2.2.2 平方根 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：2.2.1 算术平方根副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们学习了实数，知道像\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{5}\)这样的无理数与平方根有关。今天我们聚焦 “算术平方根”，探索它的定义、表示和计算方法，明确它与平方根的区别！幻灯片 2：学习目标理解算术平方根的定义，能区分平方根与算术平方根的不同。掌握算术平方根的表示方法，会用符号表示一个非负数的算术平方根。能正确计算非负数的算术平方根，解决与算术平方根相关的简单问题。幻灯片 3：情境导入与知识回顾情境问题如图，有一个面积为 25 的正方形，它的边长是多少？若正方形面积为 16、9、4，边长又分别是多少？分析：正方形面积 = 边长 × 边长，设边长为\(x\)，则\(x^2 = 面积\)。当面积为 25 时，\(x^2 = 25\)，解得\(x = 5\)（边长为正数，舍去负解）；当面积为 16 时，\(x^2 = 16\)，解得\(x = 4\)；当面积为 9 时，\(x^2 = 9\)，解得\(x = 3\)；当面积为 4 时，\(x^2 = 4\)，解得\(x = 2\)。知识回顾：平方根定义：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根（或二次方根）。若\(x^2 = a\)，则\(x\)叫做\(a\)的平方根，记为\(x = ±\sqrt{a}\)（“\(±\sqrt{}\)” 表示正负平方根）。举例：因为\(5^2 = 25\)，\((-5)^2 = 25\)，所以 25 的平方根是\(±5\)，即\(±\sqrt{25} = ±5\)；因为\(0^2 = 0\)，所以 0 的平方根是 0，即\(±\sqrt{0} = 0\)；负数没有平方根（因为任何数的平方都是非负数）。幻灯片 4：算术平方根的定义核心定义正数的两个平方根中，正的那个平方根叫做这个正数的算术平方根；0 的平方根是 0，所以 0 的算术平方根是 0。总结：若一个非负数\(x\)的平方等于\(a\)（\(x ≥ 0\)，\(a ≥ 0\)），即\(x^2 = a\)，则\(x\)叫做\(a\)的算术平方根，记为\(x = \sqrt{a}\)（读作 “根号\(a\)”），其中\(a\)叫做被开方数。关键要点被开方数非负：只有非负数（\(a ≥ 0\)）才有算术平方根，负数没有算术平方根（因为算术平方根是平方根中的非负根，而负数本身没有平方根）。算术平方根非负：算术平方根的结果一定是非负数，即\(\sqrt{a} ≥ 0\)（\(a ≥ 0\)）。符号区别：\(\sqrt{a}\)表示\(a\)的算术平方根（非负），\(±\sqrt{a}\)表示\(a\)的两个平方根（一正一负，0 除外）。举例理解25 的算术平方根是 5，记为\(\sqrt{25} = 5\)（注意：不是\(±5\)，\(±5\)是 25 的平方根）；16 的算术平方根是 4，记为\(\sqrt{16} = 4\)；0 的算术平方根是 0，记为\(\sqrt{0} = 0\)；\(\sqrt{2}\)表示 2 的算术平方根（\(\sqrt{2} ≈ 1.414\)，是正数，也是无理数）；\(-\sqrt{3}\)不是算术平方根（结果为负），\(\sqrt{-3}\)无意义（被开方数为负）。幻灯片 5：平方根与算术平方根的对比对比维度平方根（\(±\sqrt{a}\)）算术平方根（\(\sqrt{a}\)）定义若\(x^2 = a\)，则\(x = ±\sqrt{a}\)（\(a ≥ 0\)）若\(x^2 = a\)且\(x ≥ 0\)，则\(x = \sqrt{a}\)（\(a ≥ 0\)）符号表示带 “\(±\)”，如\(±\sqrt{25}\)不带 “\(±\)”，如\(\sqrt{25}\)结果个数与正负正数有 2 个平方根（一正一负），0 有 1 个平方根（0）正数和 0 都只有 1 个算术平方根（非负）取值范围正数的平方根一正一负，0 的平方根为 0算术平方根始终为非负数（\(\sqrt{a} ≥ 0\)）举例25 的平方根：\(±5\)25 的算术平方根：\(5\)幻灯片 6：算术平方根的计算1. 整数的算术平方根（开得尽的情况）方法：找到一个非负数，使其平方等于被开方数，这个数就是算术平方根。举例：\(\sqrt{36} = 6\)（因为\(6^2 = 36\)）；\(\sqrt{49} = 7\)（因为\(7^2 = 49\)）；\(\sqrt{81} = 9\)（因为\(9^2 = 81\)）；\(\sqrt{100} = 10\)（因为\(10^2 = 100\)）。2. 分数的算术平方根方法：分数的算术平方根等于分子的算术平方根与分母的算术平方根的商（分母不为 0，分子分母均非负），即\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a ≥ 0\)，\(b > 0\)）。举例：\(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}\)（因为\((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)）；\(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}\)（因为\((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\)）；\(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}\)（因为\((\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}\)）。3. 小数的算术平方根（可化为分数或开得尽的情况）方法：先将小数化为分数，再按分数算术平方根的方法计算；或直接找到平方等于该小数的非负数。举例：\(\sqrt{0.25} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5\)（因为\(0.5^2 = 0.25\)）；\(\sqrt{0.04} = 0.2\)（因为\(0.2^2 = 0.04\)）；\(\sqrt{1.44} = 1.2\)（因为\(1.2^2 = 1.44\)）。4. 开不尽的情况（结果为无理数）方法：无法得到整数或分数结果，需用根号表示，或根据要求取近似值（保留一定小数位数）。举例：\(\sqrt{2} ≈ 1.414\)（保留 3 位小数）；\(\sqrt{3} ≈ 1.732\)（保留 3 位小数）；\(\sqrt{5} ≈ 2.236\)（保留 3 位小数）。幻灯片 7：例题讲解例题 1：求下列各数的算术平方根（1）64；（2）\(\frac{25}{81}\)；（3）0.09；（4）12（保留 2 位小数）解答：（1）因为\(8^2 = 64\)，所以 64 的算术平方根是 8，即\(\sqrt{64} = 8\)；（2）因为\((\frac{5}{9})^2 = \frac{25}{81}\)，所以\(\frac{25}{81}\)的算术平方根是\(\frac{5}{9}\)，即\(\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{5}{9}\)【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 了解平方根的概念，并理解平方与开平方互为逆运算.2. 知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根. 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）.  例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.知识点 平方根思考 (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点?知识点 平方根一般地，如果一个数x的平方等于 a，即x2=a那么这个数x叫做 a 的平方根或二次方根.如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根.一个正数的平方根有两个.一个正数的算术平方根只有一个.正数的平方根一正一负.正数的算术平方根一定是正数.平方根与算术平方根的联系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的平方根.只有非负数才有平方根和算术平方根.知识点 平方根思考(2)一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?知识点 平方根平方根的性质：1.一个正数有两个平方根（它们互为相反数）；2.0只有一个平方根，它是0本身；3.负数没有平方根.被开方数（a 是非负数）读作“正、负根号 a”正平方根：负平方根：读作“根号 a”读作“负根号 a”知识点 平方根 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.知识点 平方根+1-1+2-2+3-3平方149+1-1+2-2+3-3149开平方观察下图，你发现了什么?平方与开平方互为逆运算想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它知识点 平方根 知识点 平方根 知识点 平方根 知识点 平方根 知识点 平方根   55-5±5 解：因为一个正数的两个平方根是2a-1和a-5，则有(2a-1)+(a-5)=0，解得a=2.所以2a-1=3，所以这个正数为32=9.4. 已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数.互为相反数一个正数有两个平方根，它们互为相反数.知识点1 平方根的定义1.［2024内江中考］16的平方根是( )D  返回 D  返回3.下列各数中，没有平方根的是( )D  返回4.下列说法正确的是( )C  返回5.平方根等于本身的数是___。0 返回知识点2 开平方 C  返回 A  返回8.［2025西安期中］下列化简正确的是( )A  返回 0  返回 （1）169；       （5）17；    返回          返回   返回 A  返回14.下列各数中一定有平方根的是( )D  返回 C  返回 D  返回 C  返回      返回      返回20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫作格点。（1）在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形；解：如图①（画法不唯一）。   返回平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根（也叫作二次方根）. 表示(1)一个正数有两个平方根（它们互为相反数）； (2)0只有一个平方根，它是0本身；(3)负数没有平方根.开平方（开平方与平方互为逆运算）运算概念性质必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！