6.3正方形的性质与判定第2课时（教学课件）-2025-2026学年八年级数学下册（鲁教版五四制2024）

6.3 正方形的性质与判定 第2课时 第六章 特殊平行四边形学 习 目 标1.掌握正方形的判定定理，并解决相关问题;（重点）2.熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断;（难点）3.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.知识回顾1.正方形的定义：有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形.邻边2.正方形的性质：（1）正方形的四个角都是 ；（2）正方形的四条边 ；（3）正方形的对角线 ，互相 ，且每条对角线 .垂直平分直角相等直角平行相等3.正方形的对称性：正方形即是 图形，也是 图形，它有 条对称轴.平分一组对角中心对称轴对称4情境引入只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形.你能说出你的理由吗？如何判定一个四边形是正方形呢？新知探究 探究一：正方形的判定类比平行四边形、矩形和菱形,正方形的定义也是判定正方形的一种方法.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形.几何语言：定义法：新知探究1.下列说法中，依据正方形的定义能判定一个平行四边形是正方形的是（ ）​A. 对角线互相平分的平行四边形​B. 一组对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形​C. 一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形​D. 对角线相等且互相垂直的平行四边形C新知探究有一组邻边相等的矩形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形.请证明你的结论，并与同伴进行交流.新知探究1.求证：有一组邻边相等的矩形是正方形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义).证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC平分BD.∵AC⊥BD,∴AC垂直平分BD,∴AB=AD.∴矩形ABCD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形).新知探究2.求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.新知探究3.求证：有一个角是直角的菱形是正方形.证明: ∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是平行四边形且AB=BC.∵∠A=90°,∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).新知探究4.求证：对角线相等的菱形是正方形.证明: ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC.∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC,∴∠DAB=∠CBA.∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°,∴∠DAB=∠CBA=90°,∴四边形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).新知探究正方形的判定定理：定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形.几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形.新知探究定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.定理4：对角线相等的菱形是正方形.几何语言：∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是正方形.几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形.正方形的判定定理：新知探究②AB=AD(答案不唯一)新知探究 探究二：中点四边形任意画一个正方形，以四边的中点为顶点组成的图形是正方形。提示：连接正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD。​利用三角形的中位线定理证明.方法不唯一.新知探究 O新知探究新知探究（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关 系？有怎样的关系？新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关.当原四边形的两条对角线互相垂直时，新四边形是矩形;当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形;当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时，新四边形是正方形.新知探究中点四边形:决定中点四边形的形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系。新知探究C 典例分析 典例分析证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADE=90°,∴∠ABF+∠AFB=90°.∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFB=90°,∴∠ABF=∠DAE.在△ABF和△DAE中,∵∠ABF=∠DAE,∠BAF=∠ADE=90°,BF=AE,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.巩固练习1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形DD巩固练习A4.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是 （　 　）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形B巩固练习5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．AB=BC(答案不唯一)6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_______________(只填写序号)．②③或①④巩固练习7.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M，N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠ABD=∠CBD. ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB.巩固练习（2）∵∠ADC=90°， 又∵PM⊥AD,PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形.课堂小结正方形的判定方法:定义法有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.正方形的判定定理中点四边形感谢聆听! 第六章 特殊平行四边形