7.2.2 平行线的性质 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：7.2.2 平行线的证明 —— 平行线的性质副标题：2024 北师大版八年级数学（几何证明专项）授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们学习了平行线的判定 —— 通过 “同位角相等”“内错角相等” 等角的关系，判断两条直线是否平行（角→平行）。今天我们反向思考：如果已知两条直线平行，能推出哪些角的关系呢？这就是平行线的性质要解决的问题（平行→角）。通过证明推导性质定理，我们将掌握 “由平行推角” 的逻辑，完善平行线的知识体系！幻灯片 2：学习目标理解平行线性质定理与判定定理的区别（因果倒置），明确性质定理的核心是 “由平行推角的关系”。能通过逻辑推理（如反证法、利用判定定理）证明平行线的三条性质定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。掌握平行线性质定理的应用，能结合性质定理解决 “已知平行求角的度数”“证明角相等 / 互补” 等问题，规范书写推理过程。幻灯片 3：知识回顾与性质定理引入（对比判定与性质）1. 核心逻辑对比（判定 vs 性质）类别因果关系核心目的示例（直线 a、b 被 c 所截）平行线判定角的关系 → 两直线平行判断两条直线是否平行若∠1=∠2（同位角相等），则 a∥b平行线性质两直线平行 → 角的关系由平行推导角的数量关系若 a∥b（两直线平行），则∠1=∠2（同位角相等）2. 思考：如何证明平行线的性质？已知 “a∥b”，如何证明 “同位角相等”？不能直接用判定定理的 “同位角相等→平行” 逆推（判定与性质是独立定理，需单独证明）；可采用 “反证法”：假设同位角不相等，推出与 “a∥b” 矛盾的结论，从而证明假设不成立，同位角相等。幻灯片 4：探究：规范书写证明过程证明：∵ a ∥ b（已知），∴ ∠1 = ∠2（平行线性质定理1：两直线平行，同位角相等）。又∵ ∠1与∠4是邻补角（由图形可知，共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线），∴ ∠1 + ∠4 = 180°（平角的定义：平角等于180°）。∴ ∠2 + ∠4 = 180°（等量代换）。即：两直线平行，同旁内角互补。幻灯片 7：平行线性质定理汇总（对比判定定理）定理类别具体内容因果关系应用场景性质 1两直线平行，同位角相等平行 → 角相等已知平行，求同位角的度数性质 2两直线平行，内错角相等平行 → 角相等已知平行，证明内错角相等性质 3两直线平行，同旁内角互补平行 → 角互补已知平行，求同旁内角的度数（如∠2=180°-∠4）判定 1同位角相等，两直线平行角相等 → 平行已知同位角相等，证明平行判定 2内错角相等，两直线平行角相等 → 平行已知内错角相等，证明平行判定 3同旁内角互补，两直线平行角互补 → 平行已知同旁内角互补，证明平行记忆口诀判定：“角定平行”（角的关系定平行）；性质：“平行定角”（平行定角的关系）。幻灯片 8：实例应用 —— 运用性质定理解决几何问题例题 1：已知平行求角的度数题目：如图，直线 a ∥ b，∠1 = 65°，求∠2、∠3、∠4 的度数，并说明理由。解答过程：求∠2：∵ a ∥ b（已知），∠1 与∠2 是内错角，∴ ∠2 = ∠1 = 65°（两直线平行，内错角相等）；求∠3：∵ a ∥ b（已知），∠1 与∠3 是同位角，∴ ∠3 = ∠1 = 65°（两直线平行，同位角相等）；求∠4：∵ a ∥ b（已知），∠1 与∠4 是同旁内角，∴ ∠1 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），∴ ∠4 = 180° - 65° = 115°；规范书写：解：∠2 = 65°，∠3 = 65°，∠4 = 115°，理由如下：∵ a ∥ b（已知），∴ ∠2 = ∠1 = 65°（两直线平行，内错角相等），∠3 = ∠1 = 65°（两直线平行，同位角相等），∠1 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。又∵ ∠1 = 65°（已知），∴ ∠4 = 180° - 65° = 115°。例题 2：结合平行证明角相等题目：如图，已知 AB ∥ CD，BE ∥ CF，求证：∠1 = ∠2。解答过程：由 AB ∥ CD，得∠ABC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）；由 BE ∥ CF，得∠EBC = ∠FCB（两直线平行，内错角相等）；两式相减：∠ABC - ∠EBC = ∠BCD - ∠FCB，即∠1 = ∠2；证明过程：证明：∵ AB ∥ CD（已知），∴ ∠ABC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）。∵ BE ∥ CF（已知），∴ ∠EBC = ∠FCB（两直线平行，内错角相等）。∴ ∠ABC - ∠EBC = ∠BCD - ∠FCB（等式性质 1），即∠1 = ∠2。幻灯片 9：学生活动：小组合作应用性质定理活动任务小组合作完成以下任务：（1）如图，a ∥ b，c ∥ d，∠1 = 100°，求∠2、∠3 的度数，并说明依据；（2）证明：“如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”（已知：a ∥ b，c ⊥ a，求证：c ⊥ b）。讨论：在解决几何问题时，如何判断该用平行线的判定还是性质？（提示：看 “已知条件”—— 已知平行用性质，已知角的关系证平行用判定）。参考解答（1）∠2 = 100°，理由：a ∥ b，∠1 与∠2 是同旁内角，∠2 = 180° - 100° = 80°？（调整：∠1 与∠2 是同位角，a ∥ b，∠2 = 100°；c ∥ d，∠2 与∠3 是内错角，∠3 = 100°）；正确解答：∠2 = 100°（a ∥ b，同位角相等），∠3 = 100°（c ∥ d，内错角相等）；（2）证明：∵ c ⊥ a（已知），∴ ∠1 = 90°（垂直定义）。∵ a ∥ b（已知），∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）。∴ ∠2 = 90°（等量代换），∴ c ⊥ b（垂直定义）。教师指导引导学生在求角时先明确 “已知平行关系”，再对应性质定理；证明垂直时注意 “垂直定义”（90° 角）与性质定理的结合，避免混淆判定与性质的应用场景。幻灯片 10：随堂练习如图，AB ∥ CD，∠A = 70°，∠C = 40°，求∠E 的度数（提示：过点 E 作 EF ∥ AB，利用平行线性质）。解答：过 E 作 EF ∥ AB，∵ AB ∥ CD，∴ EF ∥ CD。∠A = ∠AEF = 70°（AB ∥ EF，内错角相等），∠C = ∠CEF = 40°（CD ∥ EF，内错角相等），∠E = ∠AEF - ∠CEF = 70° - 40° = 30°。证明：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直（提示：设同旁内角为∠1、∠2，∠1+∠2=180°，平分线分角为∠3=∠1/2，∠4=∠2/2，证∠3+∠4=90°）。参考证明：已知：a ∥ b，∠1+∠2=180°，OE 平分∠1，OF 平分∠2，求证：OE ⊥ OF。证明：∵ OE 平分∠1，OF 平分∠2，∴ ∠3=∠1/2，∠4=∠2/2。∵ ∠1+∠2=180°，∴ ∠3+∠4=90°。在△EOF 中，∠EOF=180°-(∠3+∠4)=90°，∴ OE ⊥ OF。幻灯片 11：课堂小结核心知识梳理：性质定理：3 条核心性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），均需通过逻辑推理证明（如反证法、利用已知定理）；应用关键：已知 “两直线平行” 时，优先考虑性质定理，根据角的类型（同位角、内错角、同旁内角）选择对应性质；判定与性质的区别：判定是 “由角推平行”，性质是 “由平行推角”，两者因果倒置，需根据已知条件选择使用。易错点提醒：混淆判定与性质的应用场景（如已知平行却用判定定理，已知角的关系却用性质定理）；忽略 “两条直线被第三条直线所截” 的前提（如单独说 “两直线平行，内错角相等”，需隐含 “被第三条直线所截”）；推理时遗漏依据（如未标注 “两直线平行，同位角相等”，直接写角相等）。后续学习方向：接下来我们将学习 “平行线的判定与性质的综合应用”，解决更复杂的几何问题（如添加辅助线构造平行关系），进一步提升逻辑推理能力。幻灯片 12：课后作业基础题：（1）如图，a ∥ b，∠1 = 80°，求∠2、∠3、∠4 的度数，并说明理由；（2）证明：“两直线平行，内错角的平分线互相平行”（提示：设内【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 图片导入思考1 根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？两直线平行，同位角相等思考2 你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.求证：∠1=∠2.文字语言符号语言思考3 你能说说证明的思路吗？ABCDEFMN12证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？一般地，平行线具有如下性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等. ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）.∵a∥b（已知），几何语言:例 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°,∠B=60°,∠AED=40°.（1）DE和BC平行吗？为什么？（2）∠C是多少度？为什么？ 答:（1）DE∥BC , ∵∠ADE＝60°,∠B＝60°， ∴∠ADE＝ ∠B. ∴DE∥BC （ ）.同位角相等，两直线平行（2）∠C =40°.∵DE∥BC ，∴∠C ＝ ∠AED ( )∵∠AED=40°，∴∠C =40°.两直线平行，同位角相等.EABDC1.如图所示，∠1＝70°，若m∥n，则∠2＝ . 2.如图所示，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于 ( )A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°70°C 在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行线”，类似地，已知两直线平行，同位角相等，能否得到内错角之间的数量关系？ 证明： ∵ a∥b(已知), ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等). 又∵ ∠1=∠3(对顶角相等), ∴ ∠1=∠2(等量代换).定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证： ∠1=∠2.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等. ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.∵a∥b（已知）,几何语言:例 如图，已知直线a∥b，∠1 = 50°, 求∠2的度数.abc12∴∠ 2= 50° (等量代换).解：∵ a∥b(已知)，∴∠ 1= ∠ 2(两直线平行,内错角相等).又∵∠ 1 = 50° (已知),如图所示，AC∥BD，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠1＝ ，∠2＝ ，∠3＝ .70°50°60°如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?解: ∵a//b （已知）,∴ 1=  2（两直线平行，同位角相等）. ∵  1+  4=180°（邻补角的性质），∴ 2+  4=180°（等量代换）.类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？ 两直线平行，同旁内角互补性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. ∴∠2+∠4=180 °（两直线平行，同旁内角互补）∵a∥b（已知）几何语言:平行线的性质性质定理1:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.性质定理2:两直线平行,内错角相等.∵ a∥b, ∴∠1=∠2.性质定理3: 两直线平行,同旁内角互补.∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . 这里的结论,以后可以直接运用. 例 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？解：∵梯形上、下底互相平行， ∴ ∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.∴梯形的另外两个角分别是80°、65°.于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°,∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为( )A. 58° B. 42° C. 32° D. 28°C定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 如图：直线a∥b,a∥c,∠1，∠2和∠3是直线 a,b，c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.证明：∵a∥b ∴∠1=∠2 ∵a∥ c ∴∠1=∠3 ∴ ∠2=∠3 ∴ b∥c（已知）,（两直线平行，同位角相等）.（已知）,（两直线平行，同位角相等）.（等量代换）.（同位角相等，两直线平行）.知识点1 平行线的性质  5867 85 58 返回（第2题） C  返回（第3题） B  返回（第4题） B  返回 C（第5题）  返回    返回知识点2 平行线的性质与判定的综合应用 B  返回   返回（第9题） B  返回（第10题） 5840 返回（第11题）   返回（第12题） 55 返回13. 如图为某健身房的健身器材侧面图。   返回      解：如图，   返回同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行判定性质必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！