甘肃省陇南市礼县九年级上学期期末质量监测数学试卷（四）（解析版）-A4

这是一份甘肃省陇南市礼县九年级上学期期末质量监测数学试卷（四）（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别等知识点，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
2. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知“一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数，)的形式，那么称y是x的反比例函数”是解题关键．
根据反比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．符合反比例函数的定义，故本选项合题意；
B．不符合反比例函数的定义，故本选项不符合题意；
C．该函数属于二次函数，故本选项不合题意；
D．该函数不属于反比例函数，故本选项不合题意．
故选：A．
3. 二次函数的图象与x轴没有交点，则a的值可以是（ ）
A. B. 2C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据题意由二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而求出的取值范围，即可判断得解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴没有交点，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4. 如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（ ）
A. x＞1B. x＜﹣1C. 0＜x＜1D. ﹣1＜x＜0
【答案】D
【解析】
【分析】把A点横坐标1代入抛物线y＝x2＋1，求出点A的坐标，代入y＝中求的值，再求式＜−x2−1的解集，确定不等式＋x2＋1＜0的解．
详解】解：当x＝1时，y＝x2＋1＝2，
∴A（1，2），
y＝x2＋1关于x轴对称的函数关系式为y＝-x2-1，
k＝xy＝1×2＝2，即y＝，
∴由图象及对称性可得y＝与y＝-x2-1交点横坐标：x＝−1，
由图象可知，不等式＜−x2−1的解集就是＋x2＋1＜0的解集，
得出：−1＜x＜0．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系．关键是根据题意求反比例函数解析式，求出二次函数与反比例函数解析式和为0时x的值．
5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵与的面积比为，
∴与的相似比，即，
．
故选：A．
6. 若点在函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据，得x，y同号，分布在第二，四象限且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此即可解答．
【详解】解：∵中，
∴x，y同号，分布在第二，四象限且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴，即．
故选D．
7. 将一枚飞镖任意投郑到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正六边形边长的），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．图示可看出，小等边三角形与大等边三角形是相似三角形，利用小等边三角形与大等边三角形的面积之比等于相似比的平方可得到小正六边形的面积等于大正六边形面积的四分之一，从而得出飞镖落在阴影区域的概率为四分之一．
【详解】解：如下图．
小正六边形的边长是大正六边形边长的，即，
由知，，
，
阴影区域（小正六边形）的面积等于大正六边形面积的．
将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：C．
8. 如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ）
A. 7米B. 6米C. 5米D. 4米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，进而得到，代入抛物线进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴由题意，得：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴；
故选B．
9. 如图，与它的内切圆分别相切于点．若的周长为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据三角形的周长求出，根据切线长定理，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵的周长为，
∴，
∵是的内切圆，
∴，
∴，即：，
∴；
故选B．
10. 小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A. 这篇文章一共1500字．
B. 当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟．
C. 小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字．
D. 小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断C选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断D选项．
【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：，
解得：，
即反比例函数解析式为，
A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意；
B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意；
C、当录入时间时，，
，在第一象限内，随的增大而减小，
即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意；
D、当时，，
当时，，
（分钟），
即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意；
故选：C
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程即可求解．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：a=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解一元二次方程的解的概念是解题的关键．
12. 如果二次函数的图象经过原点，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值．
【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，得，
解得：或，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 学校新开设了航模、围棋、书法、绘画四个社团，如果小华和小玲两名同学各随机选择参加其中一个社团，那么小华和小玲选到同一个社团的概率为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：把航模、围棋、书法、绘画四个社团分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有4种，
∴小华和小玲选到同一个社团的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，折痕交于点C，则弧的长是 ___________．
【答案】π
【解析】
【分析】由圆的性质和折叠的性质易得到是等边三角形，即可求出，代入弧长公式即可求出弧的长，本题考查了弧长的计算，折叠的性质，利用圆的性质和折叠的性质得到是等边三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，则，
∵将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
弧的长，
故答案为：π．
15. 如图，在中，两边上的中线相交于点，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形的中位线的应用等知识点，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
根据三角形的中位线可得、．根据平行线的性质得出，最后根据相似三角形的性质以及等高三角形即可解答．
【详解】解：∵两边上的中线相交于点，
∴、，
∴，，
∴，
如图：过E作于H，
∴．
故答案为．
16. 如图，直线与轴平行且分别与反比例函数的图象交于点A和点，点是轴上的一个动点，则的面积为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解题的关键．
如图：连接，则，进而根据反比例函数k的几何意义即可解答．
【详解】解：如图：连接，设交x轴于点C，
∵轴，且与反比例函数与的图象分别交于点A和点，
∴，
∴的面积为4．
故答案为4．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体思想以及因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．
先移项，然后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
．
18. 用配方法解方程；
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可．
【详解】解：，
，
配方得，
∴
∴
∴，
∴，．
19. 已知抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，则求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、二次函数的性质等知识点．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是解题的关键．
根据抛物线与直线的交点的定义求得，即a、b是该方程的两个不相等是实数根；然后根据根与系数的关系求得；将代入计算即可．
【详解】解：抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，
，即，
，
．
20. 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
21. 如图，在直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、．若的面积为．
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；
（2）的面积为．
【解析】
【分析】（）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可；
（）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解；
此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵的面积为，即，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵反比例函数的表达式为，，
∴点的纵坐标是，
∴，解得：，
∴，
同理当时，，
∴，
∴，，，，
∴
．
22. 如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为6m时，达到距离地面的竖直高度的最大值为13m．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式为．
（1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为1m，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离．
【答案】（1）
（2）18m
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识点，掌握与运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
（1）设抛物线解析式为，将代入并求解即可；
（2）令，解方程即可求得水柱距出水口的水平距离．
【小问1详解】
解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点，
设抛物线的表达式为，
将代入，可得，
解得，
水柱所在抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：对于抛物线，
令，可得，
整理可得，
解得（舍去），
此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）由平行四边形的性质可得，即可得，再根据即可求证；
（）由相似三角形的性质可得，求出即可求解；
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
（2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
（3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1），见解析；
（2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人；
（3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）利用画树状图法求解即可．
【小问1详解】
解：本次调查总人数为（人），
选择D类的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人；
【小问3详解】
解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
25. 如图，的半径与弦互相垂直，垂足为D，连接，．

（1）求证：；
（2）延长交于点，过点作切线交的延长线于点．若，，求的度数及的长．
【答案】（1）见解析 （2）；
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得出，由，即可得证；
（2）根据平行线的性质得出，根据（1）的结论得出，即可求得，根据是的切线，在中，勾股定理求得的长，继而求得，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∵是的切线，
∴．
∵，
∴
在中，由勾股定理，得．
∴．
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
26. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式及顶点的坐标；
（2）设点的横坐标为，当为何值时，线段的长度最大，最大值为多少？
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）设拋物线的表达式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将其配方即可得到顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线的表达式为，设，则，进而用含有的式子表示，利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设拋物线的表达式为，
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线所对应的函数表达式为，
经配方得：，
拋物线的顶点的坐标为1,4；
【小问2详解】
直线与轴交于点，与轴交于点，
设直线的表达式为y=kx+bk≠0，
则，
解得：，
直线的表达式为．
设，则．
，
，且，
当时，线段的长度最大，最大值为．
27. 如图，在四边形中，平分，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）详见解析．
（2）详见解析． （3）．
【解析】
【分析】本题考查了“内错角相等两直线平行”、角平分线的性质、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和相似三角形的判定及性质等知识点，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，进而得出，根据角平分线性质得到，从而，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得出结论；
（2）先根据角平分线得出，进而判断出，根据相似三角形性质即可得出结论．
（3）证，根据相似三角形性质可得：，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵在直角三角形中，为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ．
【小问2详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
【小问3详解】
解：由（1）可得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，