2.1.2实数及相关概念 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：2.1.2 实数及相关概念副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们认识了 “不是有理数的数”—— 无理数，今天我们将有理数和无理数整合，学习一个更广泛的数系 —— 实数，探索实数的分类、性质及相关概念！幻灯片 2：学习目标理解实数的定义，能对实数进行正确分类，明确有理数与无理数的从属关系。掌握实数的相反数、绝对值、倒数的概念，能求任意实数的相反数和绝对值。了解实数与数轴上点的一一对应关系，体会 “数” 与 “形” 的结合，提升数学抽象能力。幻灯片 3：知识回顾与实数定义回顾旧知：有理数：整数和分数的统称，可表示为\(\frac{p}{q}\)（\(p\)、\(q\)为整数，\(q≠0\)），包括有限小数和无限循环小数。无理数：无限不循环小数，不能表示为\(\frac{p}{q}\)的形式，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)、\(0.1010010001...\)。实数定义：有理数和无理数统称为实数。也就是说，所有能在数轴上表示出来的数都是实数，实数涵盖了我们目前所学的所有数。生活中的实数：我们生活中遇到的数，如身高 1.65m（有理数）、圆的周长与直径的比值\(\pi\)（无理数）、面积为 5 的正方形边长\(\sqrt{5}\)（无理数）等，都属于实数。幻灯片 4：实数的分类（两种分类方式）分类方式一：按定义分类 分类方式二：按正负性分类 注意事项0 既不是正数也不是负数，是实数中唯一的中性数。分类时要遵循 “不重不漏” 的原则，例如：\(\sqrt{4} = 2\)是正有理数，不是无理数；\(-\sqrt{9} = -3\)是负有理数，需注意先化简再分类。幻灯片 5：实数的相关概念（相反数、绝对值、倒数）1. 实数的相反数定义：与有理数类似，只有符号不同的两个实数互为相反数，0 的相反数是 0。若实数为\(a\)，则它的相反数为\(-a\)（读作 “负\(a\)”）。举例：\(\sqrt{2}\)的相反数是\(-\sqrt{2}\)；\(-\pi\)的相反数是\(\pi\)；0.5 的相反数是\(-0.5\)；0 的相反数是 0。性质：互为相反数的两个实数之和为 0，即若\(a\)与\(-a\)互为相反数，则\(a + (-a) = 0\)。2. 实数的绝对值定义：实数的绝对值表示该数在数轴上对应的点到原点的距离，距离是非负的，因此绝对值一定是非负数（≥0）。设\(a\)为任意实数，则：\( |a| = \begin{cases} a & (a > 0) \\ 0 & (a = 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases} \)举例：\(|\sqrt{3}| = \sqrt{3}\)（因为\(\sqrt{3} > 0\)）；\(|-\pi| = \pi\)（因为\(-\pi < 0\)，所以\(-(-\pi) = \pi\)）；\(|0| = 0\)；\(|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}\)。性质：任何实数的绝对值都是非负数，即\(|a| ≥ 0\)；若两个实数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数（\(|a| = |b|\) ⇨ \(a = b\)或\(a = -b\)）。3. 实数的倒数定义：与有理数类似，若两个实数的乘积为 1，则这两个实数互为倒数，0 没有倒数（因为 0 乘任何数都为 0，无法得 1）。若实数为\(a\)（\(a ≠ 0\)），则它的倒数为\(\frac{1}{a}\)。举例：2 的倒数是\(\frac{1}{2}\)（\(2 × \frac{1}{2} = 1\)）；\(\sqrt{2}\)的倒数是\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)（后续会学习化简为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)）；\(-\frac{3}{4}\)的倒数是\(-\frac{4}{3}\)（\(-\frac{3}{4} × (-\frac{4}{3}) = 1\)）；0 没有倒数。幻灯片 6：探究活动：实数与数轴上点的对应关系第一步：回顾有理数与数轴的关系我们知道，所有有理数都可以在数轴上找到对应的点（例如：2 对应原点右侧 2 个单位的点，\(-\frac{1}{2}\)对应原点左侧 0.5 个单位的点），但数轴上的点是否都对应有理数呢？第二步：无理数在数轴上的表示（以\(\sqrt{2}\)为例）操作方法：画一条水平数轴，标注原点 O、正方向和单位长度（1 个单位长度代表 1）。在数轴上取点 A，使 OA = 1（A 点对应数 1）。过 A 点作数轴的垂线，在垂线上取点 B，使 AB = 1（AB 与 OA 垂直且长度相等）。连接 OB，根据勾股定理，OB = \(\sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)。以 O 为圆心、OB 为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点为 C，则点 C 在数轴上对应的数就是\(\sqrt{2}\)。结论：无理数\(\sqrt{2}\)可以在数轴上找到对应的点。第三步：推广到所有实数类似地，无理数\(\sqrt{3}\)、\(\pi\)、\(-\sqrt{5}\)等都可以通过类似的几何方法在数轴上找到对应点。最终结论：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反过来，数轴上每一个点都唯一对应一个实数，即实数与数轴上的点是 “一一对应” 的关系。幻灯片 7：例题讲解：实数的概念应用例题 1：实数的分类题目：将下列实数填入相应的集合内：\(-3\)、\(\sqrt{5}\)、\(0.3\dot{6}\)、\(\pi\)、\(0\)、\(-\sqrt{16}\)、\(\frac{22}{7}\)、\(0.1010010001...\)（每两个 1 之间多一个 0）解答：正有理数集合：\(\{0.3\dot{6}, \frac{22}{7}\}\)（提示：\(-\sqrt{16} = -4\)是负整数，属于负有理数）；负有理数集合：\(\{-3, -\sqrt{16}\}\)；正无理数集合：\(\{\sqrt{5}, \pi, 0.1010010001...\}\)；负无理数集合：\(\{\}\)（无负无理数）；非负实数集合：\(\{\sqrt{5}, 0.3\dot{6}, \pi, 0, \frac{22}{7}, 0.1010010001...\}\)（非负实数包括正实数和 0）。例题 2：求实数的相反数与绝对值题目：求下列实数的相反数和绝对值：（1）\(\sqrt{7}\)；（2）\(-\pi\)；（3）\(1 - \sqrt{2}\)（提示：\(\sqrt{2} ≈ 1.414 > 1\)，所以\(1 - \sqrt{2} < 0\)）解答：（1）\(\sqrt{7}\)的相反数是\(-\sqrt{7}\)，绝对值是\(|\sqrt{7}| = \sqrt{7}\)；（2）\(-\pi\)的相反数是\(\pi\)，绝对值是\(|-\pi| = \pi\)；（3）\(1 - \sqrt{2}\)的相反数是\(-(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1\)，绝对值是\(|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1\)（因为\(1 - \sqrt{2} < 0\)，绝对值为其相反数）。幻灯片 8：随堂练习下列说法正确的是（ ）A. 实数包括正实数和负实数B. 带根号的数都是无理数C. 数轴上的每一个点都对应一个实数D. 绝对值等于本身的实数只有正数（答案：C，解析：A 中实数还包括 0；B 中\(\sqrt{4} = 2\)是有理数；D 中 0 的绝对值也等于本身）求下列实数的相反数、绝对值和倒数（若有）：（1）\(3.8\)：相反数\(-3.8\)，绝对值\(3.8\)，倒数\(\frac{10}{38} = \frac{5}{19}\)；（2）\(-\sqrt{11}\)：相反数\(\sqrt{11}\)，绝对值\(\sqrt{11}\)，倒数\(-\frac{1}{\sqrt{11}}\)；（3）\(0\)：相反数\(0\)，绝对值\(0\)，无倒数。已知\(|x - \sqrt{5}| = 0\)，求\(x\)的值；若\(|y + \pi| = 3\)，求\(y\)的值。（解答：\(|x - \sqrt{5}| = 0\) ⇨ \(x - \sqrt{5} = 0\) ⇨ \(x = \sqrt{5}\)；\(|y + \pi| = 3\) ⇨ \(y + \pi = 3\)或\(y + \pi = -3\) ⇨ \(y = 3 - \pi\)或\(y = -3 - \pi\)）幻灯片 9：课堂小结核心概念：实数：有理数和无理数的统称；实数分类：按定义分为有理数和无理数，按正负性分为正实数、0、负实数；实数的相关概念：相反数（\(a\)的相反数为\(-a\)）、绝对值（非负，分正负 0 讨论）、倒数（乘积为 1，0 无倒数）。关键性质：实数与数轴上的点一一对应；实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致，体现了数系扩展的 “一致性”。数学思想：数形结合（实数与数轴的对应关系）、分类讨论（实数的分类、绝对值的计算）。幻灯片 10：课后作业基础题：将下列实数分类填入相应集合：\(-\frac{1}{2}\)、\(\sqrt{8}\)、\(0.\dot{7}\)、\(-\pi\)、\(3.14159\)、\(\sqrt{9}\)、\(-5\)、\(0.2020020002...\)有理数集合：\(\{-\frac{1}{2}, 0.\dot{7}, 3.14159, \sqrt{9}, -5\}\)无理数集合：\(\{\sqrt{8}, -\pi, 0.2020020002...\}\)正实数集合：\(\{\sqrt{8}, 0.\dot{7}, 3.14159, \sqrt{9}, 0.2020020002...\}\)负实数集合：\(\{-\frac{1}{2}, -\pi, -5\}\)提升题：已知实数\(a\)、\(b\)满足\(|a - \sqrt{3}| + |b + 2| = 0\)，求\(a + b\)的相反数和绝对值。（提示：非负数之和为 0，则每个非负数均为 0，解得\(a = \sqrt{3}\)，\(b = -2\)，\(a + b = \sqrt{3} - 2\)，其相反数为\(2 - \sqrt{3}\)，绝对值为\(2 - \sqrt{3}\)）实践题：在数轴上表示出\(\sqrt{5}\)对应的点（可参考\(\sqrt{2}\)的表示方法，利用勾股定理构造直角三角形，如直角边为 1 和 2 的直角三角形，斜边为\(\sqrt{5}\)），画出示意图并标注关键步骤。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.了解无理数的概念，会判断一个数是不是无理数.2.了解实数的概念，类比有理数，能按要求对实数进行分类. 3.了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.4.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，并能比较两个实数的大小.  ... .事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.知识点1 无理数那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数.无限不循环小数称为无理数.无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.知识点1 无理数上一节课得到的a2=2,b2=5中，a,b都是无理数.还有我们十分熟悉的圆周率π=3.141 592 65...也是一个无理数.再如0.585 885 888 588 885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是无理数.知识点1 无理数 知识点1 无理数 常见的无理数的三种形式知识点1 无理数 解析：根据无理数的定义可知1.212 212 221...(相邻的两个1之间2的个数逐次加1) ，2-π是无理数.2知识点1 无理数有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数.知识点2 实数注意：(1)在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数.(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究问题或计算时，若没有特殊说明，则应在实数范围内进行. 正数集合 负数集合 知识点2 实数(2)还记得有理数的分类方法吗?你能用类似的方法对实数进行分类吗?①按概念分类：实数有理数无理数正整数负整数0正无理数负无理数整数分数正分数负分数知识点2 实数(2)按正负性分类：实数正实数负实数正有理数正无理数0负有理数负无理数正整数正分数负整数负分数知识点2 实数   知识点2 实数  知识点3 实数的相关概念在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。  π0 π0知识点3 实数的相关概念思考 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间要如何计算？知识点4 实数的运算实数的运算:实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点4 实数的运算思考 前面课程讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5.(1)如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数?因为OA2=OB2=12+12=2=a2，所以OA=a，所以点A 即为无理数a在数轴上对应的点.知识点5 实数与数轴上点的关系(2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗?能.实数b在数轴上对应的点为点C，如图所示.知识点5 实数与数轴上点的关系以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点 O′对应的数π.知识点5 实数与数轴上点的关系看一看如何在数轴上表示π？事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.实数和数轴上的点一 一对应知识点5 实数与数轴上点的关系跟踪训练 下列说法正确的有( )①数轴上任意一点都表示一个有理数；②任意一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；③任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；④有理数与数轴上的点一一对应.A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个B知识点5 实数与数轴上点的关系 π， 0.131 333 133 333 1…(相邻两个1之间3的个数逐次加2) -24，-5.12   4. 已知b2=5，且b-3.知识点1 无理数的概念1.［2024泸州中考］下列各数中，无理数是( )D  返回2.下列说法中正确的是( )DA.有理数是有限小数 B.无限小数都是无理数C.0既不是有理数，也不是无理数 D.无理数是无限不循环小数 返回    返回知识点2 实数的概念及分类4.下列说法不正确的是( )BA.实数包括正实数、零、负实数 B.正整数和负整数统称整数C.无理数一定是无限小数 D.负实数包括负有理数和负无理数 返回 （1）正整数集合：{____…}；（2）负实数集合：{________…}；（3）无理数集合：{________…}。②①③④⑦⑧⑨ 返回知识点3 实数的性质及实数与数轴的关系 C  返回7.与数轴上的点一一对应的数是( )DA.分数 B.有理数 C.无理数 D.实数 返回 C  返回    返回10. 下列说法正确的是( )CA.无理数与无理数的和一定是无理数B.无理数与无理数的差一定是无理数C.无理数与有理数的和一定是无理数D.无理数与有理数的积一定是无理数 返回   返回   （2）请在图②的数轴上找到另一个数对应的点。  返回实数按概念分类：有理数、无理数无理数：无限不循环小数有理数和无理数统称实数分类概念按正负性分类：正实数、0、负实数相反数、倒数、绝对值相关概念与有理数一样能进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则、运算律对实数仍然适用实数和数轴上的点是一一对应的运算性质必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！