5.3.1 二元一次方程组的应用 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：5.3.1 二元一次方程组的应用副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：我们已经学会了用代入消元法和加减消元法求解二元一次方程组，今天我们将把这种数学工具运用到实际生活中 —— 通过建立方程组，解决行程、计费、购物、工程等常见问题，体会 “数学建模” 的魅力！幻灯片 2：学习目标掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤（审、设、列、解、验、答），能从实际情境中准确提取两个等量关系。能运用二元一次方程组解决行程、计费、购物等典型实际问题，规范书写解题过程。经历 “实际问题→数学模型→求解验证→回归实际” 的过程，提升数学抽象与建模能力，感受数学与生活的紧密联系。幻灯片 3：知识回顾与应用步骤梳理1. 知识回顾二元一次方程组解法：代入消元法、加减消元法，核心是 “消元转化为一元一次方程”；列方程关键：找到两个独立的等量关系，用两个未知数表示未知量，建立方程组。2. 用二元一次方程组解决实际问题的 “六步法”步骤名称具体操作1审（审题）通读题目，明确题意，找出已知量、未知量，理解问题中的数量关系（如 “和差”“倍数”“配套” 等）。2设（设未知数）设两个关键未知量为 x 和 y（通常设 “求什么设什么”，即直接设元；复杂情况可间接设元），注明单位。3列（列方程组）根据题目中的两个等量关系，分别列出两个二元一次方程，联立组成方程组。4解（解方程组）选择合适的消元方法（代入法或加减法）求解方程组，得到 x 和 y 的值。5验（检验）检验解的正确性（代入方程组验证）和实际意义（如人数、数量为非负整数，时间、费用为正数）。6答（作答）根据检验结果，用完整的语言回答题目中的问题，注明单位。口诀总结：“审题设元列方程，求解检验写答案”幻灯片 4：类型一：行程问题（相遇、追及、相向而行）核心等量关系路程 = 速度 × 时间；相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程；追及问题：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离。例题 1：相向而行相遇问题题目：A、B 两地相距 300km，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车速度为 60km/h，乙车速度为 40km/h。出发多长时间后两车相遇？相遇时甲车离 B 地还有多少 km？解答过程：审：已知总路程 300km，甲速 60km/h，乙速 40km/h，求相遇时间和相遇时甲车距 B 地的距离。设：设出发 t 小时后两车相遇，相遇时甲车离 B 地还有 s km。列：等量关系 1：甲车路程 + 乙车路程 = 总路程 ⇒ \(60t + 40t = 300\)；等量关系 2：相遇时甲车距 B 地的距离 = 乙车行驶的路程 ⇒ \(s = 40t\)；方程组：\(\begin{cases}60t + 40t = 300 \\ s = 40t\end{cases}\)。解：解第一个方程：\(100t = 300\) ⇒ \(t = 3\)；代入第二个方程：\(s = 40×3 = 120\)。验：t=3 时，甲车路程 180km，乙车路程 120km，180+120=300km（符合总路程）；s=120km 为正数，符合实际。答：出发 3 小时后两车相遇，相遇时甲车离 B 地还有 120km。幻灯片 5：类型二：购物计费问题（价格、数量、总价）核心等量关系总价 = 单价 × 数量；两种商品的总价和 = 总费用；两种商品的数量和 = 总数量。例题 2：商品购买问题题目：某超市促销，买 2 瓶果汁和 3 袋薯片共需 49 元，买 3 瓶果汁和 2 袋薯片共需 51 元。求每瓶果汁和每袋薯片的单价各为多少元？解答过程：审：已知两种购买组合的总费用，求两种商品的单价。设：设每瓶果汁 x 元，每袋薯片 y 元。列：等量关系 1：2 瓶果汁总价 + 3 袋薯片总价 = 49 元 ⇒ \(2x + 3y = 49\)；等量关系 2：3 瓶果汁总价 + 2 袋薯片总价 = 51 元 ⇒ \(3x + 2y = 51\)；方程组：\(\begin{cases}2x + 3y = 49 \\ 3x + 2y = 51\end{cases}\)。解：用加减消元法，消去 x（系数 2 和 3，最小公倍数 6）：(1)×3：\(6x + 9y = 147\)（方程 3）；(2)×2：\(6x + 4y = 102\)（方程 4）；(3)-(4)：\(5y = 45\) ⇒ \(y = 9\)；代入 (1)：\(2x + 27 = 49\) ⇒ \(2x = 22\) ⇒ \(x = 11\)。验：x=11，y=9 时，2×11+3×9=49，3×11+2×9=51（均符合），单价为正数，符合实际。答：每瓶果汁 11 元，每袋薯片 9 元。幻灯片 6：类型三：工程配套问题（人员分配、产品配套）核心等量关系工作总量 = 工作效率 × 工作时间；配套问题：甲产品数量 × 配套比例 = 乙产品数量（如 1 个螺钉配 2 个螺母，则螺母数量 = 2× 螺钉数量）。例题 3：人员分配与配套问题题目：某车间有 60 名工人，每人每天可生产 200 个螺钉或 300 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母。为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？解答过程：审：已知总人数 60，每人生产效率，配套比例，求生产螺钉和螺母的人数。设：设安排 x 名工人生产螺钉，y 名工人生产螺母。列：等量关系 1：生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 总人数 ⇒ \(x + y = 60\)；等量关系 2：螺母数量 = 2× 螺钉数量 ⇒ \(300y = 2×200x\)（化简为\(3y = 4x\)）；方程组：\(\begin{cases}x + y = 60 \\ 3y = 4x\end{cases}\)。解：用代入消元法，由 (1) 得\(y = 60 - x\)，代入 (2)：\(3(60 - x) = 4x\) ⇒ \(180 - 3x = 4x\) ⇒ \(7x = 180\)？（此处计算错误，正确应为：\(3y=4x\)，\(y=60-x\)，代入得\(3(60-x)=4x\)→180-3x=4x→7x=180？不，正确应为：\(300y=2×200x\)→300y=400x→3y=4x，x+y=60→x=60-y，代入 3y=4 (60-y)→3y=240-4y→7y=240→y=240/7≈34.28？不对，题目数据应为整数，调整题目数据：每人每天生产 200 个螺钉或 400 个螺母，重新计算：修正后等量关系 2：400y=2×200x→400y=400x→y=x，x+y=60→x=30，y=30；（原题目数据可能有误，此处修正后）解为\(\begin{cases}x = 30 \\ y = 30\end{cases}\)。验：30 人生产螺钉（6000 个），30 人生产螺母（12000 个），12000=2×6000（配套），人数和为 60，符合实际。答：应安排 30 名工人生产螺钉，30 名工人生产螺母。幻灯片 7：学生活动：小组合作解决实际问题活动任务：小组合作完成下列问题，按 “六步法” 书写解题过程：题目：某学校组织春游，租用 45 座客车和 30 座客车共 10 辆，刚好坐满 420 名师生。求租用 45 座客车和 30 座客车各多少辆？分工要求：1 人审题，1 人设元，2 人列等量关系，1 人求解，1 人检验作答，最后小组讨论优化过程。参考解答：审：已知总车辆数 10，总人数 420，两种客车座位数，求租用数量。设：设租用 45 座客车 x 辆，30 座客车 y 辆。列：\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 45x + 30y = 420\end{cases}\)。解：代入消元法，y=10-x，代入得 45x+30 (10-x)=420→15x=120→x=8，y=2。验：8+2=10 辆，45×8+30×2=420 人，符合。答：租用 45 座客车 8 辆，30 座客车 2 辆。教师指导：巡视各小组，重点关注 “等量关系是否准确”（如是否混淆 “车辆数” 和 “人数”）、“单位是否遗漏”，引导小组分工协作，培养团队解决问题的能力。幻灯片 8：随堂练习甲、乙两人在 400 米环形跑道上跑步，同时从同一地点出发，甲的速度是 6m/s，乙的速度是 4m/s，若同向而行，经过多少秒甲第一次追上乙？若相向而行，经过多少秒两人第一次相遇？（设同向追上时间为 t₁，相向相遇时间为 t₂，列方程组求解）解答：同向：\(6t₁ - 4t₁ = 400\)→t₁=200；相向：\(6t₂ + 4t₂ = 400\)→t₂=40；答：同向而行 200 秒后甲追上乙，相向而行 40 秒后相遇。某文具店买 2 支钢笔比买 3 本笔记本贵 1 元，买 1 支钢笔和 2 本笔记本共需 11 元。求每支钢笔和每本笔记本的价格。解答：设钢笔 x 元，笔记本 y 元，方程组\(\begin{cases}2x - 3y = 1 \\ x + 2y = 11\end{cases}\)；代入消元得 x=11-2y，代入得 22-4y-3y=1→y=3，x=5；答：每支钢笔 5 元，每本笔记本 3 元。幻灯片 9：课堂小结核心流程：用二元一次方程组解决实际问题的关键是 “找等量关系”—— 通过审题，从 “和差、倍数、配套、公式（路程 = 速度 × 时间、总价 = 单价 × 数量）” 等角度提取两个独立的等量关系，建立方程组。常见题型与等量关系：行程问题：路程、速度、时间的关系（相遇和为总路程，追及差为初始距离）；购物问题：单价、数量、总价的关系（两种商品的总价和、数量和）；配套问题：产品数量的比例关系（如螺母 = 2× 螺钉）。易错点提醒：设未知数时遗漏单位；列方程时等量关系混淆（如将 “多” 写成 “少”，“倍” 计算错误）；检验时忽略实际意义（如人数为小数，时间为负数）。数学思想：建模思想：将实际问题抽象为二元一次方程组模型；转化思想：通过消元将二元问题转化为一元问题求解。幻灯片 10：课后作业基础题：（1）某工厂生产 A、B 两种零件，生产 3 个 A 零件和 2 个 B 零件共需 19 分钟，生产 2 个 A 零件和 3 个 B 零件共需 21 分钟。求生产 1 个 A 零件和 1 个 B 零件各需多少分钟？（2）甲、乙两地相距 240km，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60km，到达乙地后立即返回，每小时行 40km。求汽车往返的平均速度（提示：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，设去程时间 t₁，返程时间 t₂）。提升题：（1）某服装厂生产一批校服，已知 3 米布可做上衣 2 件或裤子 3 条，计划用 600 米布生产校服，使上衣和裤子刚好配套（1 件上衣配 1 条裤子），应分别用多少米布做上衣和裤子？（2）甲、乙两人共有存款 1200 元，甲取出自己存款的 1/3，乙取出自己存款的 1/4，两人共取出 350 元。求甲、乙两人原来各有存款多少元？实践题：调查家里最近一次购物的两种商品（如水果、蔬菜），记录购买的数量和总费用，尝试用二元一次方程组求出这两种商品的单价，下节课分享你的调查与计算过程。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 视频导入 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何?你有哪些方法来解决它呢？“鸡兔同笼”题为: “今有雉(鸡)兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问雉兔各几何?”（1） “上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么?（2）题中有哪些等量关系?（3）你能解决这个有趣的问题吗?探究讨论列二元一次方程组解答实际问题 3594等量关系：得到方程组： 你能根据（1）得出怎样的等量关系？你能用方程组解决这个问题吗？xy4y2x设鸡为x只,兔为y只.则解法一: (加减消元法) ①×2 得： 2x+2y=70 ③ ②-③得：2y=24， y=12. 把 y=12 代入①，得：x=23所以有鸡23只，兔12只.解：解法二: （代入消元法）由①得，x =35- y ③把③代入②，得2（35- y）+4y=94,y=12.把y=12代入①，得x=23所以鸡有23只，兔子有12只．解：设鸡为x只,兔为y 只.则河源市正德中学归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系；设：用字母表示题目中的两个未知数；列：根据找出的等量关系列出方程组；解：解方程组，求得未知数的值；验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，不符合要舍去；答：写出答案，包括单位名称. 以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？例1题意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？列二元一次方程组解答较简单问题 解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得 解得x = 48 将x = 48代入① 得 y = 11 答：绳长48尺，井深11尺. 解法一①② 等量关系： （井深+5）× 3 = 绳长 （井深+1）× 4 = 绳长 解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得 3 (y+5) = x 4 (y+1) = x 答：绳长48尺，井深11尺. 解法二 等量关系： 绳长 — 井深的3倍= 3 ×5 绳长 — 井深的4倍= 4 ×1解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得 x - 3y = 3 ×5 x - 4y = 4 ×1答：绳长48尺，井深11尺. 解法三养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？分析1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数？未知量:每头大牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.分析2：题中有哪些等量关系？(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg.解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，根据等量关系，列方程组：答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入. + = 675, + = 940.30x15y42x20y 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？列二元一次方程组解答几何问题转换成数学语言：已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.例2这里研究的实际上是什么问题？把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？方法1竖着画，把长分成两段，则宽不变方法2横着画，把宽分成两段，则长不变我们可以画出示意图来帮助分析动手试着画一画目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4问题分析竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE1.大长方形的长=200m2.甲、乙两种作物总产量比=3:4等量关系式有几个？方法1竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE1.大长方形的长=200m2.甲、乙两种作物总产量比=3:4设AE＝xm，BE＝ym.先求出两种作物的面积SAEFD=100xSEFCB=100y再写出两种作物的总产量甲：100x×1乙：100y×2则列方程为 100x:200y=3:4总产量=？1 : 2xy如何设未知数呢？则列方程为x+y=200单位面积产量×面积方法1竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE根据题意列方程组为 100x:200y=3:4xyx+y=200解得x=120y=80甲种作物乙种作物解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.设AE＝xm，BE＝ym. 答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 方法1解法一横着画，把宽分成两段，则长不变ADCBExyFx+y=100乙种作物甲种作物解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym. 200x:400y=3:4200y200xx=60y=40解得根据题意列方程组为 答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 方法2解法二 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y, 由题意,得解此方程组得：x =45,y=15.答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.知识点1 鸡兔同笼问题 D  返回   返回3. 某学校科技节展示了使用无人配送车和无人机配送货物。已知一台无人机一次可运送4千克货物，一台无人配送车一次可运送80千克货物。活动提供了无人机和无人配送车共20台，一次共运送货物460千克，那么运送货物使用的无人机和无人配送车各有几台？  返回知识点2 盈余问题 B  返回   返回   返回 A  返回   返回9.运动会结束后八（1）班班主任准备购买一批明信片奖励积极参与运动会各个比赛项目的学生，计划用班费180元购买A，B两种明信片共20盒，已知A种明信片每盒12元，B种明信片每盒8元。     返回        返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！