)若点P在直线y=x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；
(3)直线y=2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵sinA=12，∠A为锐角，
∴∠A=30∘.
故选：B.
根据特殊角的三角函数值求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2.【答案】A
【解析】解：A、由ab=43可得3a=4b，故此选项正确；
B、由ab=34可得4a=3b，故此选项错误；
C、由a3=b4可得4a=3b，故此选项错误；
D、由a3=4b可得ab=3×4=12，故此选项错误．
故选：A.
利用比例的性质：内项之积等于外项之积，即可求解．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线y=x2−2是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为(0,−2)，
故选：A.
根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h.
4.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，
∴3=k2，
∴k=6，
故选：D.
把A点坐标代y=kx(k≠0)中即可求出k的值．
本题考查了反比例函数上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA=50∘，
∴∠ADB=∠BCA=50∘，
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90∘，
∴∠BAD=90∘−50∘=40∘，
故选：B.
根据直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到∠ADB=50∘，∠ABD=90∘是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，OB，则OA=OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90∘，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴AB=18=32，
∴OA=OB=22AB=3，
故选：C.
连接OA、OB，则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为32，进而可得半径为3.
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、构造等腰直角三角形是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的解析式为y=−(x−2)2+3，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，
∴当x<2时，y随x增大而增大，当x>2时，y随x增大而减小，
故选：C.
根据二次函数的顶点式可以得出图象的对称轴和开口方向，从而确定函数的增减性．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记顶点式与图象的关系．
8.【答案】B
【解析】解：如图，过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵C(1,c)，D(2,d)，E(e,1)，
∴OH=1，OG=2，EF=1，
∵OC=OD=OE=2，∠CHO=∠DGO=∠EFO=90∘，
∴c=CH=OC2−OH2=22−12=3，
d=DG=OD2−OG2=22−(2)2=2，
e=OF=OE2−EF2=22−12=3，
∴C(1,3)，D(2,2)，E(3,1)，
由图可知：随着∠COH−∠DOG−∠EOF角度逐渐变小，点C、D、E的横坐标逐渐增大，纵坐标逐渐减小，
∵m∴点P在CD上．
故选：B.
如图，过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，利用勾股定理求出c、d、e的值，观察点的坐标变化规律即可得出答案．
本题考查了圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理，运用勾股定理求出C、D、E的坐标是解题关键．
9.【答案】y=−x2+1(答案不唯一)
【解析】解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵该函数的图象开口向下，
∴a<0，可以取a=−1，
∵当x=0，y=1，
∴c=1，
∴满足条件的一个函数为y=−x2+1，
故答案为：y=−x2+1(答案不唯一).
开口向下可确定二次项系数小于0，与y轴交于点(0,1)可确定常数项为1.
本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，关键是要牢记系数和图象开口，顶点，对称轴，坐标轴交点之间的关系．
10.【答案】相交
【解析】解：∴⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，
∴4<5，
即d∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交．
由题意得出d本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d11.【答案】23π
【解析】解：∵扇形的圆心角为60∘，半径为2，
∴扇形的弧长=60π×2180=23π.
故答案为：23π.
利用弧长公式计算即可．
此题考查弧长公式：l=nπR180，关键是记住弧长公式，属于中考基础题．
12.【答案】<
【解析】解：把A(−1,y1)、B(4,y2)代入二次函数y=(x−1)2得，
y1=(−1−1)2=4；y2=(4−1)2=9，
所以y1故答案为<.
由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出y1、y2的值，再比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标符合函数解析式．
13.【答案】3
【解析】解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴CH=DH=12CD=12×8=4，
∵直径AB=10，
∴OC=5，
在Rt△OCH中，OH=OC2−CH2=3，
故答案为3.
根据垂径定理由CD⊥AB得到CH=12CD=4，再根据勾股定理计算出OH=3.
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14.【答案】m<1
【解析】解：∵反比例函数y=m−1x的图象分布在第二、四象限，
∴m−1<0.
解得m<1.
故答案是：m<1.
根据反比例函数的图象和性质，由m−1<0即可解得答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
15.【答案】65
【解析】解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=50∘，
∴∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，
∴∠ACB=12∠AOB=12×130∘=65∘，
故答案为：65.
连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形的内角和定理求出∠AOB，再根据圆周角定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：∵y=ax2(a≠0)，
∴对称轴为y轴，
∵x1⋅x2≥0，
∴x1、x2不在对称轴的异侧，
∵|x1−x2|=1，
当x1>x2=0时，则x1=1，
∴y1=a，y2=0，
∵|y1−y2|=1，
∴a−0=1，
∴a=1，
故答案为：1(答案不唯一).
根据题意当x1>x2=0时，则x1=1，由|y1−y2|=1，得到a−0=1，解得a=1.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意设出x1、x2的值，代入解析式即可求得a的值．
17.【答案】解：2sin60∘+tan45∘−cs30∘tan60∘
=2×32+1−32×3
=3+1−32
=3−12.
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：∵DE⊥AB于点E，∠C=90∘，
∴∠AED=∠C=90∘，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
∵AB=5，AD=3，AC=4，
∴35=AE4，
∴AE=125.
【解析】由DE⊥AB得到∠AED=∠C=90∘，然后得到△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质求得AE的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直的定义得到∠AED=∠C=90∘.
19.【答案】(1)解：∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴抛物线顶点坐标为(2,−1).
令y=0，则x2−4x+3=0.
解得x1=1，x2=3.
∴图象与x轴交点坐标为(1,0)(3,0).
(2)如图，
当y<0时，自变量x的取值范围为1【解析】(1)将函数解析式化为顶点式求解顶点坐标，令y=0求图象与x轴交点坐标．
(2)通过观察抛物线在x轴下方的x取值范围求解．
本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
20.【答案】解：∵AD⊥BC于点D，
∴△ABD，△ADC为直角三角形．
∵Rt△ADB中，∠B=30∘，AB=4，
∴AD=2，BD=23.
∵Rt△ADC中，tan∠CAD=12，AD=2，
∴tan∠CAD=CDAD=12.
∴CD=1.
∴BC=23+1.
【解析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别求出AD、BD、CD，再利用线段的和差关系求出BC.
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示．
(2)BACBAD一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【解析】解：(1)见答案；
(2)证明：连接PC，BD.
∵AB=AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC=BD，
∴∠BAC=∠BAD.
∴∠BAC=12∠CAD.
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD=12∠CAD.(一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半)，
∴∠APC=∠BAC.
故答案为：BAC，BAD，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
(1)根据要求作图即可；
(2)根据圆周角定理求解即可．
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理．
22.【答案】解：(1)把A(a,2)代入y=x−1，
得，a−1=2，解得a=3，
∴点A坐标为(3,2).
把A(3,2)代入y=kx(k≠0)，
得，2=k3，解得k=6.
∴反比例函数表达式为y=6x；
(2)n的取值范围是n<−2或n>3.
【解析】解：(1)见答案；
(2)一次函数y=x−1的图象与y=6x的图象相交于点(3,2)和(−2,−3).
观察函数图象可知：过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，PM>PN，
则n的取值范围是n<−2或n>3.
(1)把A(a,2)代入y=x−1，求出a，得到A点坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值；
(2)先画出两函数的图象，再根据S△OPM>S△OPN时PM>PN，即可得出n的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，利用数形结合是解题的关键．
23.【答案】解：根据题意，得BM=ED=1.6m，∠AEC=90∘，
设AE为x m，在Rt△ACE中，
∵∠ACE=45∘，
∴∠CAE=45∘，
∴AE=CE=xm，
在Rt△ABE中，
∵tan∠ABE=AEBE，
又∵∠ABE=35∘，
∴tan35∘=xx+13，
解得x≈30.3，
∴AD=AE+ED≈30.3+1.6≈31.9(m)，
答：城楼的高度AD约为31.9m.
【解析】设AE为x m，根据三角函数列方程求得AE的值，进而求出AD即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数求值是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC.
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵AB⊥CD于点E，
∴∠CEB=90∘.
∴∠OBC+∠BCD=90∘.
∴∠OCB+∠BCD=90∘.
∵∠BCP=∠BCD，
∴∠OCB+∠BCP=90∘.
∴OC⊥CP.
∵OC是⊙O的半径，
∴CP是⊙O的切线．
(2)如图，
∵AB⊥CD于点E，
∴E为CD中点．
∵O为GD中点，
∴OE为△DCG的中位线．
∴GC=2OE=6，OE//GC.
∵AO//GC，
∴△GCF∽△OAF.
∴GCOA=GFOF=65.
∵GF+OF=5，
∴OF=2511.
【解析】(1)连接OC.根据圆周角定理和同角的余角相等可得∠OCB+∠BCD=90∘.然后由切线的判定方法可得结论；
(2)由垂径定理及三角形的中位线定理可得GC=2OE=6，OE//GC.然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
25.【答案】解：(1)由题意可得w=(x−20)y=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600.
∴w与x的关系式为w=−2x2+120x−1600.
(2)∵w=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200，
∵20≤x≤40，且a=−2<0，
∴当x=30时，y最大值=200.
答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．
【解析】(1)由利润=每袋利润×销量求解．
(2)将函数解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的应用，解题关键是通过题意列出等式，掌握求二次函数求最值的方法．
26.【答案】解：(1)当m=−3时．
①把点(1,−3)代入y=x2+bx，得b=−4，
二次函数表达式为y=x2−4x=(x−2)2−4，
所以顶点坐标为(2,−4)；
②a<−1或a>5；
(2)将点(1,m)，(3,n)代入y=x2+bx，可得m=1+b，n=9+3b.
当mn<0时，有两种情况：
①若m>0,n<0.把m=1+b，n=9+3b代入可得1+b>0,9+3b<0.此时不等式组无解．
②若m<0,n>0.把m=1+b，n=9+3b代入可得1+b<0,9+3b>0.解得−3所以−3【解析】解(1)①见答案；
②∵抛物线y=x2−4x=(x−2)2−4.
∴开口向上，对称轴为直线x=2，
∴点(−1,y1)关于直线x=2的对称点为(5,y1)，
∵点(−1,y1)，(a,y2)在二次函数的图象上，且y2>y1，
∴a<−1或a>5，
故答案为：a<−1或a>5；
(2)见答案.
(1)①利用待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②根据二次函数的增减性和对称性即可得到a的取值范围；
(2)分两种情况讨论，根据题意得到关于b的不等式组，解不等式组即可求得．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
27.【答案】(1)解：补全图形如图1所示；
(2)证明：如图2，在BQ上截取BE=AO，连接CE，
∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60∘，
∵∠POQ=120∘，
∴∠CAO+∠CBO=180∘，
∵∠CBO+∠CBE=180∘，
∴∠CAO=∠CBE，
在△CAO和△CBE中，
CA=CB∠CAO=∠CBEAO=BE，
∴△CAO≌△CBE(SAS)，
∴CO=CE，∠COA=∠CEB，
∴∠COE=∠CEB，
∴∠COP=∠COQ；
(3)解：∠DAB=150∘时，CD=OB+OC，
证明如下：∵∠DAB=150∘，DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15∘.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60∘，
∴∠CAD=150∘，
∵AD=AB=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15∘，
∴∠DBC=∠DCB=75∘，
∴DB=DC，∠BDC=30∘，
∵∠POQ=120∘，∠BDC=30∘，
∴∠DFO=90∘，
∵AD=AC，
∴DF=FC.
∴DO=OC，
∴DB=DO+OB=OC+OB，
∴CD=OB+OC.
【解析】(1)根据题意补全图形；
(2)在BQ上截取BE=AO，连接CE，证明△CAO≌△CBE，根据全等三角形的性质得到CO=CE，∠COA=∠CEB，根据邻补角的定义证明即可；
(3)根据等腰三角形的性质和判定定理得到DB=DC，再证明DO=OC，结合图形证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28.【答案】(1)P3解:
(2)∵点P为线段OQ的“潜力点”，
∴OQ∵OQ∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外．
∵PO∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧．
∵PO≤2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．
又∵点P在直线y=x上，
∴点P在如图所示的线段AB上(不包含点B).
过点B作BC⊥y轴，过点A作AD⊥y轴，
由题意可知△BOC和△AOD是等腰三角形，
∴BC=22，AD=2，
∴−2≤xp<−22.
(3)b的取值范围为：1【解析】解：(1)在坐标系中找到P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)三点，如图，
根据“潜力点”的定义，可知P3是线段OQ的潜力点．
故答案为：P3；
(2)见答案；
(3)如图①，当直线MN与半径长为2的圆相切时，开始有“潜力点”，且点E是“潜力点”；
过点O作OE⊥MN，
则OE=2，ME=1，
∴OM=5，
则b=ON=25；
点N继续当下运动，如图②，当点N与点(0,1)重合时，开始没有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；
此时b=1；
如图③，当点N与(0,−1)，重合时，开始有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；
此时b=−1；
如图④，当线段MN过点G时，开始没有“潜力点”，且点G不是“潜力点”；
此时G(12,−152)，
∴2×12+b=−152，
∴b=−152−1.
综上所示，b的取值范围为：1(1)在坐标系中找到P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)三点，根据坐标系中两点间的距离可直接得出结论；
(2)经过分析可知，点P在以O为圆心，1为半径的圆外，且在线段OQ垂直平分线的左侧，且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．画出点P的范围，找到此范围中符合题意的点P，即可求解．
(3)根据点N的运动，可找到临界状态，画出图形，求出对应的b的值即可．
本题属于一次函数综合题，考查了解两点间的距离，“潜力点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题目
测量城楼顶端到地面的高度
测量目标
示意图
相关数据
BM=1.6m，BC=13m，∠ABC=35∘，∠ACE=45∘