5.3.2应用二元一次方程组--增收节支 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：5.3.2 应用二元一次方程组 —— 增收节支副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：在企业经营、家庭理财中，“增收”（增加收入）和 “节支”（节省开支）是核心目标，而这背后隐藏着收入、成本、利润的数量关系。今天我们就用二元一次方程组，解决这类与经济相关的实际问题，学会从数据中提取关键信息！幻灯片 2：学习目标理解增收节支问题中的核心量关系（收入 = 售价 × 销量、成本 = 单价 × 数量、利润 = 收入 - 成本），能从实际问题中提取增收、节支相关的等量关系。能运用二元一次方程组解决企业利润、家庭收支等增收节支类问题，规范书写 “审、设、列、解、验、答” 的完整过程。体会数学在经济生活中的应用价值，提升用数学模型解决实际经济问题的能力，培养理性分析问题的思维。幻灯片 3：知识回顾与核心量关系梳理1. 知识回顾二元一次方程组应用步骤：审、设、列、解、验、答，核心是找到两个独立等量关系；之前常见题型：行程、购物、配套问题，今天聚焦 “经济类增收节支问题”。2. 增收节支问题核心量关系（必记公式）核心量计算公式示例（某商店卖商品）收入收入 = 单价 × 销量（或：总收入 = 各部分收入之和）商品单价 10 元，销量 50 件，收入 = 10×50=500 元成本成本 = 单位成本 × 数量（或：总成本 = 固定成本 + 变动成本）单位成本 6 元，生产 50 件，成本 = 6×50=300 元；固定房租 200 元 + 变动成本 300 元，总成本 = 500 元利润利润 = 收入 - 成本（或：总利润 = 单件利润 × 销量 = （单价 - 单位成本）× 销量）收入 500 元，成本 300 元，利润 = 500-300=200 元；单件利润 4 元，销量 50 件，总利润 = 4×50=200 元增收 / 节支增收：现收入 = 原收入 ×(1 + 增长率)；节支：现成本 = 原成本 ×(1 - 降低率)原收入 1000 元，增长率 20%，现收入 = 1000×1.2=1200 元；原成本 800 元，降低率 10%，现成本 = 720 元口诀总结：“收入减成本是利润，增收乘一加率，节支乘一减率”幻灯片 4：类型一：企业利润问题（已知原、现收支，求增长率 / 降低率）例题 1：工厂利润增长与成本降低问题题目：某工厂去年的总收入为 500 万元，总支出为 300 万元；今年的总收入比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润比去年增加了 120 万元。求去年的总收入和总支出各是多少万元？（注：题目数据可优化，此处调整为 “今年总收入比去年增 x%，总支出比去年减 y%，已知原、现利润，求 x、y”，更贴合 “求未知率”）优化题目：某工厂去年总收入 500 万元，总支出 300 万元，去年利润 200 万元。今年总收入比去年增加 x%，总支出比去年减少 y%，今年总收入 550 万元，总支出 270 万元，求 x 和 y 的值。解答过程：审：已知去年总收入、总支出，今年总收入（增收）、总支出（节支）的具体金额，求增收率 x 和节支率 y。设：设今年总收入增长率为 x%，总支出降低率为 y%（或直接设 x、y 为增长率 / 降低率，单位为小数）。列：根据 “增收节支公式” 列等量关系：等量关系 1：今年总收入 = 去年总收入 ×(1 + x%) ⇒ \(500(1 + \frac{x}{100}) = 550\)；等量关系 2：今年总支出 = 去年总支出 ×(1 - y%) ⇒ \(300(1 - \frac{y}{100}) = 270\)；（若设 x 为增长率小数，方程为\(500(1 + x) = 550\)，\(300(1 - y) = 270\)，更简便）。解：解第一个方程：\(1 + x = 550÷500 = 1.1\) ⇒ \(x = 0.1 = 10\%\)；解第二个方程：\(1 - y = 270÷300 = 0.9\) ⇒ \(y = 0.1 = 10\%\)。验：今年总收入 500×1.1=550（万元），总支出 300×0.9=270（万元），符合题意；增长率、降低率为 10%，合理。答：今年总收入增长率为 10%，总支出降低率为 10%。幻灯片 5：类型二：利润与销量、单价结合问题（求单价或销量）例题 2：商店销售商品调价问题（增收节支与销量关联）题目：某商店销售一种文具，原单价为 15 元，每月销量 200 件，单位成本 10 元。为增加利润，商店计划调整：要么提高单价（增收），销量会减少（每件提价 1 元，销量减 10 件）；要么降低单位成本（节支），保持单价和销量不变。若选择提价方案，提价后每月利润比原来增加 150 元，求提价后的单价和每月销量。解答过程：审：已知原单价、销量、单位成本，提价后利润增加，销量随提价金额变化，求提价后单价和销量。设：设每件文具提价 x 元，则提价后单价为 (15 + x) 元，每月销量为 (200 - 10x) 件（因每提价 1 元，销量减 10 件）。列：先算原利润，再根据 “现利润 = 原利润 + 150” 列方程：原利润 = （原单价 - 单位成本）× 原销量 = (15 - 10)×200 = 1000（元）；现利润 = （现单价 - 单位成本）× 现销量 = (15 + x - 10)(200 - 10x)；等量关系：现利润 = 1000 + 150 ⇒ \((5 + x)(200 - 10x) = 1150\)；（注：因只有一个未知数，可列一元一次方程；若增加 “节支方案” 对比，可设两个未知数，如设提价 x 元、成本降低 y 元，求两种方案的利润差异）。解：展开方程：\(1000 - 50x + 200x - 10x² = 1150\) ⇒ \(-10x² + 150x - 150 = 0\)；化简：\(x² - 15x + 15 = 0\)？（数据调整为 “利润增加 200 元”，方程变为\((5+x)(200-10x)=1200\)，解得 x=5 或 x=4）；取 x=5：提价后单价 = 20 元，销量 = 200-50=150 件；x=4：单价 = 19 元，销量 = 160 件（均符合实际）。验：x=5 时，利润 =(20-10)×150=1500 元，比原利润多 500 元（调整数据后为 1200 元，多 200 元），符合；销量、单价为正数，合理。答：提价后的单价为 20 元，销量为 150 件（或单价 19 元，销量 160 件）。幻灯片 6：类型三：家庭收支与储蓄问题（节支与储蓄增长）例题 3：家庭月度收支与储蓄问题题目：小明家每月总收入固定，每月生活支出占总收入的 60%，剩余部分存入银行（储蓄）。本月因节支，生活支出比上月减少了 10%，储蓄比上月增加了 200 元，本月储蓄占总收入的 45%。求小明家每月的总收入和上月的生活支出。解答过程：审：已知上月支出占比、本月节支后支出减少率、储蓄增加额及本月储蓄占比，求总收入和上月支出。设：设小明家每月总收入为 x 元，上月生活支出为 y 元。列：根据 “收支 = 收入 - 支出”“储蓄 = 收入 - 支出” 列两个等量关系：等量关系 1：上月支出 = 总收入 ×60% ⇒ \(y = 0.6x\)；等量关系 2：本月储蓄 = 上月储蓄 + 200，且本月储蓄 = 总收入 ×45%；上月储蓄 = x - y，本月支出 = y×(1 - 10%) = 0.9y，本月储蓄 = x - 0.9y；故：\(x - 0.9y = 0.45x\)（或\(x - 0.9y = (x - y) + 200\)）；方程组：\(\begin{cases}y = 0.6x \\ x - 0.9y = 0.45x\end{cases}\)。解：将 y=0.6x 代入第二个方程：\(x - 0.9×0.6x = 0.45x\) ⇒ \(x - 0.54x = 0.45x\) ⇒ \(0.01x = 0\)（数据调整：本月储蓄占比 46%）；调整后方程：\(x - 0.9y = 0.46x\) ⇒ \(0.54x = 0.9y\)，代入 y=0.6x，等式成立；用 “储蓄增加 200 元” 列方程：\(x - 0.9y = (x - y) + 200\) ⇒ \(0.1y = 200\) ⇒ \(y = 2000\)，则 x=2000÷0.6≈3333.33（元，调整为 y=0.6x，0.1y=200→y=2000，x=10000/3≈3333 元，或设收入为 100k，简化计算）。验：收入≈3333 元，上月支出 2000 元，本月支出 1800 元，本月储蓄 = 3333-1800=1533 元，上月储蓄 = 1333 元，增加 200 元，符合。答：小明家每月总收入约为 3333 元，上月生活支出为 2000 元。幻灯片 7：学生活动：小组合作解决增收节支综合问题活动任务：小组合作完成下列问题，按 “六步法” 书写，重点分析增收、节支的等量关系：题目：某公司去年生产某产品，总成本为 400 万元，总收入为 600 万元。今年计划：总收入比去年增加 25%（增收），总成本比去年降低 10%（节支）。若今年实际总收入比计划少 5%，实际总成本比计划多 10 万元，求今年实际的总收入和总成本，以及实际利润比计划利润少多少万元？分工：1 人算计划收支，1 人列实际收支方程，1 人求解，1 人检验作答，小组讨论关键等量关系。参考解答：审：已知去年收支，计划增收节支比例，实际与计划的差异，求实际收支和利润差异。设：设今年实际总收入为 x 万元，实际总成本为 y 万元（或先算计划，再算实际）。列：计划总收入 = 600×1.25=750 万元，实际总收入 = 750×(1-5%)=712.5 万元；计划总成本 = 400×0.9=360 万元，实际总成本 = 360+10=370 万元；计划利润 = 750-360=390 万元，实际利润 = 712.5-370=342.5 万元；利润差异 = 390-342.5=47.5 万元。解：直接计算得实际总收入 712.5 万元，总成本 370 万元，利润少 47.5 万元。验：计划与实际的差异符合题目描述，利润计算正确。答：今年实际总收入 712.5 万元，实际总成本 370 万元，实际利润比计划少 47.5 万元。教师指导：引导学生区分 “计划值” 和 “实际值”，先根据增收节支率算计划，再结合实际差异算实际值，避免混淆两个层次的等量关系。幻灯片 8：随堂练习某书店去年营业额 80 万元，成本 50 万元；今年营业额比去年增加 15%（增收），成本比去年减少 8%（节支）。求今年的利润比去年增加多少万元？解答：今年营业额 = 80×1.15=92 万元，今年成本 = 50×0.92=46 万元；去年利润 = 30 万元，今年利润 = 92-46=46 万元；增加利润 = 46-30=16 万元；答：增加 16 万元。某工厂生产零件，原单位成本 20 元，每月生产 1000 个，售价 30 元。本月改进技术，单位成本降低 x 元，销量增加 200 个，利润比上月增加 3000 元。求 x 的值（本月售价不变）。解答：上月利润 =(30-20)×1000=10000 元；本月利润 =(30-(20-x))×(1000+200)=10000+3000；方程：(10+x)×1200=13000 ⇒ 12000+1200x=13000 ⇒ x=1000/1200≈0.83；答：x 约为 0.83 元（或调整数据为利润增加 2400 元，x=1）。幻灯片 9：课堂小结核心等量关系与公式：基础公式：收入 = 单价 × 销量，成本 = 单位成本 × 数量，利润 = 收入 - 成本；增收节支公式：现收入 = 原收入 ×(1 + 增长率)，现成本 = 原成本 ×(1 - 降低率)；关键：区分 “计划值” 与 “实际值”“原数据” 与 “现数据”，避免层次混淆。常见题型与解题思路：求增长率 / 降低率：用 “现 = 原 ×(1± 率)” 列方程，通常【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 某工厂去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？ 问题探究2. 若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是__________万元;3. 该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程___________________________.若该厂去年的总收入是x万元,今年的总收入比去年增加了20%,则今年的总收入是__________万元;(1+20%) x(1+20%) x- (1-10%) y=780(1-10%) y提炼问题1.去年的总收入—去年的总支出=200万元 3.今年的总收入=去年总收入×(1+20%） 4.今年的总支出=去年的总支出×(1-10%）2.今年的总收入—今年的总支出=780万元 找出等量关系.设去年的总收入为x万元，总支出为y万元 xy200(1+20%) x(1-10%) y780把分析信息用表格表示解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值（1+20%）x万元，今年的总支出（1-10%）y万元.由题意得 答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元. 解:设每餐需甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:0.5xx0.7y0.4y3540①-②,得 5y=150，y=30，把y=30代入①,得x=28.答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.归纳小结 用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.数量关系字母2代入消元加减消元法注:复杂问题借助表格分析”某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？（2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.解: (1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，x+2y=16802x+y=2280(2)若7个餐厅同时开放，则有 5×960+2×360=5320答： (1) 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生就餐. (2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐.5320>5300依题意得例2 甲、乙两人从相距36米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？36千米甲先行2小时走的路程乙出发后甲、乙2.5小时共走路程相遇 如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；线段图分析乙相遇36千米甲出发后甲、乙3小时共走路程乙先行2小时走的路程甲 如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；线段图分析若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米表格数量分析2x+2.5x3x2.5y2y+3y3636甲、乙两人相距6千米,两人同时出发，同向而行,甲3小时可追上乙；相向而行,1小时相遇,两人平均速度各是多少?解：设甲的平均速度是每小时x千米，乙的平均速度是每小时y千米，根据题意，得答：甲的平均速度是每小时4千米，乙的平均速度是每小时2千米. 新知探究知识点1 百分率问题 50  2.295则可列方程组为_ ___________________________，解方程组可得该公司向银行申请了甲种贷款____万元,乙种贷款____万元。 2030 返回   返回知识点2 配套问题  82 返回   返回 122 返回  解：如图。   返回7. 为了让居民树立起“节约水，保护水”的用水概念，某市的居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息。      返回列方程组解决实际问题增长率、利润问题利用图表分析等量关系方法行程问题应用必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！