甘肃省张掖市甘州区思源实验学校九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省张掖市甘州区思源实验学校九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 小明从正面如图所示的两个物体，看到的是平面图形中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】从正面看易得第一个图形为矩形，第二层图形为正方形．
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 对角线互相垂直且相等
【答案】A
【解析】
【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
【点睛】特殊四边形的性质
3. 函数的图象经过点（，6），则下列各点中，在函数图象上的是（ ）
A. （3，8）B. （3，）C. （，）D. （，）
【答案】B
【解析】
【详解】∵函数y=的图象经过点(−4,6)，
∴6=,解得k=−24,∴y=−，
在A中,(3,8)代入不成立，故A错误；
在B中,(3,−8)代入成立，故B正确；
在C中,(−8,−3)代入不成立，故C错误；
在D中,(−4,−6)代入不成立，故D错误．
故选B.
4. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可．本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
A.若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故A选项正确，不符合题意；
B. 若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故B选项正确，不符合题意；
C. 若添加，则不能得出，故C选项错误，符合题意；
D. 若添加，则根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 可得，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞B. k≥C. k＞且k≠1D. k≥且k≠1
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6. 如图，点为平行四边形边延长线上一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（ ）

A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而即可得到，，，由此得到答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
共3对，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
7. 有四张不透明的卡片，正面分别标有数字0、1、2、3．除正面的数字不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】共有4张标有数字0、1、2、3的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，因此可以求出随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率．
【详解】解：由题意可知，
共有4张标有数字0、1、2、3的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为偶数的有2种，
所以随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率是＝，
故选：A．
【点睛】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
8. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】根据平行线分线段成比例可得，
代入计算可得：，
即可解EC=2，
故选B．
9. 近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员的退休金．企业退休职工李师傅2012年的月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. 2160(1－x) 2 = 1500B. 1500(1＋x) 2 =2160
C. 1500(1－x) 2 =2160D. 1500＋1500(1＋x) ＋1500(1＋x) 2 =2160
【答案】B
【解析】
【分析】设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x，2013年李师傅的月退休金为1500(1+x)，2014年李师傅的月退休金1500（1+x）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝2160．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为（ ）
A. 39米B. 30米C. 24米D. 15米
【答案】A
【解析】
【分析】同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
∴，
∴CD＝×AB＝×1.5＝39米；
那么该大厦的高度是39米．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11. 若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 _____．
【答案】k＞5
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，当5−k＜0时，图象分别位于第二、四象限，即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴5−k＜0，
解得k＞5，
故答案为：k＞5．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题的关键．
12. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【答案】4∶9
【解析】
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
考点：相似三角形的性质．
13. 若一元二次方程的一个根为0，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的根，熟知基本知识是解决问题的关键．
由一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义得到，求解即可．
【详解】解：由题意得：将代入得：，
解得：
又，
∴，
故答案为：1．
14. 如果线段成比例，且，则d=________．
【答案】3.6
【解析】
【详解】根据题意得：,即，解得：d=3.6.故答案3.6.
15. 如图，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE=_____cm．
【答案】2
【解析】
【分析】由▱ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC=∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE=CD，由AD=BC=8cm，AB=CD=6cm即可求出BE．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADE=∠DEC
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=∠CDE
∴CD=CE
∵CD=AB=6cm
∴CE=6cm
∵BC=AD=8cm
∴BE=BC-EC=8-6=2cm．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
16. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时．
【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
若四边形是矩形，
则有，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键．
17. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
【点睛】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
18. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，先根据勾股定理逆定理可得，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到当的值最小时，的最小值，即的最小值为直角三角形斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：连接，
∵在中，，
∴，
即．
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当的值最小时，的最小值，
∵当为直角三角形斜边上的高时，的值最小，
∴的最小值即为直角三角形斜边上的高，
设直角三角形斜边上的高为h，
∵，
∴，
解得：，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到是解题的关键．
三、解答题（本题共10小题，共88分）
19. 用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用平方差公式把方程左边分解因式，再解方程即可；
（2）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可；
（3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；
（4）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得；
【小问2详解】
解；∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
【小问3详解】
解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
20. 如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．
【答案】（1）（2）2m
【解析】
【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．
【详解】（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）在△CAB和△CPO中，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°
∴△CAB∽△CPO
∴，
∴
∴BC＝2m，
∴小亮影子的长度为2m
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若、是方程的两根，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．
详解】（1）根据题意，得，
解得：；
（2）根据题意，得：，
∵，即
∴
解得：或
∵
∴舍去
当时，
∴的值是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解．
22. 如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．
【详解】证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
23. 如图，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）利用相似三角形的性质求出AB即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB=9，
∴BD=AB-AD=9-4=5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24. 某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元?
【答案】5元
【解析】
【分析】根据每千克应涨价x元，则每千克的盈利元，每天可售出千克，根据题意，得，解得即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
【详解】解：根据每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
根据尽量减少库存，故舍去，
答：每千克应涨价5元．
25. 如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD＝2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABEF的面积．
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得出DF∥AB，DF=AB，证出四边形ABED是平行四边形，证出AD=AB，得出四边形ABED为菱形；
（2）过B作BG⊥EF于G，由菱形的性质得出AB=BE=DE=BD=6，得出DF=3，EF=9，证出△BDE是等边三角形，得出DG=DE=3，故BG=DG=3，由梯形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DFAB，
∵BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AD＝2DF，
∴AD＝AB，
∴四边形ABED为菱形；
（2）过B作BG⊥EF于G，
∵四边形ABED为菱形，
∴AB＝BE＝DE＝AD＝6，
∴DF＝3，EF＝9，
∵∠E＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∵BG⊥EF，
∴DGDE＝3，
∴BGDG＝3，
∴四边形ABEF的面积．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、梯形面积公式、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
26. （Electrnic Tll Cllectin）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个通道，车辆可任意选择一个通道通过，且通过每个通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有的汽车经过此收费站，
（1）小李通过A通道的概率为__________；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，再由概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：小李通过A通道的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如图：

由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
（小李和小赵经过相同通道）．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，概率公式，正确的画出数状图是解题的关键．
27. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴．
设正方形零件的边长为，则，．
∵，
∴，
∴，
解得．
∴这个正方形零件的边长是．
28. ，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止．
（1）写出的长和的长关于时间t的函数；
（2）经过多少时间后，与相似？
（3）在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由．
【答案】（1），.
（2）在中，；在中，
（3）存在，在中，；在中，
【解析】
【分析】（1）根据题意表示出和即可.
（2）分情况讨论，当时，①若，则有，②若，则有，当时，点P与C重合．当时，
有．分别根据相似三角形的性质得出比例代入求出t的值即可.
（3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．再根据正弦的定义得出，,再根据三角形面积公式可得出，代入求解出t的值. 当时，点P与C重合．即代入求解出t的值.
【小问1详解】
解：，，
∴，.
【小问2详解】
解：当时，①若，则有．
∴．
∵，，，，
∴，
解得：．
②∵，若，则有．
∴．
∴，
解得：．（不符合题意，舍去）
当时，点P与C重合．
∵，只有当时，
有．
∴．
∴，
解得：．
综上所述：
在中，当时，．
在中，当时，．
【小问3详解】
解：当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．
∴，,
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
∴，
得：，
解得：或者（舍去）．
当时，点P与C重合．即，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
解得：．
综上所述：
在中，当时，的面积恰好为面积一半．
在中，当时，的面积恰好为面积一半.
【点睛】本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，正弦的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键.