四川省科学城第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：郭晓慧 审题人：曹雪琴 考试时长：120 分钟
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 直线 的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据方向向量 定义解答即可．
【详解】直线 的斜率为 ，则选项中 是直线的一个方向向量，即 B 正确．
故选：B．
2. 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1
个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数 B. 平均数
C. 方差 D. 极差
【答案】A
【解析】
【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】设 9 位评委评分按从小到大排列为 ．
则①原始中位数为 ，去掉最低分 ，最高分 ，后剩余 ，
中位数仍为 ， A 正确．
②原始平均数 ，后来平均数
平均数受极端值影响较大， 与 不一定相同，B 不正确
③
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由②易知，C 不正确．
④原极差 ，后来极差 可能相等可能变小，D 不正确．
【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
3. 直线 l 过圆 C： 的圆心，并且与直线 垂直，则直线 l 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的方程写出圆心坐标，根据直线相互垂直可得 ，根据点斜式写出直线方程.
【详解】由圆 C： ，则 ，又直线 l 与直线 垂直，即 ，
∴直线 l 的方程为 ，即 .
故选：D
4. 已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，一个焦点在抛物线 的准线上，
则双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A. 6 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得 ， ，然后根据点到直线的距离公式即得.
【详解】因为 的准线为 ，
所以双曲线 的一个焦点为 ，即 ，
由题意可知 ，即 ，
所以 ，
所以 ， ，
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所以顶点 到渐近线 的距离为 .
故选：D．
5. 在三棱柱 中， ， 分别是线段 ， 上靠近 ， 的三等分点，则 （
）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解．
【详解】
， 分别是线段 ， 上靠近 ， 的三等分点，
， ，
， ，
又 ， ，
，即
，故 A 正确．
故选：A．
6. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字 1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并
记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件 为“第一次向下的数字为 1 或 2”，事件 为“两次向下
的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
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A. B. 事件 与事件 互斥
C. 事件 与事件 相互独立 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥
事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案.
【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，
,
，事件 ， ，
事件 ， ，
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B，因为 ，所以事件 与事件 不互斥，故 B 错误；
对于 C， ， ， ，
因为 ，所以事件 与事件 相互独立，故 C 正确；
对于 D， ，
， ，故 D 错误.
故选：C.
7. 已知菱形 的边长为 ，对角线 长为 ，将△ 沿着对角线 翻折至△ ，使得线段
长为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知 ， ，所先计算出 ， ，再利用
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公式 ，算出两向量的夹角的余弦值，从而得出异面直线 与 所成角的
余弦值.
【详解】
因为 .
所以 .
因为 .
所以 .
所以 .
即
所以异面直线 与 CD 所成角的余弦值为 .
故选：D
8. 比利时数学家 Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的
侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，
如图所示，在一个高为 10，底面半径为 2 的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个
球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作出圆柱的轴截面，由于 ,所以 ，而由已知可求出
的长，从而可得 ，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得 ，由此可求出
离心率.
【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为 ， ，延长 与圆柱面相交于 ， ，过点
作 ，垂足为 .
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在直角三角形 中， ， ，
所以 ，又因为 ，
所以 .
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即 ，则可求得
，
所以 ，
故选：D.
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列给出 命题中正确的有（ ）
A. 已知两个向量 ， ，且 ，则
B. 三棱锥 中，点 为平面 上的一点，且 ，则
C. 已知 ， ，则 在 上的投影向量坐标为
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D. 若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量平行求参数，可判断 A 的真假；根据向量共面求参数，可判断 B 的真假；根据投影
向量的概念判断 C 的真假；根据空间向量基底的概念判断 D 的真假.
【详解】对 A 选项：由 ，所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 A 正确；
对 B 选项：因为点 为平面 上的一点，所以存在 ，使得 ,
即 .
因为 ，所以 ，故 B 正确；
对 C 选项： 在 上的投影向量为： ，故 C 正确；
对 D 选项：因为 ，所以 ， ， 三个向量共面，
所以 不是空间向量的一组基底，故 D 错误.
故选：ABC
10. 由直线 ： 上的一点 向圆 ： 引两条切线 ， ，A， 是切点，
则（ ）
A. 线段 长的最小值为
B. 四边形 面积的最小值为
C. 的最大值是
D. 当点 的坐标为 时，切点弦 所在的直线方程为
【答案】AD
【解析】
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【分析】对于 A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于 B：根据面积关系结合 A 中结论分析判断；对
于 C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于 D：分析可知点 在以 为直径的圆上，结合相交弦方
程的求法分析运算.
【详解】将 化为标准方程： ，
可知圆 的圆心为 ，半径为 ．
对于选项 A：因为圆心 到直线 ： 的距离 ，
可知 ，可得 ，
所以线段 长的最小值为 ，故 A 正确；
对于选项 B：因为四边形 面积 ，
由选项 A 可知：四边形 面积的最小值为 ，故 B 错误；
对于选项 C：因为 ，
所以 的最小值为 ，故 C 错误；
对于选项 D：因为 ，可知点 在以 为直径的圆上，
当点 的坐标为 时，则 的中点为 ，且 ，
即点 在圆 ，即 上，
将 与 作差可得 ，
所以切点弦 所在的直线方程 ，故 D 正确．
故选：AD．
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11. “出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种
被使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系 内，对于任意两点 、 ，
定义它们之间的“欧几里得距离” ，“曼哈顿距离”为
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点 为线段 上任意一点，则 为定值
B. 对于平面上任意一点 ，若 ，则动点 的轨迹长度为
C. 对于平面上任意三点 、 、 ，都有
D. 若点 ，点 为圆 ： 上的一个动点，则 最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】结合曼哈顿距离的定义及绝对值函数即可判断 A、B，根据不等式的性质即可判断选项 C，根据三
角和差公式及三角函数的性质即可判断选项 D.
【详解】选项 A：设 ，则 ，且 ， .
所以 ，故 A 正确；
选项 B：设 ， .
当 ， 时， ；当 ， 时， ；
当 ， 时， ；当 ， 时， ；
所以点 的轨迹是一个以 ， ， ， 为顶点的正方形，边长为 ，
所以轨迹长度为 ，故 B 错误；
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选项 C：根据绝对值的定义，对任意实数，有 ，
因此 ， ，所以 ，
即 ，当 与 同号或至少一个为 0 时等号成立.
设 ， ， .
，
又 ， ，
所以 ，
即 ，故 C 正确；
选项 D：点 ，点 在圆 ： 上，设 ， ，
则 .
当 ，即 时，
，
当 ，即 时， 取得最大值 ，此时 .
当 ，即 或 时，
，此时最大值小于 .
综上，当 时， 取得最大值 ，故 D 错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 如图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 米
.
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【答案】2 米
【解析】
【详解】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 ，
将 A（2，-2）代入 ，
得 m=-2，
∴ ，代入 B 得 ，
故水面宽为 米，故答案为 米．
考点：抛物线的应用
13. 有 2 人在一座 6 层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则
他们在不同楼层离开电梯的概率是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，2 人离开电梯的情况有 25 种，在同一楼层离开的有 5 种，从而求得在不同楼层离开的
概率.
【详解】由题知，2 人离开电梯的情况有 种，2 人在同一楼层离开的有 5 种，
则两人在不同楼层离开电梯的概率为 .
故答案为： .
14. 已知椭圆 与双曲线 有共同 焦点 ， ，
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点 为两曲线的一个公共点，且 ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，那么 的
最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造 ，利用
基本不等式，即可求解.
【详解】设两曲线的半焦距为 ，由余弦定理得： ，
在椭圆中， ，
又 ， ， ，
则 ，即 ，
在双曲线中， ，
又 ， ， ，
则 ，即 ，
从而 ，得 ，0
则 ， ，即 ，
则 ，即 ，
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所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆，双曲线定义及余弦定理得到 ，进而利用基本不
等式求解即可.
四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.
15. 某企业招聘，一共有 200 名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在 内，按照
，…， 分组，得到如下频率分布直方图：
（1）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）
（2）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取 150 人，估计应该把录取的分数线定为多少?
【答案】（1）
（2）65 分
【解析】
【分析】（1）由所有频率和为 1，列方程求出 的值，由平均数公式求解即可，
（2）设分数线定为 ，根据频率分布直方图可知 ，列出方程求解即可得解.
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【小问 1 详解】
由题意得 ，解得 ，
这些应聘者笔试成绩的平均数为：
【小问 2 详解】
根据题意，录取的比例为 ，
设分数线定 ，根据频率分布直方图可知 ，
则 ，解得 ，
所以估计应该把录取的分数线定为 65 分.
16. 已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 ， 两点，线段 的中点
为 ， 为坐标原点．
（1）求 的轨迹方程；
（2）当 时，求 的方程及 的面积．
【答案】（1） ；（2） 的方程为 ， 的面积为 .
【解析】
【分析】（1）由圆 的方程求出圆心坐标和半径，设出 坐标，由 与 数量积等于 0 列式得 的
轨迹方程；
（2）设 的轨迹的圆心为 ，由 得到 ．求出 所在直线的斜率，由直线方程
的点斜式得到 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出 到 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长
间的关系求出 的长度，代入三角形面积公式得答案．
【详解】解：（1）由圆 ，即 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ．
设 ，则 ， ．
由题意可得 ，即 ．
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整理得 ．
的轨迹方程是 ．
（2）由（1）知 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，
由于 ，
故 在线段 的垂直平分线上，
又 在圆 上，
从而 ．
，
直线 的斜率为 ．
直线 的方程为 ，即 ．
则 到直线 的距离为 ．
又 到 的距离为 ，
．
．
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17. 下面的三个游戏都是在袋子中装入大小和质地相同的小球，然后从袋子中不放回地取球．
游戏 1 游戏 2 游戏 3
袋子中球的数量和颜
2 个红球和 1 个白球 1 个红球和 2 个白球 2 个红球和 2 个白球 色
取球规则 取 1 个球 依次取 2 个球 依次取 2 个球
取到红球 甲胜 两个球同色 甲胜 两个球同色 甲胜
获胜规则
取到白球 乙胜 两个球不同色 乙胜 两个球不同色 乙胜
（1）分别计算三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利；
（2）若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，求甲获胜次数多于乙的概率．
【答案】（1） ； ； ；游戏 1 对甲更有利．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，可得答案；
（2）分别求在三个游戏中，甲获胜 3 次和在三个游戏中，甲获胜 2 次，输一次的概率，再求和即可.
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【小问 1 详解】
设事件 “在游戏 1 中，甲获胜”；事件 “在游戏 2 中，甲获胜”；
事件 “在游戏 3 中，甲获胜”．
游戏 1：设红球为 ，白球为 ，取 1 个球，共 3 种情况 ，
甲获胜的情况有 2 种 ，故 ；
游戏 2：设红球为 ，白球为 ，依次取 2 个球，共 6 种情况 ，
甲获胜的情况有 2 种 ，故 ；
游戏 3：设红球为 ，白球为 ，依次取 2 个球，共 12 种情况：
，
甲获胜的情况有 4 种 ，
故 ；
由于 ，故游戏 1 对甲更有利．
【小问 2 详解】
当甲获胜次数多于乙时，甲获胜 2 次或 3 次．
设事件 “在三个游戏中，甲获胜 3 次”，事件 “在三个游戏中，甲获胜 2 次，输一次”，
由（1）知， ，
故 ．
．
综上，甲获胜次数多于乙的概率 ．
18. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，过 作
，垂足为 ，将 沿 翻折至 ，使点 落在点 的位置， .
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（1）证明：平面 平面 .
（2）已知 ， ， ， ， 五点均在球 的球面上.
（ⅰ）求球 的表面积；
（ⅱ）设点 平面 ，点 平面 ，若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） 或
【解析】
【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明 平面 ，然后利用面面垂直的判定定理证明即可.
（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，利用球的性质设出球心坐标，根据 求得半径，代入球的表
面积公式即可得解；
（ⅱ）根据平面基本性质设点 的坐标，求出平面 与平面 的法向量，根据面面夹角的向量公式
求解即可.
【小问 1 详解】
因 为 ， ， 所 以 ， 又 ， ， 且 ，
平面 ，所以 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）易知四边形 为矩形，又 ，所以四边形 为正方形，取 的中点为 ，
连接 ，因为 ，所以 ，
由（1） 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，以 为原点，以 所在
直线分别为 轴，以过 平行于 的直线为 轴，
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建立如图所示的空间直角坐标系：
则 ， ， ， ，
因为四边形 为正方形，所以正方形 外接圆的圆心 为正方形 的中心，则 ，
由球的性质可知， 平面 ，
设 ，球 的半径为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故 ，所以 ，
故球 的表面积为 ；
（ⅱ）过 P 作 ，因为 ，所以 ，
所以平面 平面 ，则 ，
设 ，则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，所以 .
又 ，解得 ，
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当 时，则 ， .
所以 .
当 时，则 ， .
所以 .
故平面 与平面 夹角的余弦值为 或 .
19. 已知双曲线 的中心为原点 ，左､右焦点分别为 ､ ，离心率为 ，且过
点 ，又 点是直线 上任意一点，点 在双曲线 上，且满足 .
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：直线 与直线 的斜率之积是定值；
（3）若点 的纵坐标为 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 ､ ，在线段 上取异于
点 ､ 的点 ，满足 ，证明点 恒在一条定直线上.
【答案】（1） 1
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的 ， ， 的关系，即可求得 ， ，进
而得到双曲线的方程；
（2）设出 ， ，代入双曲线的方程，再由 ，再由直线的斜率公式，得到直
线 与直线 的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值 ；
（3）设点 ，且过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同两点 ， ，设
，代入可得求出坐标之间的关系，化简可得点 恒在定直线 上.
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【小问 1 详解】
双曲线 ， ，
由于离心率为 ，即 ，
代入双曲线的方程可得 ，
解得 ， ， ，
即有双曲线的方程为 ；
小问 2 详解】
由于点 是直线 上任意一点，
可设 ，
再由 为双曲线 上一点，可设 ，
则 ，即 .
由 ，
则 ，
即有 ，即有 ，
则 ，
则直线 与直线 的斜率之积是定值 ；
【小问 3 详解】
设点 ，
且过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同两点 ， ，
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则 ，
即 ， ，
设 ，
则 .
即
由 ， 得 ，
将 ， ，代入 ，
得 ，
将 代入 ，得 ，
所以点 恒在定直线 上.
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