甘肃省平凉市庄浪县九年级上学期期末学业质量监测数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省平凉市庄浪县九年级上学期期末学业质量监测数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 一元二次方程的解为（ ）
A. B. ，
C. D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
利用直接开平方法解方程．
【详解】解：，
∴，
∴．
故选：B．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
3. “盲盒里有3个白球和5个黑球（除了颜色不同，其余都相同），任意摸一个球摸到红球”这一事件为（ ）
A. 随机事件B. 不可能事件C. 必然事件D. 以上都不是
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类；必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：∵盲盒里有3个白球和5个黑球（除了颜色不同，其余都相同），没有红球，
∴“任意摸一个球摸到红球”这一事件是不可能事件．
故选：B
4. 圆心角是，半径为20的扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为）．
直接利用弧长计算．
【详解】解：圆心角是，半径为 20 的扇形的弧长．
故选：A．
5. 某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单地概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单地概率公式计算解答即可．
【详解】解：根据题意，得选中男生的概率是：．
故选：D．
6. 如图，点、、、在上，且劣弧，连接、、、，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案．
【详解】解：连接，如图：
，
，
，
，
故选：D．
7. 将抛物线向右平移3个单位后所得图象对应函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键．二次函数的平移法则是“上加下减，左加右减”．根据二次函数的平移法则，即得答案．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为．
故选：C．
8. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握这种方法是解题的关键．
把代入一次函数的解析式，即可求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值．
【详解】在中，
令，
解得，
则交点坐标是：，
代入， 得．
故选：A．
9. 我国传统数学著作《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？若设矩形门宽为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门宽为尺，
∴门高为尺，
根据题意得：，
故选：B．
10. 如图（1），在矩形中，，，点为矩形的边上一点，且，连接，动点、同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度，设、出发秒时，的面积为，已知与之间的函数图象如图（2）所示，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．
【详解】∵，
∴
∵
∴
当时，即点P在线段上，点Q在线段上时，
∵；；
∴高
∴面积为：
此时，该函数图像是开口向上的抛物线在第一象限的部分．
P到达点E时，点Q到达点C时，是面积图像的转折点．
∴M点对应的横坐标是
此时面积：
故有:
故选：A
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点中心对称，则点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标均变为原来的相反数，即可得出结果．
【详解】解：由题意得：点的坐标为；
故答案为：．
12. 已知反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可以是________．（填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，得到，即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，
，
的值可以是，
故答案为：（填大于的数即可）．
13. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查实数的新定义的运算，解一元二次方程．根据新定义的运算将转化为一元二次方程，再解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
化简，得，
解得，．
故答案为：，
14. 如图，⊙O与正五边形ABCDE两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___度．
【答案】144
【解析】
【分析】连接OA、OC，根据切线的性质得到∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，继而求出∠AOC的度数．
【详解】解：正五边形每个内角：180°－360°÷5＝108°，
∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝(5－2)×180°－90°×2－108°×2＝144°．
【点睛】本题主要考查了五边形内角和的计算，切线的性质，解决此题的关键是正确的计算．
15. 玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶________碰到水柱．（填“能”或“不能”）

【答案】不能
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
根据顶点，得出抛物线的表达式，令，求得的值，与比较即可求解．
【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
16. 如图，内接于，为的直径，连接，若的半径为6，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
根据圆周角定理求出，三角形内角和定理和等腰三角形的性质得出，最后根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为6，
则图中阴影部分的面积，
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．先移向，然后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
解得，
18. 已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，图象在第二，四象限；当时，图象在第一，三象限．根据反比例函数的性质：当图象经过第二，四象限时，，求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得：，即的取值范围是．
19. 已知抛物线，求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟记抛物线与x轴的交点问题与一元二次方程根的对应情况，是解此类题的关键．
利用根的判别式进行证明即可．
【详解】解：∵
，
∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点．
20. “尺规作图”起源于古希腊的一个数学课题，在历史上最先明确提出尺规限制的是希腊的天文学家、数学家伊诺皮迪斯，在这以前，许多作图题是不限工具的，伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在欧几里得的《几何原本》之中．如图，为的弦，连接、，．
（1）请用尺规作图法作弦的垂直平分线，交上方的于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接、，求证：为等边三角形．
【答案】（1）图见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，圆周角定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
求证：∵，
∴，
∴，
∴，
根据作图可得，
∴为等边三角形．
【点睛】该题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质和圆周角定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
21. 一个不透明的布袋中装有印着“太阳”“月亮”“星星”的卡片（这些卡片除图案不同外其余都相同），其中7张“太阳”，5张“月亮”和若干张“星星”．小英每次洗匀后随机从布袋中摸出一张卡片，记下图案后再放回袋中，如下表是小英记录的摸卡片结果：
（1）请将表格填写完整；
（2）请估计袋中“星星”卡片的张数．
【答案】（1）0.24，0.25，0.25
（2）估计袋中“星星”卡片有8张
【解析】
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据摸到“月亮”卡片的频率得到相应的等量关系．
（1）根据频率次数总次数求解即可；
（2）根据题意可得摸到“月亮”卡片的概率，再求出袋中卡片的总张数，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可得，
故填表如下：
【小问2详解】
解：结合（1）可得摸到“月亮”卡片的概率，
∴袋中卡片的总张数张，
∴袋中“星星”卡片的张数张．
22. 如图，在中，是的直径，弦与交于点，且点是的中点，连接、、、．若，，求的长．
【答案】6
【解析】
【分析】该题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
过点作于点，连接，根据垂径定理得出，再根据是的直径，点是的中点，得出，勾股定理求出，等面积法求出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作于点，连接，
则，
∵是的直径，点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
由等面积法可知，
即，
解得：，
∴，
∴．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座．
（1）学生坐在②号座位的概率为_______；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）先列表得到所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求解即可；
【小问1详解】
解：根据题意可得：学生坐在②号座位的概率．
【小问2详解】
解：列表如图：
根据表格可得，共有20种情况，其中学生和学生入座后相邻的情况有8种情况，
故学生和学生入座后相邻的概率．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，点为反比例函数图象上的任意的点，若，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或．
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键．
（1）先通过一次函数求出点A坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）先求出点的坐标为，根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解．
小问1详解】
解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：把代入得，即点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
∴点的坐标为或
25. 如图，已知为的直径，与相切于点，交的延长线于点，连接，，，平分交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若的直径为，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用圆周角定理可得，最后根据等角对等边，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是度可得，从而利用（1）的结论可得，再利用角平分线的定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，如图：
与相切于点，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：为的直径，
，
，的直径为，
，
平分，
，
，
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，
在中，，
（负值已舍）．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解答本题的关键．
26. 【定义新知】
如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．
【特例感知】
（1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”，若为等边三角形，请判断与的数量关系，并说明理由；
【迁移探究】
（2）如图3，在中，，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”，请你判断（1）中与的数量关系是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据是等边三角形，得出，．根据是的“旋补三角形”，得出，，，结合三角形内角和定理即可得，，．根据等腰三角形的性质得出，在中，根据含角的直角三角形的性质可得，即可得出．
（2）根据是的“旋补三角形”，得出，，，即可得，证明，得出．在中，根据直角三角形的性质得出，即可得．
【详解】解：（1）与的数量关系是．
理由：∵是等边三角形，
∴，．
∵是的“旋补三角形”，
∴，，，
∴，，
∴．
∵点为的中点，
∴，即．
在中，，，
∴，
∴．
（2）（1）中与的数量关系仍然成立．
理由：∵是的“旋补三角形”，
∴，，，
∵，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
∵在中，为边上的中线，
∴，
∴．
即（1）中与的数量关系仍然成立．
【点睛】该题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是理解题中新定义．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点P是线段上的动点．
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标；
②若点Q是射线上的动点，且始终满足，连接，，请求出的最小值．
【答案】（1），点的坐标为
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式，再将抛物线解析式改写成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）①令，求出点C坐标，设点E坐标为，则点P坐标为，利用列出方程，求出x即可解决问题；②在x轴上取点H，使，连接，，，证明，可得，求出的最小值为的长，然后根据两点间距离公式计算即可．
【小问1详解】
解：将点，代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴顶点的坐标为；
【小问2详解】
①令，
解得：或，
∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），
∴点C的坐标为，
∵点E在抛物线上，设点E坐标为，则点P坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵点是线段上的动点，
∴，
∴点E的坐标为；
②如图，在x轴上取点H，使，连接，，，

又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q在上时，取最小值，最小值为的长，
∵，，
∴的最小值为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，作出合适的辅助线，找出取最小值时的情况是解题的关键．
摸卡片的总次数
20
50
100
200
500
摸到“月亮”卡片的次数
6
13
24
50
125
摸到“月亮”卡片频率
0.3
0.26
________
________
________
摸卡片的总次数
20
50
100
200
500
摸到“月亮”卡片的次数
6
13
24
50
125
摸到“月亮”卡片的频率
0.3
0.26
0.24
0.25
0.25
学生B 学生
①
②
③
④
⑤
①
相邻
不相邻
不相邻
不相邻
②
相邻
相邻
不相邻
不相邻
③
不相邻
相邻
相邻
不相邻
④
不相邻
不相邻
相邻
相邻
⑤
不相邻
不相邻
不相邻
相邻