初中数学北师大版（2024）八年级上册探索勾股定理课时作业

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册探索勾股定理课时作业，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）

A．1.5B．2.5C．2.25D．3
2．在中，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图的4×4的方格纸中有一格点△ABC，其面积等于cm2，则这个方格纸的面积等于（ ）
A．16cm2B．20cm2C．21cm2D．24cm2
4．已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则为（ ）

A．B．C．D．
5．如图，设正方体的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是：
白甲壳虫爬行的路线是：那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）

A．0B．1C．D．
6．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，7B．，，C．0.5，1.2，1.3D．7，24，25
7．直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）
A．6厘米B．8厘米C．厘米D．厘米
8．若 RtABC 中，∠C＝90°，且 AB＝10，BC＝8，则 AC 的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
9．如图，在中，，，，E是边BC上的一动点，连接AE，作于点D，连接BD，则BD的最小值为 ．
10．直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的 倍．
11．三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为 ．

12．如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=8，点D为BC的中点，将△ABD沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，则CE的长为 .
13．如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=8，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD的长度为 .
三、解答题
14．如图，在中，，，，求AB的长．
15．如图，在中，，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，，求的长．

16．已知为等边三角形，点D、E分别是上一点．
(1)如图1，，连接交于点F，在的延长线上取点G，使得，连接，若，求的面积；
(2)如图2，相交于点G，点F为AD延长线上一点，连接，已知，，，探究之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，已知，过点A作于点D，点M是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，当取最小值时请直接写出的长．
17．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度．求滑道的长度．
参考答案：
1．B
【分析】根据正方形的折叠和勾股定理计算即可．
【详解】∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝3，
根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，
设DF＝x，
则EF＝EG+GF＝1+x，FC＝DC﹣DF＝3﹣x，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
∵在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，即（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得：x＝1.5，
∴DF＝1.5，EF＝1+1.5＝2.5．
故选：B．
【】本题主要考查了勾股定理的应用，通过折叠得到线段相等是解题的关键．
2．D
【分析】根据勾股定理进行判断即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴为斜边，、为直角边，
∴根据勾股定理得：，故D正确．
【】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
3．D
【详解】设正方形网格(小正方形)的边长为x，则
(4x)2−×x×4x−×2x×3x−×2x×4x=，
解得x2=，
∴方格纸的面积=16x2=16×=24.
故选D.
：此题考查了三角形的面积，先设正方形网格（小正方形）的边长为x，根据大正方形与△ABC的面积关系，列方程求解，即可得到方格纸的面积．
4．C
【分析】连接BE，过D作DG⊥AC于G，先判定（SAS），即可得出，再根据勾股定理求得CE的长，进而得出EG和DG的长，再根据勾股定理即可得到DE的长．
【详解】解：如图所示，连接，过作于，

∵，，，
∴由勾股定理得，
由折叠可得，与全等，
∵的面积是面积的一半，
∴的面积是面积的一半，且，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴，即是的中点，
又∵，
∴≌，
∴，
又∵，
∴中，，
∵，是的中点，
∴是的中点，即，
∴，，
∴中，，
故选：．
【】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．C
【分析】首先根据题意得出都是以6个长度进行循环，从而得出黑甲壳虫和白甲壳虫最后所在的位置，根据直角三角形的勾股定理得出答案．
【详解】解：连接

，则黑甲壳虫停在点C处，白甲壳虫停在点C处处，
则，
故选C．
【】本题主要考查的是规律的发现与整理以及直角三角形的勾股定理，属于基础题型．找出运动的规律是解决这个问题的关键．
6．D
【分析】凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据定义判断．
【详解】解：A、，故该组数不是勾股数，不符合题意；
B、，故该组数不是勾股数，不符合题意；
C、该组数不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、且都为正整数，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
【】此题考查了勾股数定义，正确理解勾股数并掌握勾股定理的计算是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键．设斜边上的高为h厘米，利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出h的值，可得答案．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5厘米、12厘米，，
∴斜边长为厘米，
∴设直角三角形斜边上的高为，则，
解得：(厘米)，
故选：D．
8．B
【分析】直接利用勾股定理得出AC的值即可．
【详解】解：∵RtABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝＝6．
故选：B．
【】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理确定各边长度是解题关键．
9．
【分析】由题意可知，点D在以AC为直径的圆上运动．取AC中点O，△ABC的外接圆⊙O．连接OD、OB．当O、D、B三点在同一直线上时，DB取最小值，此时DB=OB-OD．由此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点D在以AC为直径的圆上运动．
取AC中点O，的外接圆．
连接OD、OB．
当O、D、B三点在同一直线上时，DB取最小值，
此时．
∵，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
即BD的最小值为．
故答案为：．
【】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定BD取最小值的位置．
10．3
【分析】根据勾股定理求出扩大后斜边的长度，与原斜边长度比较即可得出答案．
【详解】解：设直角三角形直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2；
扩大3倍后，直角三角形直角边为3a、3b，则根据勾股定理知斜边为
=3c．即直角三角形两直角边都扩大到原来的3倍，
则斜边扩大到原来的3倍．
故答案为3．
【】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出扩大后斜边的长度．
11．
【分析】根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
【详解】解：如图，设

则
在中，，
，
故正方形A的面积为．
【】本题主要考查了勾股定理的证明，本题的关键是理解：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
12．6.4（或）
【分析】连接BE交AD于O．在Rt△ABD中，由勾股定理求出AD的长．由折叠的性质得到AB=AE，BD=DE，从而得到AD是线段BE的垂直平分线，即有BO=OE，AD⊥BE．
由△ABD的面积，求出BO的长，得到BE的长．再由BD=DE=DC证明△BEC是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】连接BE交AD于O．
∵BC=8，点D为BC的中点，∴BD=DC=4．
∵∠ABD=90°，AB=3，BD=4，∴AD=5．
∵△ABD≌△AED（折叠的性质），∴AB=AE，BD=DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴BO=OE，AD⊥BE．
∵△ABD的面积=AB•BD=AD•BO，∴BO===2.4，∴BE=2BO=4.8．
∵BD=DE，∴∠DBE=∠DEB．
∵ED=DC=4，∴∠DEC=∠DCE．
∵∠DBE+∠BED+∠DEC+∠DCE=180°，∴2∠BED+2∠DEC=180°，∴∠BEC=∠BED+∠DEC=90°，∴EC===6.4．
故答案为6.4．
【】本题考查了勾股定理与折叠．解题的关键是得出∠BEC=90°．
13．
【详解】
连接AD，延长DB交AC于点F.
∵AC＝CD, ∠ACD＝60°,
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD.
在△ADF和△CDF中
∵AD=CD,
AB=BC,
BD=BD,
∴△ADF≌△CDF,
∴∠ADF＝∠CDF,
∴DF⊥AC,
.
,
.
由勾股定理得 .
.
14．AB的长为
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝5，
，
答：AB的长为．
【】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．
【分析】根据折叠的性质可得，，，设，则，在中，，列方程求解即可．
【详解】在中，，，，
由折叠性质可知，
，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是本题的关键．
16．(1)；
(2)，见解析；
(3)
【分析】（1）证明，则，进一步证明为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到答案；
（2）作交BE于H，作交于T，证明，进一步证明，则，，证明是等边三角形，再证明，则，证明，则，得到，则，即可得到结论；
（3）连接，利用等边三角形的性质得到，，勾股定理得到，证明，得到，则当时，最小，最小值为，此时，则，在中，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）证明：在等边中，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形；
；
（2）解：；
证明：如图1，作交BE于H，作交于T，
，，，
，
即，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，；
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
即：，
，
，
，，
在四边形中，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：；
连接，
是等边三角形，，
，，，
∵，是等边三角形，
，，，
∴，
在和中，
，
，
，
当时，最小，最小值为，
此时，
，
在中，．
【】本题考查等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
17．8.5m
【分析】设，则，根据勾股定理得到，即，解方程即可．
【详解】解：设，
则，
由题意得：，
在中，，
∴
解得，
∴．
【】此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
D
D
C
C
D
D
B