甘肃省兰州市榆中县2024-2025学年上学期七年级数学期末考试卷-A4

这是一份甘肃省兰州市榆中县2024-2025学年上学期七年级数学期末考试卷-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．-12024D．12024
2．（3分）下列式子中，符合代数式书写格式的是（ ）
A．a÷cB．a×5C．2nmD．112x
3．（3分）在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）图中的数据是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ44.96B．Φ45.02C．Φ44.97D．Φ45.01
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查我国初中学生的身高情况适合采用普查
B．为保证神舟十五号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查
C．在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是频数分布直方图
D．今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的视力情况，从中抽取100名学生的视力情况进行统计分析，其中2000名学生是总体
6．（3分）单项式2x3yb﹣1与-13xay是同类项，那么a+b的值为（ ）
A．3B．5C．6D．4
7．（3分）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1
B．如果a4=b2，那么2a＝4b
C．如果ac＝bc，那么a＝b
D．如果a2＝3a，那么a＝3
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′D．24°24′＝24.04°
9．（3分）已知有理数x，y在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A．﹣x＜2B．|x|＜|y|C．xy＞0D．x﹣y＜0
10．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．6x+14＝8x﹣2B．6x﹣14＝8x+2
C．6x+14＝8x+2D．6x﹣14＝8x﹣2
11．（3分）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，如表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2mx+2n＝﹣8的解为（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1C．x＝﹣2D．x＝1
12．（3分）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第8个图案中有白色六边形地面砖（ ）块．
A．33B．34C．35D．36
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）比较大小：﹣3 ﹣[﹣|﹣2|]（填“＞”或“＜”或“＝”）．
14．（3分）猜灯谜是中国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式，是从古代就开始流传的元宵节特色活动．灯谜：正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间一个点．打一几何体： ．
15．（3分）在期末体育备考时，共进行了五次测试，从折线统计图来观察，这五次测试，进步比较快的同学是 ．（填“A”或“B”）
16．（3分）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线AM；②在射线AM上顺次截取AC＝CD＝a；③在射线DM上截取DE＝b；④在线段EA上截取EB＝c，发现点B在线段CD上．由操作可知，线段AB＝ ．
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：17﹣（﹣6）×（﹣5）﹣80÷（﹣16）．
18．（4分）计算：3（x2﹣2x3+1）﹣2（3x﹣3x3+x2）．
19．（4分）解方程：x-13=5-x6-2．
20．（5分）尺规作图：已知：如图（1），∠MON＝20°，如图（2），∠DEG＝70°，请在图（2）中直线DF的上方作射线EH，使∠HEG＝90°（不写作法，保留作图痕迹）．
21．（6分）如图，点B，D在线段AC上．
（1）填空：
①图中有 条线段，②AB＝AD+ ＝AC﹣ ．
（2）若D是线段AC的中点，点B在点D的右侧，且BC＝3BD，AC＝8cm，求线段AB的长．
22．（6分）已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣2+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值；
（2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．
23．（6分）如图，正方形ABCD的边长为a．
（1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）若a，b满足|a﹣6|+（b﹣3）2＝0，求出阴影部分的面积．
24．（6分）电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量．为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数．
25．（6分）方程3（2x﹣1）+2（1﹣2x）＝2（2x﹣1）+3可以有多种不同的解法，观察此方程，设2x﹣1＝y．
（1）原方程可变形为3y﹣2y＝2y+3，解方程得：y＝ ，从而可得x＝ ；
（2）上述解法所用到的数学思想是 ；
（3）利用上述方法解方程：6（4x﹣3）+2（3﹣4x）＝3（4x﹣3）+5．
26．（8分）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．
如：3-12=3×12+1，5-23=5×23+1，所以数对（3，12），（5，23）都是“相伴有理数对”．
（1）数对（﹣2，13），（-12，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 ；
（2）若（x+1，5）是“相伴有理数对”，则x的值是 ；
（3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求3ab﹣a+12（a+b﹣5ab）+1的值．
27．（8分）综合与实践
第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海成功举行．期间，各类珠海航展文创纪念品深受广大军迷热情追捧，尤其是以歼﹣20和歼﹣35A为主题的飞机模型，成为畅销品．
某班数学组对某商场进行调研后了解到如下信息：
28．（9分）【特例感知】（1）如图1，线段MN＝20cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），C、D分别是AM、BN的中点．在线段AB运动的过程中，线段CD的长度是否发生变化？如果不变，求出CD的长度；如果变化，请说明理由；
【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，则∠COD＝ °；
②请直接写出∠AOB，∠COD和∠MON三个角的数量关系 ；
【类比探究】（3）如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝155°，∠AOB＝25°，∠MOC＝3∠AOC，∠NOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
2024-2025学年甘肃省兰州市榆中县七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．-12024D．12024
【答案】C
【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【解答】解：∵-2024=-12024，
故选：C．
【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2．（3分）下列式子中，符合代数式书写格式的是（ ）
A．a÷cB．a×5C．2nmD．112x
【答案】C
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：A、正确的书写格式是ac，原书写错误，故此选项不符合题意；
B、正确的书写格式是5a，原书写错误，故此选项不符合题意；
C、原书写是正确，故此选项符合题意；
D、正确的书写格式是32x，原书写错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
3．（3分）在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线判断即可．
【解答】解：由题意得，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有木匠弹墨线，打把瞄准以及拉绳插秧共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，关键是掌握两点确定一条直线．
4．（3分）图中的数据是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ44.96B．Φ45.02C．Φ44.97D．Φ45.01
【答案】A
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【解答】解：∵45+0.03＝45.03（mm），45﹣0.04＝44.96（mm），
∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03，
∵44.9不在该范围之内，
∴不合格的是A．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是正数和负数，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查我国初中学生的身高情况适合采用普查
B．为保证神舟十五号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查
C．在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是频数分布直方图
D．今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的视力情况，从中抽取100名学生的视力情况进行统计分析，其中2000名学生是总体
【答案】B
【分析】根据普查和抽样调查的特点来判断A、B选项，根据统计图的特点和总体、个体、样本、样本容量的定义判断C和D选项．
【解答】解：A．调查我国初中学生的身高情况适合采用抽样调查，故不符合题意；
B．为保证神舟十五号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查，故符合题意；
C．在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是扇形图，故不符合题意；
D．2000名学生的视力情况是总体，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，统计图的特点和总体、个体、样本、样本容量的定义，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（3分）单项式2x3yb﹣1与-13xay是同类项，那么a+b的值为（ ）
A．3B．5C．6D．4
【答案】B
【分析】根据相同字母求相同的字母的指数也相同的项为同类项，进行列式计算，即可作答．
【解答】解：根据题意可知，a＝3，b﹣1＝1，
解得：b＝2，
∴a+b＝3+2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是关键．
7．（3分）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1
B．如果a4=b2，那么2a＝4b
C．如果ac＝bc，那么a＝b
D．如果a2＝3a，那么a＝3
【答案】B
【分析】等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：A．如果a＝b，那么a+1＝b+1，故选项错误，不符合题意；
B．如果a4=b2，那么2a＝4b，选项正确，符合题意；
C．如果ac＝bc，c≠0时，那么a＝b，故选项错误，不符合题意；
D．如果a2＝3a，a≠0时，那么a＝3，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查等式的性质，关键是熟练掌掘等式的性质．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′D．24°24′＝24.04°
【答案】B
【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．
9．（3分）已知有理数x，y在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A．﹣x＜2B．|x|＜|y|C．xy＞0D．x﹣y＜0
【答案】D
【分析】由数轴得，﹣3＜x＜﹣2，0＜y＜1，进而判断出2＜﹣x＜3，|x|＞|y|，xy＜0，x﹣y＜0即可．
【解答】解：由数轴得，﹣3＜x＜﹣2，0＜y＜1，
∴2＜﹣x＜3，|x|＞|y|，xy＜0，x﹣y＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴，有理数的乘法，有理数的减法，绝对值，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
10．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．6x+14＝8x﹣2B．6x﹣14＝8x+2
C．6x+14＝8x+2D．6x﹣14＝8x﹣2
【答案】A
【分析】设有牧童x人，则有竹竿（6x+14）根，也可表示为（8x﹣2）根，则6x+14＝8x﹣2，于是得到问题的答案．
【解答】解：设有牧童x人，
根据题意得6x+14＝8x﹣2，
故选：A．
【点评】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示竹竿的根数是解题的关键．
11．（3分）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，如表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2mx+2n＝﹣8的解为（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1C．x＝﹣2D．x＝1
【答案】A
【分析】先根据等式的性质将方程2mx+2n＝﹣8变形为：mx+n＝﹣4，再观察表格中数据可知：当x＝0时，mx+n＝﹣4，由此得出答案．
【解答】解：∵2mx+2n＝﹣8，
∴2（mx+n）＝﹣8，
∴mx+n＝﹣4，
观察表格数据可知：当x＝0时，mx+n＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，掌握解一元一次方程的方法，等式的性质是解题的关键．
12．（3分）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第8个图案中有白色六边形地面砖（ ）块．
A．33B．34C．35D．36
【答案】B
【分析】找出白色六边形的规律，根据规律即可求得结果．
【解答】解：白色六边形的规律是：第一个6个白色六边形，以后依次增加4个白色六边形，
即第1个图案白色六边形个数为：6；
第2个图案白色六边形个数为：4×2+2，
第3个图案白色六边形地面砖的块数为：4×3+2；
…，
则第n个图案白色六边形地面砖的块数为：4n+2，
则第8个图案中白色六边形地面砖的块数为：4×8+2＝34；
故选：B．
【点评】本题考查了图形规律的探索，找到规律是关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）比较大小：﹣3 ＜ ﹣[﹣|﹣2|]（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】＜．
【分析】根据绝对值及相反数的定义对﹣[﹣|﹣2|]进行化简，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
﹣[﹣|﹣2|]＝2，
因为﹣3＜2，
所以﹣3＜﹣[﹣|﹣2|]．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了绝对值及相反数，能对﹣[﹣|﹣2|]进行正确的化简是解题的关键．
14．（3分）猜灯谜是中国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式，是从古代就开始流传的元宵节特色活动．灯谜：正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间一个点．打一几何体： 圆锥 ．
【答案】圆锥．
【分析】根据“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间一个点”即可直接得出答案．
【解答】解：根据常见几何体的特点可知：“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间一个点”，该几何体是圆锥，
故答案为：圆锥．
【点评】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从三个方向看常见几何体所看到的形状是解题的关键．
15．（3分）在期末体育备考时，共进行了五次测试，从折线统计图来观察，这五次测试，进步比较快的同学是 A ．（填“A”或“B”）
【答案】A．
【分析】根据折线统计图，利用图中成绩数据解答即可．
【解答】解：由图知，两名同学的初始分数为70分，经过5次测试后，A同学为90多分，B同学为85分，
∴进步比较快的同学是A，
故答案为：A．
【点评】本题考查折线统计图，解答本题的关键要明确：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
16．（3分）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线AM；②在射线AM上顺次截取AC＝CD＝a；③在射线DM上截取DE＝b；④在线段EA上截取EB＝c，发现点B在线段CD上．由操作可知，线段AB＝ 2a+b﹣c． ．
【答案】2a+b﹣c．
【分析】根据题意可得：AE＝AC+CD+EB＝2a+b，再根据AB＝AE﹣EB即可得出答案．
【解答】解：∵AC＝CD＝a，DE＝b，
∴AE＝AC+CD+DE＝a+a+b＝2a+b，
∵EB＝c，
∴AB＝AE﹣EB＝2a+b﹣c．
故答案为：2a+b﹣c．
【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键．
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：17﹣（﹣6）×（﹣5）﹣80÷（﹣16）．
【答案】﹣8．
【分析】先算乘除，再算加减即可．
【解答】解：原式＝17﹣30+5＝﹣8．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（4分）计算：3（x2﹣2x3+1）﹣2（3x﹣3x3+x2）．
【答案】x2﹣6x+3．
【分析】先去括号，然后合并同类项计算即可．
【解答】解：3（x2﹣2x3+1）﹣2（3x﹣3x3+x2）
＝3x2﹣6x3+3﹣6x+6x3﹣2x2
＝x2﹣6x+3．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照整式的计算法则计算，
19．（4分）解方程：x-13=5-x6-2．
【答案】x=-53．
【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【解答】解：x-13=5-x6-2，
去分母，得2（x﹣1）＝5﹣x﹣12，
去括号，得2x﹣2＝5﹣x﹣12，
移项、合并同类项，得3x＝﹣5，
将系数化为1，得x=-53．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
20．（5分）尺规作图：已知：如图（1），∠MON＝20°，如图（2），∠DEG＝70°，请在图（2）中直线DF的上方作射线EH，使∠HEG＝90°（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见试题解答内容
【分析】在EF的上方作∠HEF＝∠MON＝20°即可．
【解答】解：如图，∠HEG即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
21．（6分）如图，点B，D在线段AC上．
（1）填空：
①图中有 6 条线段，②AB＝AD+ BD ＝AC﹣ BC ．
（2）若D是线段AC的中点，点B在点D的右侧，且BC＝3BD，AC＝8cm，求线段AB的长．
【答案】（1）①6，②BD，BC；
（2）5cm．
【分析】（1）①根据线段的定义即可得出答案，②根据线段的和差即可得出答案；
（2）根据已知，BC＝3BD，可得CD＝BD+BC＝4BD，再根据点D是线段AC的中点，由线段的中点定义，结合已知AC＝8cm，可得AD=CD=12AC=12×8=4（cm），即可得出4BD＝4，由此求出BD的长，最后由AB＝AD+BD进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）①图中有6条线段，②AB＝AD+BD＝AC﹣BC．
故答案为：①6，②BD，BC；
（2）∵BC＝3BD，
∴CD＝BD+BC＝4BD，
∵点D是线段AC的中点，AC＝8cm，
∴AD=CD=12AC=12×8=4（cm），
∴4BD＝4，
∴BD＝1，
∴AB＝AD+BD＝4+1＝5（cm）．
【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，线段的定义，掌握线段的和差计算，两点间的距离，线段的定义是解题的关键．
22．（6分）已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣2+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值；
（2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣2+2m+1＝0是一元一次方程，可得|k|﹣2＝1，k﹣3≠0，进一步求解即可；
（2）先解3x＝4﹣5x，求出x的值，代入已知方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣2+2m+1＝0是一元一次方程，
∴|k|﹣2＝1，k﹣3≠0，
解得k＝﹣3；
（2）已知方程化为﹣6x+2m+1＝0，
3x＝4﹣5x，
解得x＝0.5，
∵已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，
将x＝0.5代入﹣6x+2m+1＝0，
得﹣6×0.5+2m+1＝0，
解得m＝1．
【点评】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，理解同解方程的含义是解题的关键．
23．（6分）如图，正方形ABCD的边长为a．
（1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）若a，b满足|a﹣6|+（b﹣3）2＝0，求出阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于阴影部分不规则，所以可考虑用正方形的面积﹣两个三角形的面积；
（2）求出a、b值代入计算即可．
【解答】解：（1）S=12a2-12×4×b；
=12a2-2b；
（2）∵|a﹣6|+（b﹣3）2＝0；
∴a＝6且b＝3．
∴12a2-2b=12×62-2×3=18-6=12．
答：阴影部分的面积为12．
【点评】本题考查了列代数式和代数式的求值．列出代数式是解决本题的关键．
24．（6分）电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量．为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有 100 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 72° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A类别人数所占百分比可得答案；
（2）根据各类别人数之和等于总人数可得C类人数，即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中D类人数所占比例．
【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有23÷23%＝100（名），
在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为360°×20100=72°，
故答案为：100、72°；
（2）C类别人数为100﹣（20+23+14+3）＝40（名），补全图形如下：
（3）3000×14100=420（名），
答：估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数约为420名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（6分）方程3（2x﹣1）+2（1﹣2x）＝2（2x﹣1）+3可以有多种不同的解法，观察此方程，设2x﹣1＝y．
（1）原方程可变形为3y﹣2y＝2y+3，解方程得：y＝ ﹣3 ，从而可得x＝ ﹣1 ；
（2）上述解法所用到的数学思想是 换元思想 ；
（3）利用上述方法解方程：6（4x﹣3）+2（3﹣4x）＝3（4x﹣3）+5．
【答案】（1）﹣3，﹣1；
（2）换元思想；
（3）x＝2．
【分析】（1）解一元一次方程即可得出y的值，把y的值代入2x﹣1＝y中，即可得出x的值；
（2）根据解法即可得出答案；
（3）设4x﹣3＝y，把原方程变形为：6y﹣2y＝3y+5，解一元一次方程求出y的值，然后把y的值代入4x﹣3＝y中即可得出x的值．
【解答】解：（1）移项，得3y﹣2y﹣2y＝3，
合并同类项，得﹣y＝3，
将系数化为1，得y＝﹣3，
∴2x﹣1＝﹣3，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣3，﹣1；
（2）上述解法所用到的数学思想是换元思想．
故答案为：换元思想；
（3）设4x﹣3＝y，
原方程变形为：6y﹣2y＝3y+5，
移项、合并同类项，得y＝5，
∴4x﹣3＝5，
解得：x＝2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握利用换元思想解一元一次方程的方法是解题的关键．
26．（8分）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．
如：3-12=3×12+1，5-23=5×23+1，所以数对（3，12），（5，23）都是“相伴有理数对”．
（1）数对（﹣2，13），（-12，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 （-12，﹣3） ；
（2）若（x+1，5）是“相伴有理数对”，则x的值是 -52 ；
（3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求3ab﹣a+12（a+b﹣5ab）+1的值．
【答案】（1）（-12，﹣3）；
（2）-52；
（3）12．
【分析】（1）根据题意，分别将a＝﹣2，b=13和a=-12，b＝﹣3代入a﹣b＝ab+1中即可求解；
（2）将a＝x+1，b＝5代入a﹣b＝ab+1中即可求解；
（3）先将3ab﹣a+12（a+b﹣5ab）+1进行化简，再将a﹣b＝ab+1变形后整体代入即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：
当a＝﹣2，b=13时，
a﹣b＝﹣2-13=-73，
ab+1＝﹣2×13+1=13，
则a﹣b≠ab+1，
所以（﹣2，13）不是“相伴有理数对”，
当a=-12，b＝﹣3时，
a﹣b=-12-（﹣3）=-12+3=52，
ab+1=-12×(-3)+1=52，
则a﹣b＝ab+1，
所以（-12，﹣3）是“相伴有理数对”，
所以数对（﹣2，13），（-12，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 （-12，﹣3），
故答案为：（-12，﹣3）；
（2）∵（x+1，5）是“相伴有理数对”，
∴x+1﹣5＝（x+1）×5+1，
解得x=-52，
故答案为：-52；
（3）3ab﹣a+12（a+b﹣5ab）+1
＝3ab﹣a+12a+12b-52ab+1
=12ab-12a+12b+1
=12ab-12(a-b)+1，
∵a﹣b＝ab+1，
∴原式=12ab-12(ab+1)+1
=12ab-12ab-12+1
=12．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值和有理数的混合运算，理解题意掌握去括号法则和合并同类项法则以及有理数的混合运算法则是解题的关键，应用了整体代入的数学思想．
27．（8分）综合与实践
第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海成功举行．期间，各类珠海航展文创纪念品深受广大军迷热情追捧，尤其是以歼﹣20和歼﹣35A为主题的飞机模型，成为畅销品．
某班数学组对某商场进行调研后了解到如下信息：
【答案】问题一，（x+40），7x+5（x+40）＝920；
问题二，60，100；
问题延伸，信息二中B品牌飞机模型打九折．
【分析】问题一，根据每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元，可以用含x的代数式表示出B模型的进价，然后根据某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，可以列出相应的方程；
问题二，求出问题一中方程的解，然后计算出x+40即可；
问题延伸，根据问题二中B模型的进价和题意，可以计算出信息二中B品牌飞机模型的打折数．
【解答】解：问题一，
设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价为（x+40）元，
∵某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，
∴7x+5（x+40）＝920，
故答案为：（x+40），7x+5（x+40）＝920；
问题二，
由（1）可知：7x+5（x+40）＝920，
解得x＝60，
∴x+40＝100，
故答案为：60，100；
问题延伸，
设信息二中B品牌飞机模型打a折，
由题意可得：100（1+50%）×a10-100＝35，
解得a＝9，
答：信息二中B品牌飞机模型打九折．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
28．（9分）【特例感知】（1）如图1，线段MN＝20cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），C、D分别是AM、BN的中点．在线段AB运动的过程中，线段CD的长度是否发生变化？如果不变，求出CD的长度；如果变化，请说明理由；
【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，则∠COD＝ 90 °；
②请直接写出∠AOB，∠COD和∠MON三个角的数量关系 ∠MON＝2∠COD﹣∠AOB ；
【类比探究】（3）如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝155°，∠AOB＝25°，∠MOC＝3∠AOC，∠NOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
【答案】（1）线段CD的长度不发生变化，始终等于11cm；理由见解答过程；
（2）①90；②∠MON＝2∠COD﹣∠AOB，理由见解答过程；
（3）57.5°．
【分析】（1）依题意设NC＝CA＝a cm，BD＝DN＝b cm，则MA＝2a cm，BN＝2b cm，再根据MN＝20cm，AB＝2cm得2a+2b+2＝20，则a+b＝9，由此可得出CD＝11cm，据此可得出答案；
（2）①依题意设∠MOC＝∠COA＝α，∠BOD＝∠DON＝β，则∠AOM＝2α，∠BON＝2β，根据∠MON＝150°，∠AOB＝30°得2α+2β+30°＝150°，则α+β＝60°，由此可得出∠COD的度数；
②由①可知：∠COD＝α+β+∠AOB，∠MON＝2α+2β+∠AOB，据此即可得出∠AOB，∠COD和∠MON三个角的数量关系；
（2）设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则∠MOC＝3α，∠NOD＝3β，进而得∠AOM＝4α，∠BON＝4β，再根据∠MON＝155°，∠AOB＝25°得4α+4β+25°＝155°，则α+β＝32.5°，由此可得出∠COD的度数．
【解答】解：（1）线段CD的长度不发生变化，
∵点C、D分别是AM、BN的中点，
∴设NC＝CA＝a cm，BD＝DN＝b cm，
∴MA＝2a cm，BN＝2b cm，
∵MN＝20cm，AB＝2cm，
∴MN＝MA+AB+BN＝2a+2b+2＝20，
∴a+b＝9，
∴CD＝CA+AB+BC＝a+b+2＝11cm，
∴线段CD的长度不发生变化，始终等于11cm；
（2）①∵射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴设∠MOC＝∠COA＝α，∠BOD＝∠DON＝β，
∴∠AOM＝2α，∠BON＝2β，
∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
∴∠MON＝∠AOM+∠AOB+∠BON＝2α+2β+30°＝150°，
∴α+β＝60°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOB+∠BOD＝α+β+30°＝90°，
故答案为：90；
②∠AOB，∠COD和∠MON的数量关系是：∠MON＝2∠COD﹣∠AOB，理由如下：
由①可知：∠COD＝α+β+∠AOB，∠MON＝2α+2β+∠AOB，
∴α+β＝∠COD﹣∠AOB，
∴∠MON＝2（∠COD﹣∠AOB）+∠AOB，
即∠MON＝2∠COD﹣∠AOB；
（2）设∠AOC＝α，∠BOD＝β，
∴∠MOC＝3∠AOC＝3α，∠NOD＝3∠BOD＝3β，
∴∠AOM＝∠AOC+∠MOC＝4α，∠BON＝∠BOD+∠NOD＝4β，
∵∠MON＝155°，∠AOB＝25°，
∴∠MON＝∠AOM+∠AOB+∠BON＝4α+4β+25°＝155°，
∴α+β＝32.5°，
x
﹣2
﹣1
0
1
2
mx+n
4
0
﹣4
﹣8
﹣12
市场调研：
信息一
某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，已知每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元．
信息二
某商场将B品牌飞机模型按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌飞机模型仍可获利35元．
问题解决
问题一
（1）设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价 元，根据题意可列方程 ．
问题二
（2）由（1）求得每个A品牌飞机模型进价 元，每个B品牌飞机模型进价 元．
问题延伸：
（3）利用一元一次方程求出信息二中B品牌飞机模型的打折数．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
C
A
B
B
B
B
D
A
A
题号
12
答案
B
x
﹣2
﹣1
0
1
2
mx+n
4
0
﹣4
﹣8
﹣12
市场调研：
信息一
某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，已知每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元．
信息二
某商场将B品牌飞机模型按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌飞机模型仍可获利35元．
问题解决
问题一
（1）设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价 （x+40） 元，根据题意可列方程 7x+5（x+40）＝920 ．
问题二
（2）由（1）求得每个A品牌飞机模型进价 60 元，每个B品牌飞机模型进价 100 元．
问题延伸：
（3）利用一元一次方程求出信息二中B品牌飞机模型的打折数．