甘肃省张掖市第四中学九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省张掖市第四中学九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解.
2. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A. 438（1+x）2=389B. 389（1+x）2=438
C. 389（1+2x）=438D. 438（1+2x）=389
【答案】B
【解析】
【详解】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得：
389（1+x）2=438．
故选B．
3. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化为一般式，再根据根与系数关系求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程即的两个根，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
4. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A. cmB. cmC. cmD. cm
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【详解】解：方法1：设书的宽为x，
则有，
解得cm．
方法2：书的宽为cm．
故选：A．
5. 方程的解是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，，
故选：．
6. 如果（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意；
B、由得，，故本选项不符合题意；
C、由得，，故本选项符合题意；
D、由得，，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
7. 一元二次方程 根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的正负即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的值的关系．
8. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
9. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应的坐标是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了图形的位似，根据“如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或进行计算”求解即可．
【详解】解：∵点，以O为位似中心，相似比为，
∴点的对应点的坐标为：或，
即或，
故选：D．
10. 如图1，在中，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】从图象可知，，点M运动到点 B位置时， 的面积达到最大值y=3，结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 AC的长．
【详解】解：根据函数图象可知，点M的运动路程，点 M运动到点B的位置时，的面积y达到最大值3，即的面积为3．
∵
∴
∴．
∴，即： ，
，即： ．
∵，
∴．
两式相加，得，2AD=6．
∴AC=2AD=6．
故选：B
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点，从函数图象中获取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的恒等变形是解题的关键．
二、填空题（每题6分，共24分）
11. 关于的方程是关于一元二次方程，则m______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义列得，且，求解即可．
【详解】解：由题意得，且，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的方程叫一元二次方程，熟记定义是解题的关键．
12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴（-2）2-4×1×（-m）=0，解得m=-1．
故答案为：-1．
13. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
【答案】20%
【解析】
【分析】本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880，
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去），
故答案为20%．
14. 如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为_______．
【答案】12
【解析】
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求▱ABCD的面积．
【详解】∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=4，
又∵DF：BF=1：2，
∴S△DCF=2，
∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出△BCF的面积．
15. 一元二次方程的解是______；
【答案】x1=1，x2=2
【解析】
【分析】利用因式分解法求解．
【详解】解：由题意可得：
（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0或x-2=0，
∴x1=1，x2=2．
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，根据方程的特点灵活选择合适的方法求解是解题关键．
16. 如图，在中，分别以AC，BC为边作等边和等边.设，，的面积分别是，，，现有如下结论：
①；②连接AE，BD，则；③若，则.其中结论正确的序号是_________.
【答案】①②③
【解析】
【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可证；
②根据，即可求得全等（SAS）；
③设AC=a，BC=b，根据面积公式分别计算出即可证.
【详解】解：①S1：S2=AC2：BC2正确，
∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S1：S2=AC2：BC2；
②△BCD≌△ECA正确，
证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS）；
③若，则正确，
设等边三角形ADC的边长为a，等边三角形BCE边长为b，
则△ADC的高为a，△BCE的高为b，
，
，
，
，
；
故答案是：①②③.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键．
三、解答题（共96分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点、的坐标．
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，并写出点A、B的对应点、的坐标．
（3）判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．
【答案】（1）图见解析，，；（2）图见解析，，；（3）与是关于点为位似中心的位似图形．
【解析】
【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；
（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，，．
（2）如图所示，，．
（3）与是关于点为位似中心的位似图形．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．
18. 解方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），．
（4），．
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法是解本题的关键；
（1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先计算，再利用公式法解方程即可；
（3）把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（4）利用直接开平方法把方程化为或，再解一次方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
解得：，；
小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴，；
【小问3详解】
解：，
∴，
∴即，
∴或，
解得：，．
【小问4详解】
解：，
∴或，
解得：，．
19. 如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？
【答案】每条道路的宽为1米．
【解析】
【分析】设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据“草坪的面积为570”列出方程即可解答．
【详解】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，
，
解得：（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法．
20. 如图，在梯形中，，，E是延长线上的点，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定即可求出答案；
（2）根据相似三角形性质即可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，，，
∴．
由（1）知，，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和与判定，本题属于基础题型．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论a为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别为且满足，求a的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解分式方程：
（1）根据题意只需要证明即可；
（2）由根与系数的关系得到，再根据题意得到，则，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴不论a为何值时，方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：∵方程的两根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
检验，当时，，
∴．
22. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】（1）1个；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；
（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有个，依题意得
解得，．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红，白）、（红，白）、（红，白）、（白，红）、（白，红）、（白，红）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键．
23. 某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．若商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
【答案】元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，每天可销售件，根据“总利润每件的销售利润日销售量”可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．由题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，每天可销售件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
∴商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价元．
24. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6．
【解析】
【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
25. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
的最小值是4．
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最大值；
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式．
（1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答；
（2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
的最小值为．
【小问2详解】
解：，
，
，
的最大值为5．
26. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACB=96°或114°；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=（180°-48°）÷2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃，∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴设BD=x，∴），∵x＞0，∴x=，∵△BCD∽△BAC，∴=，∴CD=×2=．
红
红
红
白
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，白）