甘肃省张掖市甘州区2024－2025学年上学期九年级数学期末质量监测试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省张掖市甘州区2024－2025学年上学期九年级数学期末质量监测试题（解析版）-A4，共28页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内：
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 一元二次方程的较小的根是（ ）
A. B. 1C. 或1D. 3或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，有理数的大小比较，先根据因式分解法解一元二次方程可得，，再比较大小即可得解．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，，
∵，
∴一元二次方程的较小的根是，
故选：A．
2. 计算的值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据30度角的正弦值等于即可求解．
【详解】解：，
故选B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘法、除法、加减法法则以及二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确误，符合题意；
故选：D．
4. 将抛物线向下平移1个单位长度后所得的对应抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．
直接运用平移规律解答即可．
【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度后所得的对应抛物线的解析式为，即，
故选：C．
5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B. 掷一枚一元的硬币，正面向上
C. 在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球
D. 有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率，简单的概率计算．熟练掌握用频率估计概率，简单的概率计算是解题的关键．
由表格可知，频率逐渐稳定于，然后求各选项中事件的概率，判断作答即可．
【详解】解：由表格可知，频率逐渐稳定于，
掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为，故A不符合要求；
掷一枚一元的硬币，正面向上的概率为，故B不符合要求；
在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率为，故C符合要求；
有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，故D不符合要求；
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且均在第二象限，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是位似变换，根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为，
∴与的相似比为，
∵点B的坐标为，
∴点B的对应点的坐标为，即，
故选：A．
7. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键．
本题中已知中的角、，利用即可解答．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，解得：．
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向下，与轴交于正半轴，得到，，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项A、B；当时，，由此即可判断选项C；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项D．
【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数对称轴为直线，
，
，
，故A、B结论错误，不符合题意；
当时，，
，故C结论错误，不符合题意；
二次函数经过点，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点坐标为，
当时，，
故D结论正确，符合题意
故选D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，以及二次根式的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简各项，再进行减法运算，即可解题．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可．
【详解】解：当时，，
由题意得，，
解得：，
故答案为：1．
11. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为_________．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，解答本题的关键要熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
根据点C，D分别是、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，从而可求槽宽的长．
【详解】∵把两根钢条、的端点连在一起，点C，D分别是、的中点，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：11．
12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程运用，题目中六块草坪可以拼成一个矩形，这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程．
【详解】解：六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形，
这个矩形的长为，宽为，
每一块草坪的面积都为，
，
“■”应补全的代数式为，
故答案为： ．
13. 如图，在中，，，D为上一点，连结．若，，则的长为_________．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形，证明为等腰直角三角形，可得，再解直角三角形即可得解．
【详解】解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在菱形中，，点M、N分别是边、上的点，连接，将菱形沿翻折，使点A的对称点E落在对角线上，给出下面四个结论：
①；
②若，则；
③若菱形边长为4，M是的中点，连接，则；
④若，则．
上述结论中，正确结论的序号是_________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据一线三等角基本模型可得可知，可知①正确；根据相似三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理可知②正确；作交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质得，再根据勾股定理可得的长，则③正确；设，，则，设，则，利用相似三角形的性质可得，，再根据可得答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，
∴是等边三角形，
，
由折叠性质可知，，
，
，
∵，
，故①正确；
，
，故②正确；
如图，作交的延长线于点
在中，，由①得：，
，
是的中点，
，
，故③错误；
∵，
设，则，设，则，
，
，
，
解得：，经检验符合题意；
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，根据相似三角形的性质是判断④的关键．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算．熟知二次根式混合运算的法则，平方差公式，是解题的关键．
先作二次根式乘法，平方差公式展开，化简，再合并即可．
【详解】原式
．
16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握画树状图或者列表求解概率的性质；画出树状图，共有9个等可能的结果，小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4个，即可完成求解．
【详解】解：根据题意，可以画出如下树状图：
共有9种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4种，
∴P（小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同）．
17. 小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下：
解：
…第一步
…第二步
…第三步
． …第四步
∴原方程没有实数根．
根据小明的解题过程，解答下列问题：
（1）上述过程中，从第_________步开始出现了错误．
（2）正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法），
【答案】（1）一 （2），，过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可；
（2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可．
【小问1详解】
解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误．
故答案为：一．
【小问2详解】
解：正确解答过程如下：
，
∴，
∴，
∴．
∴，．
18. 为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒元，可列方程，解方程即可求出降价的百分率．
【详解】解：设每次降价的百分率为x．
由题意，得．
解得，（舍去）．
答：每次降价的百分率为．
19. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画一个，使．
（2）在图②中画一个钝角，使．
（3）在图③中画一个锐角，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了利用网格作图，正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用网格作，，则；
（2）利用网格特点，结合，为钝角三角形，作图即可；
（3）利用网格特点，结合，为锐角三角形，作图即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所求，
【小问2详解】
解：如图②、图③、图④，即为所求，
【小问3详解】
解：如图⑤，即为所作，
，
取格点，连接，
由勾股定理可得：，，，
∴，，，
∴为直角三角形，
∴．
20. 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为．求该建筑物的高度．（精确到）
【参考数据：，，．】
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数求出边长．首先在中求出的高度，根据建筑物的高度即可求出结果．
【详解】解：根据题意得：，，．
在中，， ，
∴，
∴．
答：该建筑物的高度约为．
21. 一次足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以为原点建立如图所示直角坐标系.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时小军带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点但不含点），求的取值范围.
【答案】（1）
（2）球不能射进球门 （3）
【解析】
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，然后将点代入即可解答；
（2）令，求得函数值，然后与比较即可解答；
（3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，把点、分别代入求得n的值，据此确定n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，
把点代入得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：令时，．
∴球不能射进球门．
【小问3详解】
解：设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，解得：（舍去）或，
把点代入得：，解得：（舍去）或，
∴足球恰好经过区域（含点但不含点）时，n的取值范围为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键．
22. 【感知】如图①，在中，，过点C作，点D是上方一点，过点D作交延长线于点E．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的并延长交边的延长线于点F，其它条件不变．若，，，则的长为_________，的长为_________．
【拓展】如图③，在中，，将边绕着点C顺时针旋转得到，连结并延长交边的延长线于点F．若，，则的长为_________．
【答案】【感知】见解析；【应用】16，；【拓展】
【解析】
【分析】感知：根据题意得到，，即可证明；
应用：根据得到，求出，然后利用三线合一性质得到，即可求出；然后由相似三角形的性质设，，表示出，然后证明出，得到，代数求出，得到；
拓展：如图所示，过点D作于点E，根据题意证明出，得到，，然后设，，然后证明出，得到，代数求出，得到．
【详解】感知：证明：∵，
∴
∴
又∵
∴；
应用：解：∵
由（1）得
∴
∴
∴
∵，
∴
∴；
∵
∴
∴设，
∴
∵，
∴
∴，即
解得或（舍去）
∴；
拓展：解：如图所示，过点D作于点E

∵将边绕着点顺时针旋转得到，
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴设
∴
∵，
∴
∴，即
解得或（舍去）
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质等知识，通过作辅助线构造全等是解题的关键．
23. 如图，在中，，，．点P在边上，当点P不与点A重合时，连结，取的中点D，过点D作交折线于点E，连结．

（1）求的长．
（2）当点P为边的中点时，求的长．
（3）当的某条直角边所在的直线平分或时，求的长．
（4）当时，直接写出点P到的距离．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）画出图形，先求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形即可得；
（3）分两种情况：①当平分时，则点与点重合，过点作于点，先解直角三角形可得，利用勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，最后利用勾股定理求解即可得；②当平分时，先证出，再解直角三角形可得，求出的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；
（4）分两种情况：①当点在上时，过点作于点，设，则，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，解直角三角形即可得；②当点在上时，过点作于点，过点作于点，先求出的长，再解直角三角形可得的长，然后利用的面积公式求解即可得．
【小问1详解】
解：∵在中，，，，
∴．
【小问2详解】
解：如图，当点为边的中点时，

∵在中，，，，，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴在中，．
【小问3详解】
解：①如图，当平分时，则点与点重合，
过点作于点，

∵在中，，，，，
∴，
在中，，
∴，
∵点是的中点，，点与点重合，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∴，
即此时；
②如图，当平分时，连接，

∴，
∵点是中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
由（2）已得：，
在中，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
在中，，
又∵在中，点是的中点，
∴；
综上，的长为或．
【小问4详解】
解：①如图，当点在上时，过点作于点，

在中，，
设，则，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
在中，，，
∴，
由（2）已得：，
∴在中，，
∴，即，
解得，
∴，
即此时点到的距离为；
②如图，当点在上时，过点作于点，过点作于点，

由上已得：，垂直平分，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
即此时点到的距离为；
综上，点到的距离为或．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握解直角三角形的方法，并分类讨论是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点．点是该抛物线上的动点，其横坐标为．将点沿轴正方向向上平移个单位长度得到点，过点作轴于点，连结，以、为边作矩形．
（1）求此抛物线对应的函数关系式．
（2）当该抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大时，求的取值范围．
（3）在两点之间的部分（包含两点）图象记为．设与此抛物线的交点的横坐标为，图象最高点与最低点的纵坐标之差为，若，求的取值范围．
（4）设矩形的边与抛物线的交点为（点不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出的值．（写出三个值即可）
【答案】（1）；
（2）当时，该抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大；
（3）；
（4）或或或或
【解析】
【分析】（）利用待定系数法，把点的坐标代入求出的值即可；
（）根据矩形的性质，分当时、当时、当时，三种情况进行讨论，当时矩形内部没有二次函数的图象；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而减小；只有当 时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大；
（）分别求出当和时，图象最高点与最低点的纵坐标之差，即为的取值范围；
（）抛物线与轴的交点坐标分别为和，抛物线的顶点坐标为，所以要分当时、当时，当时，即当在抛物线顶点的上方时， 当，即当与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点时，当时，共种情况讨论求解．
小问1详解】
解：把点的坐标代入，可得，
解得：，
∴抛物线对应的函数关系式为；
【小问2详解】
解：当时，
如图，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大；
∵抛物线的顶点坐标为，
当时，如图2所示，矩形内部没有二次函数图象；
当时，如图所示，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而减小；
综上所述，的取值范围为；
【小问3详解】
解：当时，如图所示，
当与抛物线的交点的横坐标为时，点的纵坐标为，
点A的纵坐标为，点与点是对称点，
点的纵坐标为，
此时在图象最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为，最低点为点，点的纵坐标为，
∴；
当时，如图所示，
点的横坐标是，纵坐标是，此时点在轴上，
∵，
∴点的纵坐标为，此时在图象最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为，最低点为点，点的纵坐标为，
∴，
∴的取值范围为；
【小问4详解】
解：由方程，得，，
∴抛物线与轴的交点坐标分别为和，如图所示，
当点在点左侧时，则有，恰好在轴上，点是抛物线与轴的交点，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点的坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点的纵坐标为，
由方程，可得，（舍去），
当时，如图所示，
点的横坐标为，纵坐标为，
则点的纵坐标为，
∵点的纵坐标为,
∴，
若为等腰直角三角形，
则有，
整理得：，
解得：，（舍去）；
当时，如图所示，
点的横坐标为，
则与抛物线的交点横坐标为，
∴，
∵，
若为等腰直角三角形，
则有，
解得：；
当时，如图所示，
与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点，
此时，是等腰直角三角形；
当时，如图所示，
点的横坐标为，纵坐标为，则点的横坐标为，纵坐标为 ，
若为等腰直角三角形，
则有 ，
∴点的坐标为，
∴可得方程：，
解得：；
综上所述，的值可能为或或或或．
次数
e频率